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| Aufgabe | Es sei f [mm] \in x^4+3x^2+1 \in \IQ[x]
[/mm]
Sei a eine Nullstelle von f. zeige [mm] \IQ(a) [/mm] ist Zerfällungskörper von f.
Zeigen sie, dass [mm] Aut(\IQ(a)|\IQ) [/mm] abelsch ist. |
Hallo,
ich muss euch nochmal um einen letzten Gefallen bitten.
Ich komm bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter.
Die 4 Nullstellen habe ich gefunden: -i [mm] *\wurzel{1/2 (3-\wurzel{5})};
[/mm]
i [mm] *\wurzel{1/2 (3-\wurzel{5})}, [/mm] -i [mm] *\wurzel{1/2 (3+\wurzel{5})}, i*\wurzel{1/2 (3-\wurzel{5})} [/mm]
Und um zu zeigen, dass dann eine Nullstelle den Zerfällungskörper erzeugt muss ich doch zeigen, dass er alle anderne Nullstellen enthält also z.b
-i [mm] *\wurzel{1/2 (3-\wurzel{5})} [/mm] = a [mm] +bi*\wurzel{1/2 (3-\wurzel{5})} [/mm]
Aber ich komm nicht drauf.
Und dass die Automorphismusgruppe abelsch ist, weiß ich auch nicht so genau. Kann man da mit der Mächtigkeit agumentiern, weil die ist ja 4, weil |Q(a):Q|=4. Bitte nochmals um letzte Hilfe, vielen vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 So 12.02.2012 | | Autor: | hippias |
> Es sei f [mm]\in x^4+3x^2+1 \in \IQ[x][/mm]
> Sei a eine Nullstelle
> von f. zeige [mm]\IQ(a)[/mm] ist Zerfällungskörper von f.
> Zeigen sie, dass [mm]Aut(\IQ(a)|\IQ)[/mm] abelsch ist.
>
> Hallo,
> ich muss euch nochmal um einen letzten Gefallen bitten.
> Ich komm bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter.
> Die 4 Nullstellen habe ich gefunden: -i [mm]*\wurzel{1/2 (3-\wurzel{5})};[/mm]
>
> i [mm]*\wurzel{1/2 (3-\wurzel{5})},[/mm] -i [mm]*\wurzel{1/2 (3+\wurzel{5})}, i*\wurzel{1/2 (3-\wurzel{5})}[/mm]
> Und um zu zeigen, dass dann eine Nullstelle den
> Zerfällungskörper erzeugt muss ich doch zeigen, dass er
> alle anderne Nullstellen enthält also z.b
> -i [mm]*\wurzel{1/2 (3-\wurzel{5})}[/mm] = a [mm]+bi*\wurzel{1/2 (3-\wurzel{5})}[/mm]
> Aber ich komm nicht drauf.
> Und dass die Automorphismusgruppe abelsch ist, weiß ich
> auch nicht so genau. Kann man da mit der Mächtigkeit
> agumentiern, weil die ist ja 4, weil |Q(a):Q|=4.
Richtig: Eine Gruppe der Ordung $4$ ist stets abelsch (Tip: Entweder ist sie zyklisch oder alle Elemente haben die Ordnung hoechstens $2$). Aber dazu muss man erst wissen, dass die Erweiterung galoisch ist.
Dazu beachte [mm] $\sqrt{\frac{1}{2}(3-\sqrt{5})}\cdot \sqrt{\frac{1}{2}(3+\sqrt{5})}= [/mm] 1$.
> Bitte
> nochmals um letzte Hilfe, vielen vielen Dank
>
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Hi,
vielen Dank für die schnelle Antwort. Eine kleine Frage hätt ich noch. Hat nix mit der Aufgabe zu tun, aber mit den Abbildungen von Automorphismen.
Ich hoff man kann sich hineinversetzen:
Um den Isomorphietyp von der Galoisgruppe [mm] Aut(Q(\wurzel{3}+\wurzel{5})|Q).
[/mm]
Mir geht es jetzt eig nur um die Abbildungen.
Ich betrachte die Abbildung [mm] \wurzel{3}+\wurzel{5} [/mm] nach [mm] \wurzel{3}-\wurzel{5} [/mm] und möchte die Ordnung bekommen, des heißt [mm] \alpha^n=id.
[/mm]
z.B [mm] \alpha^2(\wurzel{3}+\wurzel{5}) [/mm] = [mm] \alpha(\wurzel{3}-\wurzel{5}) [/mm] aber wie gehts weiter, wie sieht die nächste Abbildung aus? Im komplexe wär ja einfahc des konjugierte vom konjugierten also wieder ausgangspkt, aber wie siehts hier aus. ICh hoff ihr versteht was ich mein. Danke schonmal
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:36 Mo 13.02.2012 | | Autor: | hippias |
> Hi,
> vielen Dank für die schnelle Antwort. Eine kleine Frage
> hätt ich noch. Hat nix mit der Aufgabe zu tun, aber mit
> den Abbildungen von Automorphismen.
> Ich hoff man kann sich hineinversetzen:
> Um den Isomorphietyp von der Galoisgruppe
> [mm]Aut(Q(\wurzel{3}+\wurzel{5})|Q).[/mm]
> Mir geht es jetzt eig nur um die Abbildungen.
> Ich betrachte die Abbildung [mm]\wurzel{3}+\wurzel{5}[/mm] nach
> [mm]\wurzel{3}-\wurzel{5}[/mm] und möchte die Ordnung bekommen, des
> heißt [mm]\alpha^n=id.[/mm]
> z.B [mm]\alpha^2(\wurzel{3}+\wurzel{5})[/mm] =
> [mm]\alpha(\wurzel{3}-\wurzel{5})[/mm] aber wie gehts weiter, wie
> sieht die nächste Abbildung aus? Im komplexe wär ja
> einfahc des konjugierte vom konjugierten also wieder
> ausgangspkt, aber wie siehts hier aus. ICh hoff ihr
> versteht was ich mein. Danke schonmal
Also Du moechtest die Ordnung des Automophismuses [mm] $\alpha$ [/mm] bestimmen, der [mm] $\wurzel{3}+\wurzel{5}$ [/mm] auf [mm] $\wurzel{3}-\wurzel{5}$ [/mm] abbildet? Seine Ordnung ist $2$:
Erst einmal ist [mm] $\alpha\neq [/mm] id$. Ferner gilt [mm] $(\wurzel{3}+\wurzel{5})(\wurzel{3}-\wurzel{5})= [/mm] -2$, also [mm] $\wurzel{3}-\wurzel{5}= (-2)(\wurzel{3}+\wurzel{5})^{-1}$, [/mm] weshalb [mm] $(\wurzel{3}-\wurzel{5})^{\alpha}= (-2)((\wurzel{3}+\wurzel{5})^{\alpha})^{-1}= (-2)(\wurzel{3}-\wurzel{5})^{-1}= \wurzel{3}+\wurzel{5}$.
[/mm]
Folglich ist [mm] $(\wurzel{3}+\wurzel{5})^{\alpha^{2}}= \wurzel{3}+\wurzel{5}$ [/mm] und damit [mm] $\alpha^{2}= [/mm] id$.
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