Automorphismus, zykl. Gruppe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei G eine endliche Gruppe. Zeigen Sie:
a) Ist Aut(G) zyklisch, so ist G abelsch.
b) Ist |Aut(G)|=2, so ist G zyklisch der Ordnung 3, 4 oder 6. |
Also vorerst mal: diese Aufgabe entstammt dem Staatsexamen für Lehramt GY Mathematik Bayern vom Herbst 2005.
Ich rechne diese Aufgaben zur Prüfungsvorbereitung!
Ich weiß nicht, ob es an der fortgeschrittenen Zeit liegt oder einfach an einer Lücke in meinem Wissen, ich komm einfach nicht weiter.
a) Ich weiß was ein zyklischer Automorphismus ist, mir fehlt aber irgendwie die Idee wie ich dann darauf komme, dass G abelsch ist!?
b) Ich denke mal bei dieser Aufgabe fehlt mir das Wissen, wie die Ordnungen der Automorphismengruppe und der Gruppe G zusammenhängen!?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo liebe MatheRaumLer,
ich hab mich mit der Aufgabe jetzt nochmal intensiv beschäftigt!
Ich denke, dass ich eine Lösung gefunden habe zum Teil a)!
Also, dann mal in Kurzform (wer es ausführlich wissen will soll sich melden):
1. Ich weiß, dass Inn(G) die Gruppe der Inneren Automorphismen eine Untergruppe der Automosphismengruppe Aut(G) ist, damit folgt Inn(G) zyklisch
2. mit dem Homomorphiesatz beweise ich die Isomorphie von Inn(G) und G/Z(G), damit ist auch G/Z(G) zyklisch!
3.Es gibt also ein gZ(G) mit g [mm] \in [/mm] G, so gilt G/Z(G) = <gZ(G)>
Da Z(G) Normalteiler von G ist :
- [mm] (gZ(G))^n [/mm] = g^nZ(G), n [mm] \in \IZ
[/mm]
- G/Z(G) = {g^nZ(G)| n [mm] \in \IZ}
[/mm]
mit x,y [mm] \in [/mm] G kann ich die kommutativität nachweisen
Stimmen meine Ansätze und Ideen??
Zu Aufgabe b) konnte ich leider bis jetzt nichts finden. Ich werd einfach nicht schlau draus!
Hat jemand irgendeine Idee wie ich es angehen könnte??
Grüße,
Nicole
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 So 30.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Nicole!
> ich hab mich mit der Aufgabe jetzt nochmal intensiv
> beschäftigt!
>
> Ich denke, dass ich eine Lösung gefunden habe zum Teil a)!
> Also, dann mal in Kurzform (wer es ausführlich wissen will
> soll sich melden):
>
> 1. Ich weiß, dass Inn(G) die Gruppe der Inneren
> Automorphismen eine Untergruppe der Automosphismengruppe
> Aut(G) ist, damit folgt Inn(G) zyklisch
>
> 2. mit dem Homomorphiesatz beweise ich die Isomorphie von
> Inn(G) und G/Z(G), damit ist auch G/Z(G) zyklisch!
>
> 3.Es gibt also ein gZ(G) mit g [mm]\in[/mm] G, so gilt G/Z(G) =
> <gZ(G)>
> Da Z(G) Normalteiler von G ist :
> - [mm](gZ(G))^n[/mm] = g^nZ(G), n [mm]\in \IZ[/mm]
> - [mm]G/Z(G) = \{g^nZ(G) \mid n \in \IZ\}[/mm]
Genau.
> mit x,y [mm]\in[/mm] G kann ich die kommutativität nachweisen
Ja, indem du $x = [mm] g^k z_1$ [/mm] und $y = [mm] g^\ell z_2$ [/mm] mit [mm] $z_1, z_2 \in [/mm] Z(G)$, $k, [mm] \ell \in \IZ$ [/mm] schreibst.
> Stimmen meine Ansätze und Ideen??
Ja.
> Zu Aufgabe b) konnte ich leider bis jetzt nichts finden.
