Banachraum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 So 12.09.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
ich habe mir die Definition eines Banachraumes angesehen. Das ist also ein Vektorraum V über [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IC [/mm] mit einer Norm und einer durch diese Norm induzierten Metrik bzgl. derer jede Cauchyfolge konvergiert. ( [mm] \Rightarrow [/mm] Vollständigkeit)
Gut, und wie sehen nun Abbildungen in Banachräumen aus? Ist das einfach die Menge L(X,Y) der Abbildung f: X [mm] \to [/mm] Y ?
Danke und viele Grüße,
Regine.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 So 12.09.2004 | | Autor: | andreas |
hi regine
also bei uns waren mit [m] \mathcal{L}(X, Y) [/m] die menge der linearen abbildungen aus dem banachraum $X$ in den banachraum $Y$ bezeichnet. ob es für allgemeine - nicht-notwendigerweise lineare - abbildungen von banachräumen ein allgemeingebräuchliches symbol gibt, weiß ich allerdings nicht.
als abbildungen von einem banachraum in einen anderen kannst du z.b. jede abbilsung von [m] (\mathbb{C}^n, \| \cdot \|) [/m] nach [m] (\mathbb{C}^m, \| \cdot \|) [/m] betrachten, da der [m] \mathbb{K}^n [/m] mit der vom kannonischen skalarprodukt induzierten norm vollständig ist (also nicht nur ein banachraum, sondern sogar ein reeler oder komplexer hilbertraum).
ein weiteres beispiel für eine abbildung zwischen banachräumen ist das funktional [m] T_g : C([a, b]) \to \mathbb{R} [/m] mit [m] T_g(f) = \int_a^b f(x) g(x) \, \text{d} x [/m] ([m] a < b, \; g \in C([a, b]) [/m]). wobei [m] C([a, b]) [/m] mit der norm [m] \| f \|_C := \max_{x \in [a, b]} f(x) [/m] und [m] \mathbb{R} [/m] mit dem gewöhnlichen betrag banachräume sind.
hoffe ich habe dir etwas geholfen - wenn etwas unklar sein sollte frage nach.
andreas
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