Banacher Fixpunktsatz < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 Mi 01.05.2013 | | Autor: | lol13 |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\mathbb [/mm] R -> [mm] \mathbb [/mm] R eine differenzierbare Funktion, die eine der beiden folgenden Eigenschaften besitzt:
(i) | f'(x) | [mm] \leq \alpha [/mm]
(ii) [mm] f'(x)\geq \beta [/mm]
für alle [mm] x\in \mathbb [/mm] R mit festen Konstanten
[mm] 0<\alpha [/mm] <1 und [mm] \beta [/mm] >1.
Zeigen Sie mit dem Banachschen Fixpunktsatz, dass die Gleichung f(x)=x in beiden Fällen genau eine Lösung [mm] x\in \mathbb [/mm] R besitzt! |
Wie kriege ich den Banachen Fixpunktsatz in Zusammenhang geformt mit der Ableitung? Wie kann ich dann alpha und beta einbeziehen?
Vielen Dank für eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Mi 01.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f:\mathbb[/mm] R -> [mm]\mathbb[/mm] R eine differenzierbare
> Funktion, die eine der beiden folgenden Eigenschaften
> besitzt:
> (i) | f'(x) | [mm]\leq \alpha[/mm]
> (ii) [mm]f'(x)\geq \beta[/mm]
> für alle [mm]x\in \mathbb[/mm] R mit festen Konstanten
> [mm]0<\alpha[/mm] <1 und [mm]\beta[/mm] >1.
>
> Zeigen Sie mit dem Banachschen Fixpunktsatz, dass die
> Gleichung f(x)=x in beiden Fällen genau eine Lösung [mm]x\in \mathbb[/mm]
> R besitzt!
> Wie kriege ich den Banachen Fixpunktsatz in Zusammenhang
> geformt mit der Ableitung? Wie kann ich dann alpha und beta
> einbeziehen?
Zu i)
Seien x,y [mm] \in \IR. [/mm] Zeige mit dem Mittelwertsatz:
$|f(x)-f(y)| [mm] \le \alpha*|x-y|$
[/mm]
Zu ii):
Zeige: f ist injektiv und bringe dann die Umkehrfunktion von f ins Spiel.
FRED
>
> Vielen Dank für eure Hilfe
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Do 02.05.2013 | | Autor: | lol13 |
wenn ich jetzt folgendes rechne: (f(x)-f(y))/(x-y) = (x-y)/(x-y) = 1
Das kann aber ja irgendwie nicht sein, weil alpha > 1 ist.
Was meint ihr?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Do 02.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> wenn ich jetzt folgendes rechne: (f(x)-f(y))/(x-y) =
> (x-y)/(x-y) = 1
Das ist doch völliger Quatsch ! Wie kommst Du auf so etwas ?
FRED
> Das kann aber ja irgendwie nicht sein, weil alpha > 1
> ist.
>
> Was meint ihr?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Fr 03.05.2013 | | Autor: | lol13 |
stimmt, das ergibt echt keinen sinn. das f(y) dürfte ich dann ja nicht ersetzen. wegen alpha < 1, muss auch der Quotient <1 sein. Da komme ich dann nicht weiter :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Fr 03.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> stimmt, das ergibt echt keinen sinn. das f(y) dürfte ich
> dann ja nicht ersetzen. wegen alpha < 1, muss auch der
> Quotient <1 sein. Da komme ich dann nicht weiter :/
für $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] kannst Du o.E. $x < y$ annehmen. Nach dem
Mittelwertsatz, angewendet auf [mm] $f_{|[x,y]}\,,$ [/mm] existiert ein [mm] $\xi \in [/mm] [x,y]$ (eigentlich sogar [mm] $\xi \in [/mm] (x,y)$)
mit
[mm] $$\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=f\,'(\xi)\,.$$
[/mm]
Jetzt bilde (beidseitig) den Betrag und überlege Dir das, was Fred
geschrieben hat:
Das sind noch vielleicht zwei kleine Schrittchen!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Fr 03.05.2013 | | Autor: | lol13 |
danke noch mal für die Erklärung :)
habe das ganze jetzt noch mal umgestellt und bin dann auf Freds Gleichung gekommen, wobei ich mir unsicher wegen dem "kleinergleich" vor dem alpha war. Wie kommt man darauf?
