Automorphismusgruppen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Geben Sie die Automorphismusgruppen der zyklischen Gruppen [mm] $Z_5$, $Z_6$ [/mm] und [mm] $Z_9$ [/mm] an. |
Hallo Freunde der Mathematik,
im Zuge meiner Übungen zur anstehenden Klausur, wird wohl auch dieses Thema eine Rolle spielen. Leider habe ich diesen Abschnitt, nämlich Automorphismengruppen von Gruppen zu bilden, keine Ahnung. Könnte mir jemand das Schritt für Schritt erklären bzw. einen Link Posten, wo es erklärt steht?
Vielen Dank schon mal im Voraus.
Liebe Grüße
Christoph
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Mi 03.07.2013 | | Autor: | hippias |
Ein einfaches Verfahren zur Bestimmung der Automorphismen einer Gruppe gibt es wohl nicht - da waere die Welt wohl sonst zu langweilig. Bei zyklischen Gruppen aber geht es dann doch ganz gut: Du erinnerst Dich vielleicht, dass lineare Abbildungen durch die Bilder einer Basis eindeutig bestimmt sind, und bei zyklischen Gruppen ist ganz aehnlich.
Vielleicht solltest Du Dir folgendes zu Homomorphismen von zyklischen Gruppen klarmachen, ehe Du die Automorphismen bestimmst: Sei $C= <x>$ eine zyklische Gruppe.
1) Sind [mm] $\alpha,\beta:C\to [/mm] C$ Homomorphismen und gilt [mm] $x^{\alpha}= x^{\beta}$, [/mm] so gilt [mm] $\alpha= \beta$.
[/mm]
2) Ist [mm] $y\in [/mm] C$ beliebig, so gibt es einen Homomorphimus [mm] $\phi:C\to [/mm] C$, der $x$ auf $y$ abbildet.
Uebrigens: Wenn das soweit stimmt, dann koennte man sagen, dass es einen eineindeutigen Zusammenhang zwischen den Elementen und den Homomorphismen von $C$ gibt.
Nun kannst Du Dir ueberlegen, welche besondere Eigenschaft [mm] $x^{\phi}= x^{m}$ [/mm] - $C$ ist ja zyklisch - haben muss, damit [mm] $\phi$ [/mm] sogar ein Automorphismus ist. Das zusammen liefert einen Isomorphismus zwischen der Automorphismengruppe und der Einheitengruppe eines Ringes.
|
|
|
| |
|
Hallo Hippias,
> Ein einfaches Verfahren zur Bestimmung der Automorphismen
> einer Gruppe gibt es wohl nicht - da waere die Welt wohl
> sonst zu langweilig. Bei zyklischen Gruppen aber geht es
> dann doch ganz gut: Du erinnerst Dich vielleicht, dass
> lineare Abbildungen durch die Bilder einer Basis eindeutig
> bestimmt sind, und bei zyklischen Gruppen ist ganz
> aehnlich.
>
> Vielleicht solltest Du Dir folgendes zu Homomorphismen von
> zyklischen Gruppen klarmachen, ehe Du die Automorphismen
> bestimmst: Sei [mm]C= [/mm] eine zyklische Gruppe.
> 1) Sind [mm]\alpha,\beta:C\to C[/mm] Homomorphismen und gilt
> [mm]x^{\alpha}= x^{\beta}[/mm], so gilt [mm]\alpha= \beta[/mm].
Gilt dann nicht sogar [mm] $\alpha=k*\beta\forall k\in \IN$ [/mm] ?
> 2) Ist [mm]y\in C[/mm]
> beliebig, so gibt es einen Homomorphimus [mm]\phi:C\to C[/mm], der [mm]x[/mm]
> auf [mm]y[/mm] abbildet.
>
> Uebrigens: Wenn das soweit stimmt, dann koennte man sagen,
> dass es einen eineindeutigen Zusammenhang zwischen den
> Elementen und den Homomorphismen von [mm]C[/mm] gibt.
Das heißt doch nichts anderes als das [mm] $\phi$ [/mm] bijektiv und ein Endomorphismus ist, oder?
> Nun kannst Du Dir ueberlegen, welche besondere Eigenschaft
> [mm]x^{\phi}= x^{m}[/mm] - [mm]C[/mm] ist ja zyklisch - haben muss, damit
> [mm]\phi[/mm] sogar ein Automorphismus ist. Das zusammen liefert
> einen Isomorphismus zwischen der Automorphismengruppe und
> der Einheitengruppe eines Ringes.
Jenen Isomorphismus kann man dann mithilfe der eulerschen [mm] $\phi$- [/mm] Funktion bestimmen, wenn ich da richtig liege.
