B=WtW < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei
B = [mm] \pmat{ 10 & 14 \\ 14 & 20 }.
[/mm]
Bestimmen Sie eine Matrix W [mm] \in Gl_{2}(\IR), [/mm] so dass B [mm] =W^{t}W. [/mm] |
Ich habe das ausgerechnet und bin auf 4 Gleichungen gekommen:
[mm] a^2+c^2 [/mm] = 10
ab + cd = 14
ab + cd = 14
[mm] b^2 [/mm] + [mm] d^2 [/mm] = 20
Aber das hilft mir nicht wirklich weiter. Kann mir jemand helfen?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 So 15.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> B = [mm]\pmat{ 10 & 14 \\ 14 & 20 }.[/mm]
> Bestimmen Sie eine Matrix
> W [mm]\in Gl_{2}(\IR),[/mm] so dass B [mm]=W^{t}W.[/mm]
berechne das char. Polynom, Eigenwerte, Eigenvektoren und diagonalisiere die Matrix damit.
Nun kannst du aus einer Diagonalmatrix mit positiven Diagonaleinträgen stets die Einheitsmatrix bekommen, indem du von links und rechts mit einer Diagonalmatrix multiplizierst, deren Einträge gerade der Kehrwert der Wurzel aus den Diagonalelementen sind. Zum Ausgleich müssen die beiden Matrizen [mm] $W^{-1}$ [/mm] und $W$ entsprechend mit Diagonalmatrizen multipliziert werden, deren Diagonalelemente die Wurzel der Diagonaleinträge haben.
(Es geht zwar praktisch auch einfacher, aber ich glaube so ist es leichter verständlich, was passiert)
LG
Will
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Also für das char. Polynom habe ich: [mm] \lambda^{2}-30\lambda+4 [/mm] und für die Eigenwerte [mm] \lambda_{1}=15-\wurzel{221} [/mm] und [mm] \lambda_{2}=15+\wurzel{221}. [/mm] Für die Eigenvektoren hätte ich [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] raus. Das kann ja wohl nicht stimmen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 So 15.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
die Eigenwerte stimmen. Der Nullvektor ist natürlich ausgeschlossen als Eigenvektor.
Die Rechnung wird allerdings grausam :-(
Mein Beileid schonmal.
LG
Will
PS: Seid in der Vorlesung einfach etwas leiser,
dann stellt der Prof. in der Regel auch nicht solche fiesen Aufgaben. 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 So 15.06.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
in der Tat keine schöne Rechnung, wie koepper schon meinte.
Aber man kann auch drauf kommen, wenn man sich
> [mm] a^2+c^2=10
[/mm]
> ab + cd = 14
> ab + cd = 14
> [mm] b^2+d^2=20
[/mm]
ansieht.
Probier's doch mal mit
[mm] W=\pmat{ 3 & 1 \\ 4 & 2 }. [/mm] Dann ist [mm] W^t=\pmat{ 3 & 4 \\ 1 & 2 } [/mm] und
[mm] W^t*W=\pmat{ 3 & 1 \\ 4 & 2 }*\pmat{ 3 & 4 \\ 1 & 2 } =\pmat{ 10 & 14 \\ 14 & 20 }
[/mm]
Hier war es natürlich noch einfach, aber bei schwierigeren Matrizen musst du wohl auf die Vorgehensweise, die dir koepper nahegelegt hat, zurückgreifen.
MfG barsch
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