Und:
Es soll ja die Gleichung f(x)=x erfüllt sein. Dann müsste doch alpha=1 sein, das darf es aber ja nicht?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Fr 03.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> danke noch mal für die Erklärung :)
> habe das ganze jetzt noch mal umgestellt und bin dann auf
> Freds Gleichung gekommen,
sicher nicht, denn bei Fred steht eine UNgleichung!
> wobei ich mir unsicher wegen dem
> "kleinergleich" vor dem alpha war. Wie kommt man darauf?
Dann hast Du das das ganze nicht verstanden:
Wenn [mm] $|f\,'(r)| \le \alpha$ [/mm] für alle $r [mm] \in \IR$ [/mm] gilt, dann auch für speziell [mm] $r:=\xi \in [/mm] (a,b) [mm] \subseteq \IR$:
[/mm]
[mm] $$|f\,'(\xi)| \le \alpha\,.$$
[/mm]
Was folgt nun für [mm] $|\tfrac{f(y)-f(x)}{y-x}|$?
[/mm]
> Und:
> Es soll ja die Gleichung f(x)=x erfüllt sein. Dann müsste
> doch alpha=1 sein, das darf es aber ja nicht?!
?? Erstens bezieht sich die [mm] $\alpha$-Aussage [/mm] auf [mm] $f\,'\,.$ [/mm] Zweitens: Wenn $u [mm] \le [/mm] v$
sein darf, ist der Fall [mm] $u=v\,$ [/mm] NICHT ausgeschlossen - denn $u [mm] \le [/mm] v$ bedeutet,
dass (hier sogar: entweder) $u < [mm] v\,$ [/mm] oder [mm] $u=v\,$ [/mm] wahr ist.
Mal ernsthaft: Verstehst Du die Aufgabenstellung nicht? Was Fred ja
eigentlich zuerst zeigt, ist, dass [mm] $f\,$ [/mm] eine ![[]](/images/popup.gif) Lipschitzstetige Funktion ist,
für die man eine Lipschitzkonstante [mm] $\in (0,1)\,$ [/mm] angeben kann, nämlich
gerade... ?
Folglich ist [mm] $f\,$[/mm] eine Kontraktion. Somit kannst Du auf [mm] $f\,$[/mm] den Fixpunktsatz
von Banach anwenden (denn [mm] $(\IR,d_{|.|})$ [/mm] mit [mm] $d_{|.|}(x,y):=|y-x|$ [/mm] ist VOLLSTÄNDIG!)
Mal nebenbei: [mm] $f(x):=\;-\;\frac{1}{2}x+2$ [/mm] für $f [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] ist eine "triviale" Funktion,
für die [mm] $|f\,'(x)|=|\;-\;\tfrac{1}{2}|=\tfrac{1}{2} \in [/mm] (0,1)$ - für ALLE $x [mm] \in \IR$ [/mm] - erfüllt ist. Also?
(Diese Funktion ist so trivial, dass man auch direkt den Fixpunkt angeben
könnte und durch einfaches nachrechnen zeigen könnte, dass dies der
einzige ist!)
Ich hab' keine Ahnung, "was genau" Du Dir da "vorstellst".
Eine nicht ganz so triviale Funktion wäre
[mm] $$f(x):=\frac{1}{2}*\sin(\tfrac{3}{2}x)+5\,.$$
[/mm]
Mit obigen Satz kann man - einfach - zeigen: Es gibt eine und nur eine
Stelle [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] mit
[mm] $$\frac{1}{2}*\sin(\tfrac{3}{2}\red{x_0})+5=\red{x_0}\,.$$
[/mm]
Mach' Dir mal alleine DIESE Aussage klar, indem Du die Graphen von
[mm] $$f(x)=\frac{1}{2}*\sin(\tfrac{3}{2}x)+5$$
[/mm]
und
[mm] $$g(x)=x\,$$
[/mm]
zeichnest/Dir plotten läßt...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Sa 04.05.2013 | | Autor: | lol13 |
danke für die Beispiele, habe mir die Graphen nun angeschaut und mir den Fixpunktssatz noch einmal verdeutlicht. Das einzige, was ich jetzt noch nicht verstanden habe bei (i) ist, woran man jetzt erkennt, dass der Raum vollständig ist...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 Sa 04.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> danke für die Beispiele, habe mir die Graphen nun
> angeschaut und mir den Fixpunktssatz noch einmal
> verdeutlicht. Das einzige, was ich jetzt noch nicht
> verstanden habe bei (i) ist, woran man jetzt erkennt, dass
> der Raum vollständig ist...
