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| Aufgabe 1 | | Geben Sie die Automorphismusgruppen der zyklischen Gruppen [mm] $Z_5$, $Z_6$ [/mm] und [mm] $Z_9$. [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Bestimmen Sie die Automorphismusgruppen der [mm] $V_4$ [/mm] und der [mm] $S_3$. [/mm] |
Hallo Leute,
bezüglich dem Angeben von Automorphismusgruppen bin ich mir noch unsicher. Bitte meldet euch doch, falls ich was fundamental falsches angebe.
Hier mein Ansatz:
zu 1)
[mm] $Z_5:=\{a, a^2, a^3,a^4, a^5=e\}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] ord(a)=5, [mm] ord(a^2)=5, ord(a^3)=5,ord(a^4)=5 ord(a^5)=1$
[/mm]
[mm] $G_{Aut}:=\{\phi_1=a\toa, a\to a^2\, a\to a^3, a\to a^4, a^5 \to a^5; \phi_2=a^2\to a\, a^2\to a^2, a\to a^3,a^2\to a^4,a^5 \to a^5; \phi_3=a^3\to a, a^3\to a^2\, a^3\to a^3, a^3\to a^4, a^5 \to a^5; \phi_4=a^4\toa, a^4\to a^2\, a^4\to a^3, a^4\to a^4, a^5 \to a^5;\}.
[/mm]
Falls dies so stimmt, gilt das Schema dann auch bei anderen Gruppen?
Liebe Grüße
Christoph
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moin,
zuerst wäre es nett, wenn du kurz erklären könntest, was genau du mit deinen Abbildungen meinst. Was genau soll [mm] $\phi_1$ [/mm] sein, was soll es mit $a$ machen?
Mit der Vorschaufunktion kannst du überprüfen, ob dein Beitrag so aussieht, wie er gerne aussehen sollte.
Dann zur allgemeinen Überlegung:
Du suchst Automorphismen, nicht irgendwelche Abbildungen.
Automorphismen haben einige ganz spezielle Eigenschaften; weißt du, welche das sind?
Wenn du das hast, dann kannst du begründen, dass es genau $4$ Automorphismen der [mm] $C_5$ [/mm] (wolltest du [mm] $\IZ_5$ [/mm] schreiben?) gibt; vielleicht sind das sogar die, die du aufgezählt hast, aber das lässt sich in der Form nicht so gut erkennen.
Wenn du sie explizit finden willst überlege dir, wieso jeder Homomorphismus [mm] $\phi$ [/mm] von [mm] $C_5$ [/mm] in sicher selber bereits durch [mm] $\phi(a)$ [/mm] eindeutig bestimmt ist.
lg
Schadow
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Hallo schadow,
> moin,
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> zuerst wäre es nett, wenn du kurz erklären könntest, was
> genau du mit deinen Abbildungen meinst. Was genau soll
> [mm]\phi_1[/mm] sein, was soll es mit [mm]a[/mm] machen?
> Mit der Vorschaufunktion kannst du überprüfen, ob dein
> Beitrag so aussieht, wie er gerne aussehen sollte.
Nach der Regel zur Automorphismusbildung bildet a auf ein Element mit selbiger Ordnung ab. Ich bin auch 4 Phis (Elemente der Automorphismusgruppe) gekommen.
Ja ich gebe zu es ist mir von der Übersicht her nicht so toll gelungen.
> Dann zur allgemeinen Überlegung:
> Du suchst Automorphismen, nicht irgendwelche Abbildungen.
> Automorphismen haben einige ganz spezielle Eigenschaften;
> weißt du, welche das sind?
Automorphismen sind bijektive Endomorphismen. Also bijektive Homomorphismen in sich selbst abgebildet.
> Wenn du das hast, dann kannst du begründen, dass es genau
> [mm]4[/mm] Automorphismen der [mm]C_5[/mm] (wolltest du [mm]\IZ_5[/mm] schreiben?)
Nein. steht so auf dm Übungsblatt.
> gibt; vielleicht sind das sogar die, die du aufgezählt
> hast, aber das lässt sich in der Form nicht so gut
> erkennen.
> Wenn du sie explizit finden willst überlege dir, wieso
> jeder Homomorphismus [mm]\phi[/mm] von [mm]C_5[/mm] in sicher selber bereits
> durch [mm]\phi(a)[/mm] eindeutig bestimmt ist.
Sorry aber die Notation [mm] $C_5$ [/mm] ist mir fremd.
>
>
> lg
>
> Schadow
Liebe Grüße
Christoph
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Hallo,
Wie kann ich denn jetzt am besten meine Automorphismusgruppe erstellen?
Liebe Grüße
Christoph
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Sa 20.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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