Automorphismengruppe von (Z,+) < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man bestimmt die Gruppe der Automorphismen für [mm] \IZ^{+} [/mm] |
Hallo,
es ist für jeden Automorphismus von [mm] \IZ^{+} [/mm] (n [mm] \elem \IN):
[/mm]
[mm] \phi(0) [/mm] = 0
[mm] \phi(n) [/mm] = [mm] \phi(1) [/mm] + [mm] \phi(1) [/mm] + ... + [mm] \phi(1) [/mm] = [mm] n\* \phi(1)
[/mm]
[mm] \phi(-n) [/mm] = [mm] \phi(-1) [/mm] + [mm] \phi(-1) [/mm] + ... + [mm] \phi(-1) [/mm] = [mm] n\* \phi(-1)
[/mm]
Somit ist ein Automorphismus durch die Bilder von 1 und -1 festgelegt.
Nun kann man neben der Identität noch [mm] \phi(1) [/mm] = -1 und [mm] \phi(-1) [/mm] = 1 festlegen, und hat damit alle Automorphismen
von [mm] \IZ [/mm] gefunden.
Aber wie kann ich das begründen?
Meine Idee:
Eines von beiden Bildern muss größer 0 sein, da sonst die negativen Zahlen nicht mehr im Bild
von [mm] \phi [/mm] lägen.
OBdA sei dies [mm] \phi(1).
[/mm]
Wird nun die 1 auf eine Zahl größer 1 abgebildet, so liegt sie nicht mehr im Bild von [mm] \phi.
[/mm]
Ich würde mich freuen wenn mir jemand weiterhelfen könnte :)
MfG, Benjamin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Do 30.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Man bestimmt die Gruppe der Automorphismen für [mm]\IZ^{+}[/mm]
> Hallo,
>
> es ist für jeden Automorphismus von [mm]\IZ^{+}[/mm] (n [mm]\elem \IN):[/mm]
>
> [mm]\phi(0)[/mm] = 0
> [mm]\phi(n)[/mm] = [mm]\phi(1)[/mm] + [mm]\phi(1)[/mm] + ... + [mm]\phi(1)[/mm] = [mm]n\* \phi(1)[/mm]
>
> [mm]\phi(-n)[/mm] = [mm]\phi(-1)[/mm] + [mm]\phi(-1)[/mm] + ... + [mm]\phi(-1)[/mm] = [mm]n\* \phi(-1)[/mm]
>
> Somit ist ein Automorphismus durch die Bilder von 1 und -1
> festgelegt.
Vorsicht ! Es ist $0 = [mm] \phi(0) [/mm] = [mm] \phi(1+(-1)) [/mm] = [mm] \phi(1)+\phi(-1)$. [/mm] Somit
[mm] $\phi(-1) =-\phi(1)$
[/mm]
Somit ist ein Automorphismus durch das Bild von 1 festgelegt.
Nimm nun an, es sei [mm] $\phi(1) [/mm] = k$ und $|k| [mm] \ge [/mm] 2$
Zeige nun, dass 1 [mm] \notin \phi(\IZ). [/mm] Dieser Widerspruch zeigt:
[mm] $\phi(1) [/mm] = 1$ oder [mm] $\phi(1) [/mm] = -1$
FRED
>
> Nun kann man neben der Identität noch [mm]\phi(1)[/mm] = -1 und
> [mm]\phi(-1)[/mm] = 1 festlegen, und hat damit alle Automorphismen
> von [mm]\IZ[/mm] gefunden.
> Aber wie kann ich das begründen?
>
> Meine Idee:
> Eines von beiden Bildern muss größer 0 sein, da sonst
> die negativen Zahlen nicht mehr im Bild
> von [mm]\phi[/mm] lägen.
> OBdA sei dies [mm]\phi(1).[/mm]
> Wird nun die 1 auf eine Zahl größer 1 abgebildet, so
> liegt sie nicht mehr im Bild von [mm]\phi.[/mm]
>
> Ich würde mich freuen wenn mir jemand weiterhelfen könnte
> :)
>
> MfG, Benjamin
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Hallo!
Vielen Dank für deine Hilfe!
Sei [mm] \phi(1) [/mm] = k mit [mm] |k|\ge2.
[/mm]
Angenommen, [mm] 1\in\phi(\IZ).
[/mm]
Dann besitzt 1 ein Urbild unter [mm] \phi, [/mm] dies sei n.
Dann ist [mm] \phi(n) [/mm] = [mm] n\*\phi(1) [/mm] = 1.
Daraus folgt n = [mm] \bruch{1}{\phi(1)} [/mm] mit [mm] |\phi(1)|\ge2.
[/mm]
Dann aber ist n [mm] \not\in\IZ.
[/mm]
Ein Widerspruch der zeigt, dass [mm] 1\not\in\phi(\IZ), [/mm] und somit [mm] \phi [/mm] nicht surjektiv ist.
Hab ich jetzt alles richtig?
MfG,
Benjamin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Fr 31.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
>
> Vielen Dank für deine Hilfe!