Die Funktion f in (i) ist auf [mm] \IR [/mm] def. und [mm] \IR [/mm] ist vollständig !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:23 Sa 04.05.2013 | | Autor: | lol13 |
danke Fred:) dann kann ich ja einfach schreiben, dass das laut Vorlesung gilt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 Sa 04.05.2013 | | Autor: | lol13 |
zu (ii):
wenn f injektiv ist, mus ich zeigen: für alle x [mm] \not= [/mm] x* : f(x) [mm] \not= [/mm] f(x*)
Wie lässt sich das bei einer unkonkreten Funktion zeigen? Oder lieber dafür über die Monotonie rangehen? Dann gibt es aber auch wieder das Problem mit der unkonkreten Funktion.
Bei der Umkehrabbildung [mm] f^{-1} (\IR) [/mm] = [mm] \IR
[/mm]
komme ich dann auch nicht weiter, weil mir konkrete Zahlen fehlen.
Vielen Dank für eure Hilfe, ich bin euch sehr dankbar. :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Sa 04.05.2013 | | Autor: | fred97 |
Wir haben doch
$ [mm] f'(x)\geq \beta [/mm] >1>0$ . Danit ist f streng wachsend.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Sa 04.05.2013 | | Autor: | lol13 |
stimmt, wie blöd von mir! Kannst du mir vllt erklären, warum du ganz am Anfang die Umkehrabbildung vorgeschlagen hast? Ein Satz aus der Vorlesung besagt, dass unter der Voraussetzung eines kompakten metrischen Raums, einer stetigen und bijektiven Funktion die Umkehrabbildung wieder stetig ist. Wie hilft mir das dann aber weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Sa 04.05.2013 | | Autor: | lol13 |
habe mir das ganze noch einmal an einem Beispiel überlegt (0,5x+5). Die Umkehrfunktion wäre dann ja 2x-10.
Stimmt es immer, dass der Schnittpunkt beider Funktionen der Fixpunkt ist? (in diesem Fall bei 10)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 So 05.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> habe mir das ganze noch einmal an einem Beispiel überlegt
> (0,5x+5). Die Umkehrfunktion wäre dann ja 2x-10.
> Stimmt es immer, dass der Schnittpunkt beider Funktionen
> der Fixpunkt ist? (in diesem Fall bei 10)
Du hast nun ein Beispiel, bei dem diese Aussage stimmt. Wenn Du glaubst,
dass das allgemeingültig ist, dann teste erstmal andere (auch kompliziertere)
Beispiele, und wenn es dann immer noch klappt, dann formuliere und
beweise Deine Behauptung. (Wenn der Beweis nicht gelingt, wirst Du halt
eventuell eine falsche Behauptung aufgestellt haben).
Aber schauen wir mal:
$f [mm] \colon \IR \to \IR$
[/mm]
ist injektiv. Daher existiert [mm] $f^{-1} \colon f(\IR) \to \IR$ [/mm] (das ist Freds Verwendung
des Begriffes Umkehrfunktion, ich selbst verwende diesen anders - bei mir
braucht man die Bijektivität, um von Umkehrfunktionen reden zu dürfen.
Aber etwa Heuser benutzt diesen Begriff auch in Freds Sinne!).
Jetzt sollte man auch zeigen, dass [mm] $f\,$ [/mm] surjektiv ist, also [mm] $f(\IR)=\IR$ [/mm] gilt:
Sei $x [mm] \in \IR$ [/mm] fest und sei $y > [mm] x\,.$ [/mm] Dann gilt (MWS)
[mm] $$\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=f\,'(\xi)$$
[/mm]
mit einem [mm] $\xi \in (x,y)\,.$
[/mm]
Also
$$|f(y)-f(x)| [mm] \ge \beta [/mm] |y-x| > |y-x|$$
für alle $y > [mm] x\,.$ [/mm] Was folgt bei $y [mm] \to \infty$?
[/mm]
Analog überlege Dir etwas für $z < [mm] x\,$ [/mm] und $z [mm] \to -\,\infty\,.$ [/mm] Dann denke drüber
nach, ob man bei [mm] $\lim_{y \to \infty}f(y)$ [/mm] und [mm] $\lim_{z \to -\,\infty}f(z)$ [/mm] gleiches Vorzeichen
haben kann (beachte die strenge Monotonie). Wie folgt damit nun
[mm] $f(\IR)=\IR$? [/mm] (Beachte: $f [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] ist als diff'bare Funktion stetig!)
