Automorphismus berechnen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man berechne |Aut [mm] Z_{p^{m}}| [/mm] und Aut [mm] Z_{27} [/mm] mit p prim und m [mm] \varepsilon\IN [/mm] |
Hey, habe mir folgendes überlegt:
zu a.)
|Aut [mm] Z_{p^{m}}| [/mm] = "Eulersche Phi-Funktion" [mm] \gamma [/mm] (p) (habe das richtige Symbol nicht gefunden)
Dann habe ich mich gefragt, was liefert [mm] \gamma?
[/mm]
Sei [mm] \gamma [/mm] (p) = a, dies ist ja die Summe aller Zahlen kleiner p, die teilerfremd zu p sind.
[mm] \gamma [/mm] (p)= {1 [mm] \le [/mm] x < p | ggT (x,p) =1}
da p prim ist, ist a ja = p-1 => ggT (a,p)= 1
Für die Aufgabe ist ja [mm] \gamma [/mm] ( [mm] p^{m}) [/mm] zu bestimmen.
Dies sind ja alle Zahlen < [mm] p^{m} [/mm] und die [mm] p^{m} [/mm] nicht teilen
Also ist a [mm] \le p^{m} [/mm] mit ggT (a, [mm] p^{m})=1
[/mm]
Nur wie schreib ich dies jetzt auf die Aufgabe bezogen auf?
zu b)
[mm] p^{m} [/mm] = 27 => p=3 und m=3
Teiler wären 1,3,9,27, teilerfremd der Rest oder?
MfG
Damien
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:46 Mi 12.11.2008 | | Autor: | damien23 |
Mal ne Idee wie man es aufschreiben könnte:
zur a.)
Da jede Primzahl p nur durch 1 und sich selbst teilbar ist, ist sie zu den Zahlen 1 bis p − 1 teilerfremd. Es gilt daher
[mm] \gamma [/mm] (p) =p-1
Eine Potenz [mm] p^{m} [/mm] mit einer Primzahl p als Basis und einer natürlichen Zahl m als Exponent hat mit p nur einen Primfaktor. Infolgedessen hat
[mm] p^{m} [/mm] nur mit Vielfachen von p einen von eins verschiedenen gemeinsamen Teiler. Im Bereich von 1 bis [mm] p^{m} [/mm] sind das die Zahlen
1*p, 2*p, [mm] 3*p,...,p^{m-1}*p
[/mm]
Das sind [mm] p^{m-1} [/mm] Zahlen, die nicht teilerfremd zu [mm] p^{m} [/mm] sind. Für die eulersche -Funktion gilt deshalb die Formel:
[mm] \gamma (p^{m}) [/mm] = [mm] p^{m} [/mm] - [mm] p^{m-1}= p^{m-1}*(p-1) [/mm] = [mm] p^{m}*(1-\bruch{1}{p})
[/mm]
zu b.)
[mm] \gamma [/mm] (27)= [mm] 3^3 [/mm] - [mm] 3^2 [/mm] = [mm] 3^2 [/mm] - (3-1) = [mm] 3^3 [/mm] * (1- [mm] \bruch{1}{3})= [/mm] 27 - [mm] \bruch{27}{3} [/mm] = 18
Wäre cool wenn mir jemand sagen könnte ob es so richtig ist
Gruss
Damien
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:55 Mi 12.11.2008 | | Autor: | otto.euler |
Es ist phi(1)=1 und phi(n) = n * [mm] \produkt_{p | n}^{} [/mm] (1 - 1/p) für n>1, p prim.