>
> Sei [mm]\phi(1)[/mm] = k mit [mm]|k|\ge2.[/mm]
>
> Angenommen, [mm]1\in\phi(\IZ).[/mm]
> Dann besitzt 1 ein Urbild unter [mm]\phi,[/mm] dies sei n.
> Dann ist [mm]\phi(n)[/mm] = [mm]n\*\phi(1)[/mm] = 1.
> Daraus folgt n = [mm]\bruch{1}{\phi(1)}[/mm] mit [mm]|\phi(1)|\ge2.[/mm]
> Dann aber ist n [mm]\not\in\IZ.[/mm]
> Ein Widerspruch der zeigt, dass [mm]1\not\in\phi(\IZ),[/mm] und
> somit [mm]\phi[/mm] nicht surjektiv ist.
>
>
> Hab ich jetzt alles richtig?
Ich denke , Du meinst das Richtige, hast es aber etwas unglücklich aufgeschrieben. Ich würde es so machen:
Annahme: [mm]\phi(1)[/mm] = k mit [mm]|k|\ge2.[/mm]
Es ex. ein n [mm] \in \IZ [/mm] mit [mm] \phi(n) [/mm] =1. Dann ist n [mm] \not= [/mm] 0 (warum ?)
Fall 1: n [mm] \ge [/mm] 1. Dann: [mm] \phi(n) [/mm] = [mm] n\phi(1) [/mm] = nk, also 1 = nk.
Somit: $1 = |nk| = n|k| [mm] \ge [/mm] 2$, Widerspruch
Fall 2: n [mm] \le [/mm] -1. jetzt bist Du dran
FRED
> MfG,
> Benjamin
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Hallo!
Wenn [mm] n\le-1, [/mm] dann ist
1 = [mm] \phi(n) [/mm] = [mm] n\*\phi(1) [/mm] = [mm] n\*k, [/mm] also
1 = |nk| = [mm] -n\*|k|\ge2, [/mm] ein Widerspruch.
(Man beachte [mm] -n\ge1.)
[/mm]
>>Es ex. ein n [mm] \in \IZ [/mm] mit [mm] \phi(n)=1. [/mm] Dann ist n [mm] \not= [/mm] 0 (warum ?)
Dies gilt, weil Endomorphismen das neutrale Element immer auf sich selbst abbilden.
Vielen Dank für deine Hilfe!
MfG,
Benjamin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Fr 31.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Wenn [mm]n\le-1,[/mm] dann ist
>
> 1 = [mm]\phi(n)[/mm] = [mm]n\*\phi(1)[/mm] = [mm]n\*k,[/mm] also
> 1 = |nk| = [mm]-n\*|k|\ge2,[/mm] ein Widerspruch.
> (Man beachte [mm]-n\ge1.)[/mm]
Ok.
> >>Es ex. ein n [mm]\in \IZ[/mm] mit [mm]\phi(n)=1.[/mm] Dann ist n [mm]\not=[/mm]
> >>0 (warum ?)
>
> Dies gilt, weil Endomorphismen das neutrale Element immer
> auf sich selbst abbilden.
Ja, schon, daraus folgt das. Aber kannst du die fehlenden Zwischenschritte auch noch angeben?
LG Felix
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> > >>Es ex. ein n [mm]\in \IZ[/mm] mit [mm]\phi(n)=1.[/mm] Dann ist n [mm]\not=[/mm]
> > >>0 (warum ?)
> >
> > Dies gilt, weil Endomorphismen das neutrale Element immer
> > auf sich selbst abbilden.
>
> Ja, schon, daraus folgt das. Aber kannst du die fehlenden
> Zwischenschritte auch noch angeben?
Sei e das neutrale Element einer multiplikativ geschriebenen Gruppe G,
und [mm] \phi [/mm] ein Endomorphismus auf dieser Gruppe.
Dann gilt
[mm] \phi(e) [/mm] = [mm] \phi(xx^{-1}) [/mm] = [mm] \phi(x)\*\phi(x^{-1}) [/mm] = [mm] \phi(x)\*\phi(x)^{-1} [/mm] = e
Vielen Dank für eure Hilfe!
MfG,
Benjamin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:10 Mo 03.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei e das neutrale Element einer multiplikativ
> geschriebenen Gruppe G,
> und [mm]\phi[/mm] ein Endomorphismus auf dieser Gruppe.
>
> Dann gilt
>
> [mm]\phi(e)[/mm] = [mm]\phi(xx^{-1})[/mm] = [mm]\phi(x)\*\phi(x^{-1})[/mm] =
> [mm]\phi(x)\*\phi(x)^{-1}[/mm] = e
Hier benutzt du [mm] $\phi(x^{-1}) [/mm] = [mm] \phi(x)^{-1}$. [/mm] Um das zu zeigen benoetigt man allerdings, dass [mm] $\phi(e) [/mm] = e$ ist.
Du musst [mm] $\phi(e) [/mm] = e$ also anders beweisen. Benutze doch einfach [mm] $e^2 [/mm] = e$, wende [mm] $\phi$ [/mm] darauf an, benutze die Homomorphieeigenschaft und multipliziere mit [mm] $\phi(e)^{-1}$.
[/mm]
LG Felix
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