> Ich werd einfach nicht schlau draus!
> Hat jemand irgendeine Idee wie ich es angehen könnte??
Das folgende ist vielleicht nicht der einfachste Weg, aber mehr faellt mir grad nicht ein:
Du kannst (a) benutzen: Wenn $|Aut(G)| = 2$ ist, ist $Aut(G)$ zyklisch (weil von Primzahlordnung). Also ist $G$ kommutativ.
Jetzt benutz mal den Hauptsatz ueber endliche Abelsche Gruppen: Demnach ist $G [mm] \cong (\IZ/n_1\IZ)^{e_1} \times \dots \times (\IZ/n_k\IZ)^{e_k}$ [/mm] mit [mm] $e_i \in \IN$, $n_i [/mm] > 1$ fuer alle $i$ und die [mm] $n_1, \dots, n_k$ [/mm] sind paarweise verschieden.
Dann ist $Aut(G) [mm] \cong \Aut((\IZ/n_1\IZ)^{e_1}) \times \dots \times \Aut((\IZ/n_k\IZ)^{e_k})$.
[/mm]
Du kannst jetzt mal untersuchen, wann [mm] $|Aut((\IZ/n\IZ)^e)| [/mm] = 1$ ist. (Dann muss insbesondere $e = 1$ sein.)
Und dann kannst du mal untersuchen, wann [mm] $|Aut((\IZ/n\IZ)^e)| [/mm] = 2$ ist. (Z.B. muss $e [mm] \le [/mm] 2$ sein.)
Damit solltest du dann die moeglichen Gruppen mit genau zwei Automorphismen herausbekommen...
LG Felix
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Hallo Felix,
danke für Deine Antwort!
Ich hätte trotzdem noch ein paar Fragen!
Also, das ich a) verwenden kann ist logisch (Warum ist mir das nicht selber eingefallen?? ;))
Dieser Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen war mir anfangs etwas suspekt, aber ich hab den dann doch noch in meinem Buch gefunden. Nur in etwas anderer Form nämlich über abelsche p-Gruppen, was ich ja hier habe, da |Aut(G)|=2 ist!
Also, die [mm] (\IZ/n_i\IZ)^{e_i} [/mm] sind ja die primen Restklassen modulo [mm] n_i.
[/mm]
Ich komm damit aber leider nicht so zurecht, da ich den Hauptsatz noch nie richtig behandelt habe!
Für was stehen jetzt genau die [mm] n_i?
[/mm]
Sind das die Teiler der Ordnung n? (Nicht lachen!)
Bei den p-Gruppen müssten das dann ja Potenzen von p sein, oder?
Und für was stehen die [mm] e_i [/mm] ?
In meinem Buch werden die [mm] e_i [/mm] gar nicht erwähnt, liegt wohl daran, dass nur die p-Gruppen behandelt werden, also ist [mm] e_i [/mm] dann bei den p-Gruppen wohl immer 1!?
Und die Folgerung mit $Aut(G) [mm] \cong \Aut((\IZ/n_1\IZ)^{e_1}) \times \dots \times \Aut((\IZ/n_k\IZ)^{e_k})$ [/mm] ist mir auch noch schleierhaft, ich weiß auch nicht welches Brett ich nun wieder vorm Hirn habe! ;)
Das heißt bei den p-Gruppen kann ich dann folgern, dass
$Aut(G) [mm] \cong \Aut((\IZ/n_1\IZ)) \times \dots \times \Aut((\IZ/n_k\IZ))$.
[/mm]
Mir ist dann noch unklar, wie ich von den Automorphismen von G auf die Ordnung von G schließen kann!
Vielleicht kannst Du einer Algebra-Anfängerin ja noch ein wenig weiterhelfen??
Liebe Grüße und nochmal vielen Dank für deine Antwort,
Nicole
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 So 30.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Nicole!
> Dieser Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen war mir
> anfangs etwas suspekt, aber ich hab den dann doch noch in
> meinem Buch gefunden. Nur in etwas anderer Form nämlich
> über abelsche p-Gruppen, was ich ja hier habe, da
> |Aut(G)|=2 ist!