Ok. Falls ich das dann richtig verstanden habe liefert mir der Isomorphismus eine Information, wieviele Elemente meine Automorphismusgruppe haben muss. Ist das richtig?
Die Frage ist, wie die einzelnen Endomorphismen beschaffen sein müssen damit es jenes Gruppenelement der Gruppe ist? Ich hoffe ihr versteht, was ich jetzt meine  .
Ansonsten erstmal vielen Dank für deinen Beitrag.
Liebe Grüße
Christoph
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Mi 03.07.2013 | | Autor: | hippias |
> Hallo Hippias,
>
> > Ein einfaches Verfahren zur Bestimmung der Automorphismen
> > einer Gruppe gibt es wohl nicht - da waere die Welt wohl
> > sonst zu langweilig. Bei zyklischen Gruppen aber geht es
> > dann doch ganz gut: Du erinnerst Dich vielleicht, dass
> > lineare Abbildungen durch die Bilder einer Basis eindeutig
> > bestimmt sind, und bei zyklischen Gruppen ist ganz
> > aehnlich.
> >
> > Vielleicht solltest Du Dir folgendes zu Homomorphismen von
> > zyklischen Gruppen klarmachen, ehe Du die Automorphismen
> > bestimmst: Sei [mm]C= [/mm] eine zyklische Gruppe.
> > 1) Sind [mm]\alpha,\beta:C\to C[/mm] Homomorphismen und gilt
> > [mm]x^{\alpha}= x^{\beta}[/mm], so gilt [mm]\alpha= \beta[/mm].
>
> Gilt dann nicht sogar [mm]\alpha=k*\beta\forall k\in \IN[/mm] ?
Ich weiss nicht was das bedeutet soll. Und wieso "sogar"? Versuche zu beweisen, wieso Behauptung 1) gilt.
>
> > 2) Ist [mm]y\in C[/mm]
> > beliebig, so gibt es einen Homomorphimus [mm]\phi:C\to C[/mm], der [mm]x[/mm]
> > auf [mm]y[/mm] abbildet.
> >
> > Uebrigens: Wenn das soweit stimmt, dann koennte man sagen,
> > dass es einen eineindeutigen Zusammenhang zwischen den
> > Elementen und den Homomorphismen von [mm]C[/mm] gibt.
>
> Das heißt doch nichts anderes als das [mm]\phi[/mm] bijektiv und
> ein Endomorphismus ist, oder?
Ich nehme an dies bezieht auf den nachfolgenden Absatz? Wenn dem so ist, dann hast Du natuerlich recht, aber: Wie erkennst Du dem [mm] $x^{m}$ [/mm] an, dass es das Bild eines Automorphismus ist?
>
> > Nun kannst Du Dir ueberlegen, welche besondere Eigenschaft
> > [mm]x^{\phi}= x^{m}[/mm] - [mm]C[/mm] ist ja zyklisch - haben muss, damit
> > [mm]\phi[/mm] sogar ein Automorphismus ist. Das zusammen liefert
> > einen Isomorphismus zwischen der Automorphismengruppe und
> > der Einheitengruppe eines Ringes.
>
> Jenen Isomorphismus kann man dann mithilfe der eulerschen
> [mm]\phi[/mm]- Funktion bestimmen, wenn ich da richtig liege.
Nein, die Eulersche [mm] $\phi$-Funktion [/mm] ordnet jeder natuerlichen Zahl die Anzahl der zu ihr teilerfremden, kleineren Zahlen zu. Wie das ein Automorphismus einer zykischen Gruppe werden soll, kann ich nicht erkennen.
>
> Ok. Falls ich das dann richtig verstanden habe liefert mir
> der Isomorphismus eine Information, wieviele Elemente meine
> Automorphismusgruppe haben muss. Ist das richtig?
Unter anderem, ja. Darueber hinaus erhofft man sich dadurch die Automorphismengruppe besser zu verstehen. Z.B. ist ist die Automorphismengruppe von [mm] $Z_{5}$ [/mm] isomorph zur Einheitengruppe des Restklassenringes von [mm] $\IZ$ [/mm] modulo $5$.
>
> Die Frage ist, wie die einzelnen Endomorphismen beschaffen
> sein müssen damit es jenes Gruppenelement der Gruppe ist?
> Ich hoffe ihr versteht, was ich jetzt meine .
Nicht so richtig.
Versuche die beiden Aussagen 1) und 2) zu beweisen, dann sehen wir weiter.
>
> Ansonsten erstmal vielen Dank für deinen Beitrag.