Dann dürfen wir also schreiben:
Es existiert
[mm] $$f^{-1} \colon f(\IR) \to \IR\,$$
[/mm]
und es ist sogar
[mm] $$f^{-1} \colon \red{\;\IR\;} \to \IR\,.$$
[/mm]
Die Gleichung [mm] $f(x)=x\,$ [/mm] ist somit äquivalent zu [mm] $f^{-1}(f(x))=f^{-1}(x)\,,$ [/mm] also wegen [mm] $f^{-1} \circ f=\text{id}_{\IR}$ [/mm] gleichwertig zu
[mm] $$x=f^{-1}(x)$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$f^{-1}(x)=x\,.$$
[/mm]
D.h.: Wenn wir die Gleichung [mm] $f^{-1}(y)=y\,$ [/mm] für $y [mm] \in \IR$ [/mm] in eindeutiger Weise
lösen können, dann sind wir mit [mm] $x:=f^{-1}(y)$ [/mm] und haben alles gezeigt.
Es reicht nun also, noch zu zeigen: [mm] $f^{-1}$ [/mm] ist eine Konraktion, und beachte:
Wir wissen schon [mm] $f^{-1} \colon \red{\;\IR\;} \to \IR$! [/mm] (Erinnere Dich dran, dass Fred den
Begriff der Umkehrfunktion schon bei 'nur' injektiven Funktionen
verwendet!)
Nun denn: Ich habe Dir schon vieles vorweggenommen, es fehlen noch
ein paar Argumente, um die Surjektivität von [mm] $f\,$ [/mm] einzusehen (ich habe
sie angedeutet). Und es fehlt natürlich explizit der Beweis, dass nun [mm] $f^{-1}$
[/mm]
auch wirklich eine Kontraktion ist!
P.P.S. Wenn Du das alles hinbekommen hast, dann zeigt die Gleichung
[mm] $$f(x)=x=f^{-1}(x)$$
[/mm]
auch... was?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:46 So 05.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > habe mir das ganze noch einmal an einem Beispiel überlegt
> > (0,5x+5). Die Umkehrfunktion wäre dann ja 2x-10.
> > Stimmt es immer, dass der Schnittpunkt beider
> Funktionen
> > der Fixpunkt ist? (in diesem Fall bei 10)
>
> Du hast nun ein Beispiel, bei dem diese Aussage stimmt.
> Wenn Du glaubst,
> dass das allgemeingültig ist, dann teste erstmal andere
> (auch kompliziertere)
> Beispiele, und wenn es dann immer noch klappt, dann
> formuliere und
> beweise Deine Behauptung. (Wenn der Beweis nicht gelingt,
> wirst Du halt
> eventuell eine falsche Behauptung aufgestellt haben).
>
> Aber schauen wir mal:
>
> [mm]f \colon \IR \to \IR[/mm]
>
> ist injektiv. Daher existiert [mm]f^{-1} \colon f(\IR) \to \IR[/mm]
> (das ist Freds Verwendung
> des Begriffes Umkehrfunktion, ich selbst verwende diesen
> anders - bei mir
> braucht man die Bijektivität, um von Umkehrfunktionen
> reden zu dürfen.
> Aber etwa Heuser benutzt diesen Begriff auch in Freds
> Sinne!).
>
> Jetzt sollte man auch zeigen, dass [mm]f\,[/mm] surjektiv ist, also
> [mm]f(\IR)=\IR[/mm] gilt:
> Sei [mm]x \in \IR[/mm] fest und sei [mm]y > x\,.[/mm] Dann gilt (MWS)
> [mm]\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=f\,'(\xi)[/mm]
> mit einem [mm]\xi \in (x,y)\,.[/mm]
>
> Also
> [mm]|f(y)-f(x)| \ge \beta |y-x| > |y-x|[/mm]
> für alle [mm]y > x\,.[/mm]
> Was folgt bei [mm]y \to \infty[/mm]?