Ich schreib mal den Hauptsatz so auf, wie ich ihn kenne:
Ist $G$ eine endliche Gruppe, $|G| > 1$, so gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen [mm] $n_1, \dots, n_k [/mm] > 1$ mit [mm] $n_i \mid n_{i+1}$, [/mm] $1 [mm] \le [/mm] i < n$ und $G [mm] \cong (\IZ/n_1\IZ) \times \dots \times (\IZ/n_k\IZ)$.
[/mm]
Insbesondere ist $|G| = [mm] n_1 \cdots n_k$. [/mm] Und wenn [mm] $n_i [/mm] = [mm] n_{i+1}$ [/mm] ist, kannst du die Terme im kartesischen Produkt a la [mm] $(\IZ/n_i\IZ)^2 [/mm] = [mm] (\IZ/n_i\IZ) \times (\IZ/n_{i+1}\IZ)$ [/mm] zusammenfassen.
> Also, die [mm](\IZ/n_i\IZ)^{e_i}[/mm] sind ja die primen Restklassen
> modulo [mm]n_i.[/mm]
Du kannst den Hauptsatz auch so umformulieren:
Ist $G$ eine endliche Gruppe, $|G| > 1$, so gibt es Primzahlen [mm] $p_1, \dots, p_k$ [/mm] und natuerliche Zahlen [mm] $e_1, \dots, e_k \ge [/mm] 1$ mit $G [mm] \cong (\IZ/p_1^{e_1}\IZ) \times \dots \times (\IZ/p_k^{e_k}\IZ)$. [/mm] Die [mm] $p_i$ [/mm] und [mm] $e_i$ [/mm] sind bis auf Reihenfolge eindeutig.
Hast du den so da stehen? Mit dem kannst du auch arbeiten, du musst dann jeweils gleiche Faktoren des kartesischen Produktes zusammenfassen (im Prinzip wie oben).
> Ich komm damit aber leider nicht so zurecht, da ich den
> Hauptsatz noch nie richtig behandelt habe!
>
> Für was stehen jetzt genau die [mm]n_i?[/mm]
> Sind das die Teiler der Ordnung n? (Nicht lachen!)
Ja, es sind Teiler (siehe oben).
> Bei den p-Gruppen müssten das dann ja Potenzen von p sein,
> oder?
Genau.
> Und für was stehen die [mm]e_i[/mm] ?
Die kommen davon, wenn man die [mm] $n_i$ [/mm] zusammenfasst.
> In meinem Buch werden die [mm]e_i[/mm] gar nicht erwähnt, liegt
> wohl daran, dass nur die p-Gruppen behandelt werden, also
> ist [mm]e_i[/mm] dann bei den p-Gruppen wohl immer 1!?
Das ist das Zusammenfassen, siehe oben.
> Und die Folgerung mit [mm]Aut(G) \cong Aut((\IZ/n_1\IZ)^{e_1}) \times \dots \times Aut((\IZ/n_k\IZ)^{e_k})[/mm]
> ist mir auch noch schleierhaft, ich weiß auch nicht welches
> Brett ich nun wieder vorm Hirn habe! ;)
Das kannst du wie folgt sehen: Wenn du einen Automorphismus von $G$ hast, dann muss er eine Untergruppe der Form [mm] $\IZ/n_1\IZ$ [/mm] wieder auf eine solche Untergruppe abbilden. Deswegen muss so ein Block [mm] $(\IZ/n_i\IZ)^{e_i}$ [/mm] wieder auf sich selber abgebildet werden.
Es reicht uebrigens, dass du [mm]Aut((\IZ/n_1\IZ)^{e_1}) \times \dots \times Aut((\IZ/n_k\IZ)^{e_k})[/mm] mit einer Untergruppe von [mm] $\Aut(G)$ [/mm] identifizierst: das bedeutet ja, dass $Aut(G)$ mindestens genauso viele Automorphismen hat.