Mir ist nicht klar, dass |Aut| = phi() sein soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 Mi 12.11.2008 | | Autor: | damien23 |
das bedeutet, soweit ich es verstandenhebe, der automorphismus von [mm] Z_{p^{m}} [/mm] ist gleich den teilerfremten Zahlen < p{^m}
war der einzige tipp den der prof gegeben hat
gruss
damien
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:48 Mi 12.11.2008 | | Autor: | otto.euler |
Es geht um die Mächtigkeit der Menge der Automorphismen, also wieviele strukturerhaltende bijektive Abbildungen
f: [mm] \IZ_{p^{m}} \to \IZ_{p^{m}}
[/mm]
gibt es? Mir ist nicht klar als was ihr [mm] \IZ_{p^{m}} [/mm] betrachtet: als Gruppe, als Ring? Wenn als Gruppe, dann mit welcher Abbildung: Addition oder Multiplikation?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:03 Mi 12.11.2008 | | Autor: | damien23 |
Da es nicht explizit in der Vorlesung angegeben wurde, habe ich mal versucht es mir herzuleiten. Denke es muss ne Gruppe mit Multiplikation sein. Ach ja |Aut...| steht für Ordnung der Automorphismengruppe Aut [mm] Z_{p^{m}}, [/mm] meinst du mit Mächtigkeit das selbe?
Gruss
Damien
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:39 Do 13.11.2008 | | Autor: | otto.euler |
Ja, Mächtigkeit oder Ordnung.
Betrachten wir mal [mm] \IZ_{5} [/mm] und seine Automorphismen.
Es ist hoffentlich klar, dass für jeden Automorphismus das Nullelement auf das Nullelement und das Einselement auf das Einselement abgebildet werden muss.
Also [mm] 0\to0 [/mm] und [mm] 1\to1 [/mm] für jeden Automorphismus.
Nun ist 4 * 4 = 1. 4 ist das einzige Element der Ordnung 2. Folglich muss für jeden Automorphismus von [mm] \IZ_{5} [/mm] auch [mm] 4\to4 [/mm] gelten.
Mithin bleiben nun nur noch die Möglichkeiten [mm] 2\to2, 3\to3, [/mm] also die identische Abbildung, und [mm] 2\to3, 3\to2.
[/mm]
D.h. [mm] \IZ_{5} [/mm] hat genau zwei multiplikative Automorphismen und nicht 4 = phi(5).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 Do 13.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Damien
> Da es nicht explizit in der Vorlesung angegeben wurde, habe
> ich mal versucht es mir herzuleiten. Denke es muss ne
> Gruppe mit Multiplikation sein.
Nein, es ist die Gruppe mit Addition, und man betrachtet Automorphismen von Gruppen.
Da die Gruppe [mm] $\IZ_{p^m}$ [/mm] zyklisch ist (wird z.B. von 1 erzeugt), muss man sich ueberlegen, auf wieviele Elemente man die 1 durch Automorphismen [mm] $\IZ_{p^m} \to \IZ_{p^m}$ [/mm] abbilden kann.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:42 Do 13.11.2008 | | Autor: | damien23 |
danke für die antworten, bin aber etwas verwirrt.
vielleicht könntet ihr mir genauer sagen was ich machen muss.
habe zu der aufgabe keine weiteren infos bekommen als die bereits erwähnten und in der vorlesung wurde das ganze in zwei nebensätzen abgehandelt.
gruss
damien
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:41 Fr 14.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo damien
> danke für die antworten, bin aber etwas verwirrt.
> vielleicht könntet ihr mir genauer sagen was ich machen
> muss.
Du koenntest erstmal sagen, was du an meiner Aussage ``Da die Gruppe [mm] $\IZ_{p^m}$ [/mm] zyklisch ist (wird z.B. von 1 erzeugt), muss man sich ueberlegen, auf wieviele Elemente man die 1 durch Automorphismen [mm] $\IZ_{p^m} \to \IZ_{p^m}$ [/mm] abbilden kann.'' nicht verstanden hast.
Was weisst du denn so ueber Homomorphismen von einer zyklischen Gruppe irgendwo anders hin?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 Mi 19.11.2008 | | Autor: | damien23 |
hat sich geklärt, meine ansatz war richtig, habe zusätzlich noch ne tabelle mit allen elementen und deren ordnung gemacht danach konnte man sich alle autmorphismen herleiten
gruss damien
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:30 Fr 14.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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