>
> Analog überlege Dir etwas für [mm]z < x\,[/mm] und [mm]z \to -\,\infty\,.[/mm]
> Dann denke drüber
> nach, ob man bei [mm]\lim_{y \to \infty}f(y)[/mm] und [mm]\lim_{z \to -\,\infty}f(z)[/mm]
> gleiches Vorzeichen
> haben kann (beachte die strenge Monotonie). Wie folgt damit
> nun
> [mm]f(\IR)=\IR[/mm]? (Beachte: [mm]f \colon \IR \to \IR[/mm] ist als
> diff'bare Funktion stetig!)
>
> Dann dürfen wir also schreiben:
> Es existiert
> [mm]f^{-1} \colon f(\IR) \to \IR\,[/mm]
> und es ist sogar
> [mm]f^{-1} \colon \red{\;\IR\;} \to \IR\,.[/mm]
>
> Die Gleichung [mm]f(x)=x\,[/mm] ist somit äquivalent zu
> [mm]f^{-1}(f(x))=f^{-1}(x)\,,[/mm] also wegen [mm]f^{-1} \circ f=\text{id}_{\IR}[/mm]
> gleichwertig zu
> [mm]x=f^{-1}(x)[/mm]
> bzw.
> [mm]f^{-1}(x)=x\,.[/mm]
>
> D.h.: Wenn wir die Gleichung [mm]f^{-1}(y)=y\,[/mm] für [mm]y \in \IR[/mm]
> in eindeutiger Weise
> lösen können, dann sind wir mit [mm]x:=f^{-1}(y)[/mm] und haben
> alles gezeigt.
>
> Es reicht nun also, noch zu zeigen: [mm]f^{-1}[/mm] ist eine
> Konraktion, und beachte:
> Wir wissen schon [mm]f^{-1} \colon \red{\;\IR\;} \to \IR[/mm]!
> (Erinnere Dich dran, dass Fred den
> Begriff der Umkehrfunktion schon bei 'nur' injektiven
> Funktionen
> verwendet!)
>
> Nun denn: Ich habe Dir schon vieles vorweggenommen, es
> fehlen noch
> ein paar Argumente, um die Surjektivität von [mm]f\,[/mm]
> einzusehen (ich habe
> sie angedeutet). Und es fehlt natürlich explizit der
> Beweis, dass nun [mm]f^{-1}[/mm]
> auch wirklich eine Kontraktion ist!
Hallo Marcel,
das hab ich ihm hier vorgemacht:
https://matheraum.de/read?i=964781
FRED
>
> P.P.S. Wenn Du das alles hinbekommen hast, dann zeigt die
> Gleichung
> [mm]f(x)=x=f^{-1}(x)[/mm]
> auch... was?
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Sa 04.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> stimmt, wie blöd von mir! Kannst du mir vllt erklären,
> warum du ganz am Anfang die Umkehrabbildung vorgeschlagen
> hast?
Fred hatte erst gesagt: Zeige die Injektivität.
Der Sinn, die Umkehrfunktion ins Spiel zu bringen, liegt wohl daran, dass
Du nicht einfach auf eine injektive Funktion den Banachschen Fixpunktsatz
loslassen kannst.
Und mal ehrlich: Beispiele sind gut und schön, sie sollen Dir helfen, die
Allgemeingültigkeit oder Stärke der Aussagen überhaupt mal richtig zu
verstehen. Aber wenn Du Mathematik betreibst, geht's fast immer darum,
zu argumentieren. Man argumentiert (beweist) zunächst und meist
macht man sich die Sachen dann danach auch noch an Beispielen klarer.
In welchem Semester bist Du denn? Denn Deine Aussage "Ich habe ja
keine konkrete Funktion oder Zahlen, die ich einsetzen kann..." wirkt doch
schon sehr... sagen wir mal: unbeholfen. Wenn ich den Mittelwersatz
beweise, habe ich auch sehr wenig konkretes, und dafür dennoch eine
allgemeine Vorgehensweise, die auch auch nochmal speziell auf "konkrete
Funktionen" übertragen könnte (sofern die Voraussetzungen zur
Anwendung des MWS gegeben sind).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 So 05.05.2013 | | Autor: | lol13 |
> Fred hatte erst gesagt: Zeige die Injektivität.
>
> Der Sinn, die Umkehrfunktion ins Spiel zu bringen, liegt
> wohl daran, dass
> Du nicht einfach auf eine injektive Funktion den
> Banachschen Fixpunktsatz
> loslassen kannst.