> Das heißt bei den p-Gruppen kann ich dann folgern, dass
> [mm]Aut(G) \cong \Aut((\IZ/n_1\IZ)) \times \dots \times \Aut((\IZ/n_k\IZ))[/mm].
Nein. Nur das es eine Untergruppe von $Aut(G)$ ist. Mit den Exponenten wie oben ist es etwas besser, aber halt immernoch nicht perfekt.
> Mir ist dann noch unklar, wie ich von den Automorphismen
> von G auf die Ordnung von G schließen kann!
Also: Wenn du eine Gruppe der Form [mm] $G^e$ [/mm] hast mit $G$ einer Gruppe und $e > 1$ einem positiven Exponent (also [mm] $G^e [/mm] = G [mm] \times \dots \times [/mm] G$, $e$-mal), dann hast du schonmal mindestens zwei Automorphismen, naemlich die Identitaet und den Automorphismus, der die ersten beiden Komponenten eines Elementes in [mm] $G^e$ [/mm] vertauscht. Damit kann hoechstens ein [mm] $e_i$ [/mm] groesser als $1$ sein.
Wenn du eine Gruppe der Form [mm] $\IZ/n\IZ$ [/mm] hast, dann ist [mm] $Aut(\IZ/n\IZ)$ [/mm] isomorph zu [mm] $(\IZ/n\IZ)^*$, [/mm] hat also [mm] $\phi(n)$ [/mm] Elemente (das ist die Eulersche [mm] $\phi$-Funktion, [/mm] die die Anzahl der zu $n$ teilerfremden Zahlen aus [mm] $\{ 1, \dots, n \}$ [/mm] zaehlt). Ist also $n [mm] \ge [/mm] 3$, so ist [mm] $\phi(n) \ge [/mm] 2$. Und ist $n = 5$ oder $n [mm] \ge [/mm] 7$, so ist [mm] $\phi(n) [/mm] > 2$.
Wenn du nun [mm] $Aut((\IZ/n\IZ)^e)$ [/mm] anschaust mit $e > 1$, dann gibt es mindestens $2 [mm] \cdot \phi(n)$ [/mm] Automorphismen.
Ist also irgendein [mm] $e_i [/mm] > 1$, so muss [mm] $e_i [/mm] = 2$ sein, [mm] $n_i [/mm] = 2$ (ansonsten hat [mm] $(\IZ/n_i\IZ)^{e_i}$ [/mm] alleine schon zuviele Automorphismen) und $k = 1$ (da alle anderen [mm] $n_i [/mm] > 2$ sein muessen und somit die zugehoerigen Bloecke auch mindestens zwei Automorphismen haben muessen, womit du zuviele hast). Also ist $|G| = 4$.
Bleibt der Fall, dass alle [mm] $e_i [/mm] = 1$ sind. Kommst du damit alleine weiter?
LG Felix
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Hallo Felix!
Erstmal wieder Danke!
Hast das so gut erklärt, dass ich eigentlich keine tiefgreifenden Fragen mehr habe!
> Also: Wenn du eine Gruppe der Form [mm]G^e[/mm] hast mit [mm]G[/mm] einer
> Gruppe und [mm]e > 1[/mm] einem positiven Exponent (also [mm]G^e = G \times \dots \times G[/mm],
> [mm]e[/mm]-mal), dann hast du schonmal mindestens zwei
> Automorphismen, naemlich die Identitaet und den
> Automorphismus, der die ersten beiden Komponenten eines
> Elementes in [mm]G^e[/mm] vertauscht. Damit kann hoechstens ein [mm]e_i[/mm]
> groesser als [mm]1[/mm] sein.
>
> Wenn du eine Gruppe der Form [mm]\IZ/n\IZ[/mm] hast, dann ist
> [mm]Aut(\IZ/n\IZ)[/mm] isomorph zu [mm](\IZ/n\IZ)^*[/mm], hat also [mm]\phi(n)[/mm]
> Elemente (das ist die Eulersche [mm]\phi[/mm]-Funktion, die die
> Anzahl der zu [mm]n[/mm] teilerfremden Zahlen aus [mm]\{ 1, \dots, n \}[/mm]
> zaehlt). Ist also [mm]n \ge 3[/mm], so ist [mm]\phi(n) \ge 2[/mm]. Und ist [mm]n = 5[/mm]
> oder [mm]n \ge 7[/mm], so ist [mm]\phi(n) > 2[/mm].
