Autom. endlicher zykl. Gruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Do 24.03.2016 | | Autor: | Marcel |
| Aufgabe | | Ist $G=<a>$ eine ENDLICHE, ZYKLISCHE Gruppe der Ordnung n, so ist Aut(G) isomorph zu [mm] $\IZ_n^\times$. [/mm] |
Hallo,
ich dachte eigentlich, dass ich den Beweis dazu verstehe/verstanden hätte.
Man definiert
[mm] $\psi \colon \IZ_n^\times \to \text{Aut}(G)$ [/mm] mit [mm] $\psi(\overline{k}):=\phi_k$
[/mm]
mit [mm] $\phi_k(g):=g^k$ [/mm] für alle $k [mm] \in [/mm] G$
und zeigt, dass [mm] $\psi$ [/mm]
1. wohldefiniert
2. a) injektiv und b) surjektiv
sowie
3. ein Monomorphismus
ist.
In merkwürdiger Weise bin ich aber bei 3. verwirrt: In dem Buch (Algebra, von
Meyberg und Karphinger) wird immer für
$f,g [mm] \colon [/mm] G [mm] \to [/mm] G$
dann
$fg$ anstatt $f [mm] \circ [/mm] g$
verwendet.
Ich dachte, in obigem Satz ist [mm] $\text{Aut}(G)$ [/mm] auch mit [mm] $\circ$ [/mm] versehen?
Beim Beweis dieses Satzes wird aber
[mm] $\psi(\overline{k}+\overline{\ell})=\psi(\overline{k+\ell})=\phi_{k+\ell}=\phi_k \phi_\ell$
[/mm]
benutzt. Nun ist aber
[mm] $\phi_k \circ \phi_\ell=\phi_{k * \ell}$
[/mm]
Ist da vielleicht ein Fehler im Buch, dass gar nicht
[mm] $\psi(\overline{k}\red{+}\overline{\ell})=\psi(\overline{k})\psi(\overline{\ell})$
[/mm]
gemeint ist, sondern
[mm] $\psi(\overline{k} \cdot \overline{\ell})=\psi(\overline{k})\psi(\overline{\ell})$?
[/mm]
Also ist [mm] $(\text{Aut}(G),\circ)$ [/mm] isomorph zu [mm] $(\IZ_n^\times, \cdot)$? [/mm] Das Plus bei
[mm] $\IZ_n^\times$ [/mm] verwirrt mich nämlich...
Gruß,
Marcel
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Es stimmt natürlich, dass [mm] $(\IZ/n)^\times$ [/mm] mit Multiplikation ausgestattet sein sollte.
Übrigens ist aus allgemeinen Gründen [mm] $\operatorname{End}_\IZ(\IZ/n)= \operatorname{End}_{\IZ/n}(\IZ/n)\cong \IZ/n$ [/mm] als Ringe. Übergang zu den Einheitengruppen liefert die Behauptung.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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