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| Aufgabe | a) Für jede Menge S gilt S [mm] $\notin$ [/mm] S.
b) Die Kollektion aller mathematischen Objekte U und die Kollektion
aller Mengen S sind selber keine Mengen.
c) Die Kollektion $ [mm] \bigcap \emptyset [/mm] $ ist keine Menge. |
Mhm es tut mir wirklich leid, aber ich weiss nicht wie ich diese Aufgaben lösen soll. Ich habe mich mit den Axiomen aus der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre angeschaut, aber ich komme auf keinen Ansatz. Wäre sehr dankbar, wenn mich jemand auf die richtige Fährte führt.
Ich denke, man kann das irgendwie beweisen, indem man die negation der Ausdrücke betrachtet und zeigt, dass das zu einem Wiederspruch führt...
Gruss SA
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:05 Mi 19.09.2012 | | Autor: | hippias |
Hallo SamuraiApocalypse
zu b) Man kann bezueglich einer Menge $S$ die sog.Russel Menge bilden: [mm] $R_{S}:= \{x|x\in S, x\not\in x\}$ [/mm] und zeigen, dass stets [mm] $R_{S}\not\in [/mm] S$ gilt. Waere nun etwa die Kollektion aller Mengen eine Menge, so kannst Du mit Hilfe der zugehoerigen Russel-Menge einen Widerspruch ableiten. Ebenso fuer die Kolektion aller math. Objekte.
zu c) Nach Definition ist [mm] $x\in \cap [/mm] S$ genau dann, wenn [mm] $x\in [/mm] s$ fuer alle [mm] $s\in [/mm] S$. Sei nun $x$ ein bel. Objekt und nimm an, es waere [mm] $x\not\in \cap \emptyset$. [/mm] Dann gaebe es ein .... Also folgt, dass [mm] $\cap \emptyset$ [/mm] alle Objekte enthaelt.
zu a) wuerde ich auch gerne etwas schreiben, weiss aber nicht, was.
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Danke für die Antwort.
b) konnte ich lösen
> zu c) Nach Definition ist [mm]x\in \cap S[/mm] genau dann, wenn [mm]x\in s[/mm]
> fuer alle [mm]s\in S[/mm]. Sei nun [mm]x[/mm] ein bel. Objekt und nimm an, es
> waere [mm]x\not\in \cap \emptyset[/mm]. Dann gaebe es ein .... Also
> folgt, dass [mm]\cap \emptyset[/mm] alle Objekte enthaelt.
waere [mm]x\not\in \cap \emptyset[/mm]. Dann gaebe es ein [mm] x\in s [/mm] für alle [mm] s\notin\emptyset [/mm].
> Also folgt, dass $ [mm] \cap \emptyset [/mm] $ alle Objekte enthaelt.
Warum kannst du das so sagen?
Gruss SA
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:30 Fr 21.09.2012 | | Autor: | hippias |
> Danke für die Antwort.
>
> b) konnte ich lösen
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> > zu c) Nach Definition ist [mm]x\in \cap S[/mm] genau dann, wenn [mm]x\in s[/mm]
> > fuer alle [mm]s\in S[/mm]. Sei nun [mm]x[/mm] ein bel. Objekt und nimm an, es
> > waere [mm]x\not\in \cap \emptyset[/mm]. Dann gaebe es ein .... Also
> > folgt, dass [mm]\cap \emptyset[/mm] alle Objekte enthaelt.
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> waere [mm]x\not\in \cap \emptyset[/mm]. Dann gaebe es ein [mm]x\in s[/mm]
> für alle [mm]s\notin\emptyset [/mm].
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> > Also folgt, dass [mm]\cap \emptyset[/mm] alle Objekte enthaelt.
>
> Warum kannst du das so sagen?
Du hast Dir den Durchschnitt nicht richtig ueberlegt: Nach Definition ist [mm] $\cap \emptyset$ [/mm] die Kollektion aller $x$, die in jedem [mm] $s\in \emptyset$ [/mm] enthalten sind. Waere also [mm] $x\not\in\cap \emptyset$, [/mm] dann gaebe es ein [mm] $s\in \emptyset$ [/mm] mit [mm] $x\not\in [/mm] s$. Da es ein solches $s$ nicht geben kann,folgt [mm] $x\in \cap \emptyset$ [/mm] fuer alle $x$.
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> Gruss SA
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Hallo hippias
Ich komme mir langsam echt dämlich vor, aber ich verstehe nicht warum es ein solches s nicht geben kann..
Und weil $ [mm] x\in \cap \emptyset [/mm] $ fuer alle $ x $ gilt, also ohne Beschränkungen, ist es keine Menge?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 So 23.09.2012 | | Autor: | hippias |
> Hallo hippias
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> Ich komme mir langsam echt dämlich vor, aber ich verstehe
> nicht warum es ein solches s nicht geben kann..
Es kann deshalb kein solches [mm] $s\in \emptyset$ [/mm] geben, weil [mm] $\emptyset$ [/mm] eben leer ist.
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> Und weil [mm]x\in \cap \emptyset[/mm] fuer alle [mm]x[/mm] gilt, also ohne
> Beschränkungen, ist es keine Menge?
Ja, es ist die Kollektion aller Objekte und damit zu gross fuer eine Menge.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Do 20.09.2012 | | Autor: | SEcki |
> a) Für jede Menge S gilt [m]S\not\in S[/m].
Dies ist ein Widerspruch zum fundierungsaxiom.
SEcki
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