>
> Wenn du nun [mm]Aut((\IZ/n\IZ)^e)[/mm] anschaust mit [mm]e > 1[/mm], dann
> gibt es mindestens [mm]2 \cdot \phi(n)[/mm] Automorphismen.
> Ist also irgendein [mm]e_i > 1[/mm], so muss [mm]e_i = 2[/mm] sein, [mm]n_i = 2[/mm]
> (ansonsten hat [mm](\IZ/n_i\IZ)^{e_i}[/mm] alleine schon zuviele
> Automorphismen) und [mm]k = 1[/mm] (da alle anderen [mm]n_i > 2[/mm] sein
> muessen und somit die zugehoerigen Bloecke auch mindestens
> zwei Automorphismen haben muessen, womit du zuviele hast).
> Also ist [mm]|G| = 4[/mm].
Ok! Ich hab das verstanden!
Dass [mm]|G| = 4[/mm] ist, liegt daran, dass [mm]|\IZ/2\IZ| = 2[/mm] ist und das mit [mm] e_i=2 [/mm] ja noch quadriere, richtig?
> Bleibt der Fall, dass alle [mm]e_i = 1[/mm] sind. Kommst du damit
> alleine weiter?
Da hab ich jetzt doch noch ein Problem (Vielleicht auch nicht, mal schaun)!
Also ich weiß jetzt, dass meine [mm] e_i=1 [/mm] sind.
Ich hab dann mal die [mm]\phi(n)[/mm] für n=3,4,6 ausgerechnet. Ergebnis ist jeweils 2, also genau die welche ich brauche, weil nur 2 Automorphismen existieren (id und die Vertauschung der zwei Elemente!).
Wenn ich also das direkte Produkt dieser Restklassen bilde, bekomme ich immer die Ordnungen 3,4 und 6 raus, weil die Ordnung des direkten Produktes ja immer das kgV ist, bis auf das Direkte Produkt von [mm] (\IZ/4\IZ) [/mm] und [mm] (\IZ/6\IZ), [/mm] da ist das kgV ja 12!!
Also hätte ich eine Gruppe der Ordnung 12, was ja nicht sein soll!!!
Liegt das daran, dass [mm] \phi(4) [/mm] = [mm]2*\phi(2)[/mm] ist und dieser Fall ja unter [mm] e_i=2 [/mm] fällt????
LG und noch nen schönen Montag,
Nicole
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Nicole!
> Erstmal wieder Danke!
> Hast das so gut erklärt, dass ich eigentlich keine
> tiefgreifenden Fragen mehr habe!
Freut mich das zu hoeren 
> > [...]
>
> Ok! Ich hab das verstanden!
> Dass [mm]|G| = 4[/mm] ist, liegt daran, dass [mm]|\IZ/2\IZ| = 2[/mm] ist
> und das mit [mm]e_i=2[/mm] ja noch quadriere, richtig?
Genau!
> > Bleibt der Fall, dass alle [mm]e_i = 1[/mm] sind. Kommst du damit
> > alleine weiter?
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> Da hab ich jetzt doch noch ein Problem (Vielleicht auch
> nicht, mal schaun)!
> Also ich weiß jetzt, dass meine [mm]e_i=1[/mm] sind.
> Ich hab dann mal die [mm]\phi(n)[/mm] für n=3,4,6 ausgerechnet.
> Ergebnis ist jeweils 2, also genau die welche ich brauche,
> weil nur 2 Automorphismen existieren (id und die
> Vertauschung der zwei Elemente!).
Genau!
> Wenn ich also das direkte Produkt dieser Restklassen
Mit Restklassen meinst du Restklassenringe, oder? Restklassen heissen normalerweise deren Elemente!