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 05.07.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
Hallo Hippias,
zu 1)
[mm] $x^\alpha= x^\beta$ |$log_x$
[/mm]
[mm] $\iff \alpha=\beta$
[/mm]
zu 2)
[mm] $x,y\in [/mm] C$ und [mm] $\phi:C\to [/mm] C, [mm] x\mapsto [/mm] y$
Sei [mm] $x=x_1\circ x_2\Rightarrow\phi (x_1\circ x_2)=\phi (x_1)\circ \phi (x_2)=y$
[/mm]
Wahrscheinlich ist das falsch, aber eine bessere Idee habe ich leider nicht.
Liebe Grüße
Christoph
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Fr 05.07.2013 | | Autor: | hippias |
> Hallo Hippias,
>
> zu 1)
>
> [mm]x^\alpha= x^\beta[/mm] |[mm]log_x[/mm]
>
> [mm]\iff \alpha=\beta[/mm]
Hier liegt ein Missverstaendnis vor: Es ist manchmal ueblich Funktionswerte anders zu schreiben, sodass mein [mm] $x^{\alpha}$ [/mm] das gleiche bedeuten soll wie [mm] $\alpha(x)$. [/mm] Also zu zeigen waere, wenn zwei Homomorphismen auf dem Erzeuger uebereinstimmen, dann sind sie gleich.
>
> zu 2)
>
> [mm]x,y\in C[/mm] und [mm]\phi:C\to C, x\mapsto y[/mm]
>
> Sei [mm]x=x_1\circ x_2\Rightarrow\phi (x_1\circ x_2)=\phi (x_1)\circ \phi (x_2)=y[/mm]
>
>
> Wahrscheinlich ist das falsch, aber eine bessere Idee habe
> ich leider nicht.
Das hat doch nichts mit dem Problem zu tun: Zu zeigen ist, wenn $x$ Erzeuger einer zyklischen Gruppe $C$ ist und [mm] $y\in [/mm] C$ beliebig, dann gibt es einen Homomorphismus, der $x$ auf $y$ abbildet. Dazu gehe folgendermassen vor: Was mit $x$ passiert ist nach Voraussetzung klar, es wird auf $y$ abgebildet. Dann muss der gesuchte Homomorphismus notwendig [mm] $x^{n}$ [/mm] auf [mm] $(???)^{n}$ [/mm] abbilden. Also kann man fuer den gesuchten Homorphismus [mm] $\phi: C\to [/mm] C$ den Ansatz [mm] $\phi(z)= y^{n}$ [/mm] waehlen, wobei $z= [mm] x^{n}$ [/mm] ist. Nun ist zu ueberpruefen, ob 1. [mm] $\phi$ [/mm] eine Funktion ist (wohldefiniert ist); 2. [mm] $\phi$ [/mm] ist ein Homomorphismus; 3. [mm] $\phi(x)= [/mm] y$.
Fuer 1. seien [mm] $x^{n}$ [/mm] und [mm] $x^{m}$ [/mm] zwei Darstellungen von $z$, d.h. $z= [mm] x^{n}= x^{m}$. [/mm] Wie folgt nun, dass auch [mm] $y^{n}= y^{m}$ [/mm] ist?
>
> Liebe Grüße
>
> Christoph
|
|
|
| |
|
Hallo Hippias,
ich verstehe überhaupt nicht, inwiefern das zielführend ist. Was hat das mit der Aufgabe zu tun?
Liebe Grüße
Christoph
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 Mo 08.07.2013 | | Autor: | hippias |
Dass es um die Bestimmung von Automorphismen, daran erinnerst Du Dich sicherlich noch. Ferner daran, dass ein Automorphismus ein bijektiver Homomorphismus ist. Da Homomorphismus zu sein die "staerkere" Eigenschaft ist als die Bijektivitaet, ist es sinnvoll erst die Homomorphismen zu bestimmen und dann die Bijektivitaet. Das habe ich alles im ersten Post erlaeutert.
Mein Ziel war es, dass Du Dir erarbeitest, dass die Homomorphismen genau die Potenzfunktionen sind, dass es also einen bijektiven Zusammenhang zwischen den Homomorphismen und den Exponenten, genauer: ihren Restklassen, gibt. Dann haettest Du anhand der Exponenten die Automorphismen identifizieren koennen und einen Isomorphismus zwischen der Automorphismengruppe und der Einheitengruppen des entsprechenden Ringes finden koennen.
Das ist es, was es mit der Aufgabe zu tun hat und auf welches Ziel es hinsteuert: Die Untersuchung der Automorphismengruppe in 3 Schritten.
|
|
|
| |
|
Danke für die Hilfe. Mittlerweile kann ich aus Zyklischen Gruppen die jeweiligen Automorphismengruppen bestimmen.
|
|
|
|