An welchen Eigenschaften/Voraussetzungen im Banachschen Fixpunktsatz erkenne ich das?
> Und mal ehrlich: Beispiele sind gut und schön, sie sollen
> Dir helfen, die
> Allgemeingültigkeit oder Stärke der Aussagen überhaupt
> mal richtig zu
> verstehen. Aber wenn Du Mathematik betreibst, geht's fast
> immer darum,
> zu argumentieren. Man argumentiert (beweist) zunächst und
> meist
> macht man sich die Sachen dann danach auch noch an
> Beispielen klarer.
> In welchem Semester bist Du denn? Denn Deine Aussage "Ich
> habe ja
> keine konkrete Funktion oder Zahlen, die ich einsetzen
> kann..." wirkt doch
> schon sehr... sagen wir mal: unbeholfen. Wenn ich den
> Mittelwersatz
> beweise, habe ich auch sehr wenig konkretes, und dafür
> dennoch eine
> allgemeine Vorgehensweise, die auch auch nochmal speziell
> auf "konkrete
> Funktionen" übertragen könnte (sofern die
> Voraussetzungen zur
> Anwendung des MWS gegeben sind).
>
Ich mache mir das ganze meist erst an Beispielen deutlich, um das Problem zu "sehen".
PS: Habe grade mal angefangen zu studieren, habe halt Probleme mit manchen Beweisen, aber versuche, sie nachzuvollziehen und hoffentlich bald weniger Probleme damit zu haben.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 So 05.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Fred hatte erst gesagt: Zeige die Injektivität.
> >
> > Der Sinn, die Umkehrfunktion ins Spiel zu bringen, liegt
> > wohl daran, dass
> > Du nicht einfach auf eine injektive Funktion den
> > Banachschen Fixpunktsatz
> > loslassen kannst.
>
> An welchen Eigenschaften/Voraussetzungen im Banachschen
> Fixpunktsatz erkenne ich das?
na, Du kannst Sätze nur dann "auf etwas loslassen", wenn dabei auch
die Voraussetzungen dafür gegeben sind. Beim Banachschen Fixpunktsatz
steht "Sei [mm] $f\,$ [/mm] eine Kontraktion..." Eine injektive Funktion wird i.a. keine
Kontraktion sein (müssen).
> > Und mal ehrlich: Beispiele sind gut und schön, sie sollen
> > Dir helfen, die
> > Allgemeingültigkeit oder Stärke der Aussagen überhaupt
> > mal richtig zu
> > verstehen. Aber wenn Du Mathematik betreibst, geht's
> fast
> > immer darum,
> > zu argumentieren. Man argumentiert (beweist) zunächst
> und
> > meist
> > macht man sich die Sachen dann danach auch noch an
> > Beispielen klarer.
> > In welchem Semester bist Du denn? Denn Deine Aussage "Ich
> > habe ja
> > keine konkrete Funktion oder Zahlen, die ich einsetzen
> > kann..." wirkt doch
> > schon sehr... sagen wir mal: unbeholfen. Wenn ich den
> > Mittelwersatz
> > beweise, habe ich auch sehr wenig konkretes, und dafür
> > dennoch eine
> > allgemeine Vorgehensweise, die auch auch nochmal
> speziell
> > auf "konkrete
> > Funktionen" übertragen könnte (sofern die
> > Voraussetzungen zur
> > Anwendung des MWS gegeben sind).
> >
>
> Ich mache mir das ganze meist erst an Beispielen deutlich,
> um das Problem zu "sehen".
>
> PS: Habe grade mal angefangen zu studieren, habe halt
> Probleme mit manchen Beweisen, aber versuche, sie
> nachzuvollziehen und hoffentlich bald weniger Probleme
> damit zu haben.
Sei wann studierst Du? Ich frage deswegen, weil der Banachsche
Fixpunktsatz bei uns sehr spät bewiesen wurde:
Satz 21.1
Nicht, dass man ihn nicht früher hätte beweisen können. Hast Du ein
Skript, in das man mal reingucken kann?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:08 So 05.05.2013 | | Autor: | lol13 |
ich bin Anfang 2.Sem. ;) leider habe ich kein Skript, nur Mitschriften aus der Vorlesung. Ich will dich ja nicht nerven..., aber die Sache mit der Injektivität in Zusammenhang mit Kontraktion verstehe ich noch nicht so ganz/kann ich mir nirgendwo erlesen...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:41 So 05.05.2013 | | Autor: | fred97 |
Als Skizze:
Nach dem MWS ist
(*) |f(x)-f(y)| [mm] \ge \beta*|x-y|
[/mm]
Sei g die Umkehrfunktion von f.
