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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 So 14.12.2008 | | Autor: | Lati |
| Aufgabe | | Bestimme alle Automorphismen der Gruppe [mm] (\IZ_{10},+) [/mm] . |
Hallo zusammen,
ich weiß leider überhaupt nicht was ich hier bei dieser Aufgabe überhaupt machen muss.
Wie sieht die Gruppe [mm] (\IZ_{10},+) [/mm] überhaupt aus?
Und heißt Automorphismus in diesem Fall, dass man einen Isomorphismus von [mm] (\IZ_{10})-> (\IZ_{10}) [/mm] finden muss?
Hätte mir jemand einen Tipp?
Wär super nett!
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 So 14.12.2008 | | Autor: | anstei |
> Bestimme alle Automorphismen der Gruppe [mm](\IZ_{10},+)[/mm] .
> Hallo zusammen,
>
> ich weiß leider überhaupt nicht was ich hier bei dieser
> Aufgabe überhaupt machen muss.
> Wie sieht die Gruppe [mm](\IZ_{10},+)[/mm] überhaupt aus?
Ich vermute, damit ist die Restklassengruppe [mm]\IZ / 10\IZ[/mm] gemeint, also "Ganze Zahlen modulo 10".
> Und heißt Automorphismus in diesem Fall, dass man einen
> Isomorphismus von [mm](\IZ_{10})-> (\IZ_{10})[/mm] finden muss?
Genau, ein Automorphismus ist ein Isomorphismus einer Gruppe auf sich selbst. Die wichtigste Eigenschaft ist für diese Aufgabe wohl, dass ein Automorphismus die Ordnung von Elementen erhält. Damit kriegt man recht schnell raus, welche Gruppenhomorphismen [mm]\IZ / 10\IZ \rightarrow \IZ / 10\IZ[/mm] auch Isomorphismen sind. Dazu vielleicht noch als Tipp: Bijektive Homomorphismen sind Isomorphismen.
Gruss,
Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 So 14.12.2008 | | Autor: | Lati |
Hi Andreas,
vielen Dank für deine Antwort!
Allerdings versteh ich immer noch nicht so viel, oder ich versteh schon aber ich weiß nicht wie ich das umsetzten sollte.
Wie muss ich mir den so einen Homomorphismus vorstellen? Könntest du mir vielleicht einfach mal ein Beispiel nennen? Und was meinst du mit " Die wichtigste Eigenschaft ist für diese Aufgabe wohl, dass ein Automorphismus die Ordnung von Elementen erhält."? Könntest du das vielleicht noch etwas ausführen?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Mo 15.12.2008 | | Autor: | pelzig |
Sei [mm] $\varphi\in Aut(\IZ_n)$, [/mm] dann ist [mm] $\varphi([k]_n)=\sum_{i=1}^k\varphi([1]_n])=:k\cdot\varphi([1]_n)$, [/mm] d.h. [mm] $\varphi$ [/mm] ist durch seinen Wert auf [mm] $[1]_n$ [/mm] bereits festgelegt.
Welche Werte kommen dafür in Frage? Es muss gelten [mm] $0=\varphi([0]_n)=\varphi([n]_n)=n\cdot\varphi([1]_n$, [/mm] d.h. es muss gelten [mm] $ord\;\varphi(1) [/mm] | n$. Es kann aber nicht [mm] $ord\;\varphi(1)
Abstrakter Formuliert ist [mm] $Aut(\IZ_n)\cong(\IZ_n)^\times$ [/mm] mit dem Isomorphismus [mm] $Aut(\IZ_n)\ni\varphi\mapsto\varphi(1)\in(\IZ_n)^\times$
[/mm]
Gruß, Robert
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