> bilde, bekomme ich immer die Ordnungen 3,4 und 6 raus, weil
> die Ordnung des direkten Produktes ja immer das kgV ist,
Nein, die Ordnung des direkten Produktes ist das Produkt der Ordnungen der Faktoren. Das kgV tritt auf, wenn du Ordnungen von Elementen des kartesischen Produktes ausrechnen willst.
> bis auf das Direkte Produkt von [mm](\IZ/4\IZ)[/mm] und [mm](\IZ/6\IZ),[/mm]
> da ist das kgV ja 12!!
> Also hätte ich eine Gruppe der Ordnung 12, was ja nicht
> sein soll!!!
> Liegt das daran, dass [mm]\phi(4)[/mm] = [mm]2*\phi(2)[/mm] ist und dieser
> Fall ja unter [mm]e_i=2[/mm] fällt????
Nein, es gilt ja [mm] $\IZ/4\IZ \not\cong (\IZ/2\IZ)^2$!
[/mm]
Mir faellt grad auf das die Version vom Hauptsatz mit [mm] $n_1 \mid n_2 \mid \dots \mid n_k$ [/mm] hier keine gute Idee ist; nimm mal an die [mm] $n_i$ [/mm] sind Primzahlpotenzen so wie in deiner Version des Hauptsatzes.
Dann tritt hoechstens einmal [mm] $n_i [/mm] = 2$ auf, und genau einmal ein [mm] $n_i$ [/mm] aus [mm] $\{ 3, 4 \}$. [/mm] (6 ist keine Primzahlpotenz, deswegen fehlt es in der Liste; es ist ausserdem [mm] $\IZ/6\IZ \cong \IZ/3\IZ \times \IZ/2\IZ$, [/mm] womit du 6 aufspalten koenntest.)
Wenn 3 auftritt, ist die Gruppenordnung entweder 3 (wenn $G [mm] \cong \IZ/3\IZ$) [/mm] oder $2 [mm] \cdot [/mm] 3 = 6$ (wenn $G [mm] \cong \IZ/3\IZ \times \IZ/2\IZ$). [/mm] Wenn 4 auftritt aber nicht 2, so ist $G [mm] \cong \IZ/4\IZ$ [/mm] und die Gruppenordnung 4.
Jetzt musst du noch zeigen, dass 4 und 2 nicht gleichzeitig auftreten koennen, also dass [mm] $\IZ/2\IZ \times \IZ/4\IZ$ [/mm] mehr als zwei Automorphismen hat (da dies die Gruppenordnung 8 hat).
Definiere [mm] $\varphi [/mm] : [mm] \IZ/2\IZ \times \IZ/4\IZ \to \IZ/2\IZ \times \IZ/4\IZ$ [/mm] durch [mm] $\varphi(0, [/mm] 1) = (1, 1)$ und [mm] $\varphi(1, [/mm] 0) = (1, 0)$ (warum ist [mm] $\varphi$ [/mm] damit vollstaendig definierter Gruppenhomomorphismus?). Nun ist [mm] $\varphi(a, [/mm] b) = 0$, wenn $a + b [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{2}$ [/mm] und $b [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{4}$ [/mm] ist. Aber dann ist auch $a [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{2}$, [/mm] womit $(a, b) = (0, 0)$ ist (in [mm] $\IZ/2\IZ \times \IZ/4\IZ$). [/mm] Also ist [mm] $\varphi$ [/mm] injektiv und somit auch surjektiv (da endlich), also ein Automorphismus.
Weiterhin ist [mm] $\varphi [/mm] : [mm] \IZ/2\IZ \times \IZ/4\IZ \to \IZ/2\IZ \times \IZ/4\IZ$, $\varphi(0, [/mm] 1) = (0, 3)$ und [mm] $\varphi(1, [/mm] 0) = (1, 0)$ ebenfalls ein Automorphismus.
Also hast du mindestens zwei nicht-triviale Automorphismen, mit der Identitaet also sogar mindestens drei Automorphismen.
Liebe Gruesse und auch noch nen schoenen ersten Mai,
Felix
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