Seien u,v [mm] \in f(\IR), [/mm] also u=f(x),v=f(y) für gewisse x,y [mm] \in \IR
[/mm]
Aus (*) folgt:
|u-v| [mm] \ge \beta [/mm] |g(u)-g(v)|
Also:
| g(u)-g(v)| [mm] \le \bruch{1}{\beta}|u-v|
[/mm]
Die Feinheiten überlasse ich Dir.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:46 So 05.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Als Skizze:
>
> Nach dem MWS ist
>
> (*) |f(x)-f(y)| [mm]\ge \beta*|x-y|[/mm]
>
> Sei g die Umkehrfunktion von f.
>
> Seien u,v [mm]\in f(\IR),[/mm] also u=f(x),v=f(y) für gewisse x,y
> [mm]\in \IR[/mm]
>
> Aus (*) folgt:
>
> |u-v| [mm]\ge \beta[/mm] |g(u)-g(v)|
>
> Also:
>
> | g(u)-g(v)| [mm]\le \bruch{1}{\beta}|u-v|[/mm]
>
>
> Die Feinheiten überlasse ich Dir.
er sollte sich mit meiner Antwort hier nun auch alles zusammenbauen können!
P.S. Man braucht doch [mm] $f(\IR)=\IR$ [/mm] - oder habe ich mir da zuviel überlegt?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:50 So 05.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Als Skizze:
> >
> > Nach dem MWS ist
> >
> > (*) |f(x)-f(y)| [mm]\ge \beta*|x-y|[/mm]
> >
> > Sei g die Umkehrfunktion von f.
> >
> > Seien u,v [mm]\in f(\IR),[/mm] also u=f(x),v=f(y) für gewisse x,y
> > [mm]\in \IR[/mm]
> >
> > Aus (*) folgt:
> >
> > |u-v| [mm]\ge \beta[/mm] |g(u)-g(v)|
> >
> > Also:
> >
> > | g(u)-g(v)| [mm]\le \bruch{1}{\beta}|u-v|[/mm]
> >
> >
> > Die Feinheiten überlasse ich Dir.
>
> er sollte sich mit meiner Antwort hier
> nun auch alles zusammenbauen können!
>
> P.S. Man braucht doch [mm]f(\IR)=\IR[/mm] - oder habe ich mir da
> zuviel überlegt?
Na klar braucht man das.
FRED
>
> Gruß,
> Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:54 So 05.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > P.S. Man braucht doch [mm]f(\IR)=\IR[/mm] - oder habe ich mir da
> > zuviel überlegt?
>
> Na klar braucht man das.
mich hat's nur verwirrt, weil das nicht erwähnt wurde. Denn
[mm] $g=f^{-1} \colon [/mm] X [mm] \to [/mm] X$ muss ja eine Kontraktion sein, nicht nur
[mm] $g=f^{-1} \colon [/mm] X [mm] \supseteq [/mm] M [mm] \to X\,.$ [/mm] Ich hatte da auch irgendwie mal
ein Beispiel in Erinnerung, wo ich das nicht beachtet hatte... (ich glaube,
man kann sich sowas schnell zusammenbasteln).
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 So 05.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> stimmt, wie blöd von mir! Kannst du mir vllt erklären,
> warum du ganz am Anfang die Umkehrabbildung vorgeschlagen
> hast? Ein Satz aus der Vorlesung besagt, dass unter der
> Voraussetzung eines kompakten metrischen Raums, einer
> stetigen und bijektiven Funktion die Umkehrabbildung wieder
> stetig ist. Wie hilft mir das dann aber weiter?
weiß ich nicht - nicht alle Sätze, die Du zur Verfügung hast, helfen auch immer
bei einer konkreten Aufgabe. Hier ist [mm] $\IR$ [/mm] auch sicher nicht kompakt, ob der
Satz bei Anwendung auf [mm] $f_{|[a,b]}$ [/mm] helfen könnte, sehe ich gerade auch
nicht...
Aber hier steht nun fast alles, was Du für diese Aufgabe brauchst!
Gruß,
Marcel
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