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Hallo,
gegeben ist ein Körper [mm] K:=\IF_{p^m}. [/mm] Ich soll nun die Automorphismengruppe [mm] Aut(\IF_{p^m}) [/mm] bestimmen. Ich suche also alle Automorphismen f: [mm] K\rightarrow [/mm] K, sodass f eingeschränkt auf den Primkörper die Identität ist und sodass f bijektiv ist.
Einer ist leicht gefunden:
f: [mm] K\rightarrow [/mm] K, [mm] x\mapsto x^p
[/mm]
Da der Körper die Charakteristik p hat, ist diese Abbildung also gerade die Identität.
Ab jetzt bekomme ich Probleme...
- kann ich mir Folgendes überlegen: f soll den Primkörper fest lassen. Also schaue ich mir alle [mm] p^m-p [/mm] Elemente an, die nicht im Primkörper liegen und permutiere die. Hier weiß ich aber nicht, ob das überhaupt möglich ist und wie ich diese Automorphismen angeben kann.
- ich habe mir überlegt, ob die Abbildungen [mm] x\mapsto x^{p^n} [/mm] für alle n nicht auch Automorphismen sind. Aber das sind ja auch alles wieder die Identität. (Bsp. n=2: [mm] x^{p^2}=x^p\cdot x^p\cdot...\cdot x^p [/mm] (p [mm] mal)=x\cdot x\cdot...\cdot [/mm] x (p [mm] mal)=x^p=x)
[/mm]
- wenn ich x auf ein primitives Element abbilde (also auf ein Element aus [mm] \IF_{p^m}^\ast, [/mm] also der zyklische multiplikative Gruppe), dann müsste doch eine bijektive Abbildung rauskommen. Also schaue ich mir an [mm] x\mapsto x^k [/mm] mit ggT(k,p)=1. Diese Abbildung lässt aber vermutlich den Primkörper nicht fest, oder? (wie prüfe ich das denn nach?)
Sorry, dass das vielleicht etwas chaotisch aussieht, aber mir fehlt dafür gerade allgemein ein bisschen das Verständnis und die Anschauung.
Danke schonmal für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 So 19.06.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
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> gegeben ist ein Körper [mm]K:=\IF_{p^m}.[/mm] Ich soll nun die
> Automorphismengruppe [mm]Aut(\IF_{p^m})[/mm] bestimmen. Ich suche
> also alle Automorphismen f: [mm]K\rightarrow[/mm] K, sodass f
> eingeschränkt auf den Primkörper die Identität ist und
> sodass f bijektiv ist.
>
> Einer ist leicht gefunden:
>
> f: [mm]K\rightarrow[/mm] K, [mm]x\mapsto x^p[/mm]
>
> Da der Körper die Charakteristik p hat, ist diese
> Abbildung also gerade die Identität.
Das ist nur in [mm] $\IF_p$ [/mm] selbst die Identität, das möchtest du ja auch haben, da der Grundkörper fest gelassen werden soll. Schon in [mm] $\IF_{p^2}$ [/mm] ist dieser Homomorphismus nichttrivial, aber auch in [mm] $\IF_{p^m}, [/mm] m [mm] \geq [/mm] 2$.
> Ab jetzt bekomme ich Probleme...
> - kann ich mir Folgendes überlegen: f soll den
> Primkörper fest lassen. Also schaue ich mir alle [mm]p^m-p[/mm]
> Elemente an, die nicht im Primkörper liegen und permutiere
> die. Hier weiß ich aber nicht, ob das überhaupt möglich
> ist und wie ich diese Automorphismen angeben kann.
Ich glaube das geht nicht. Da die multiplikative Gruppe von [mm] $\IF_p$ [/mm] zyklisch ist, ist ein Automorphismus ja auch schon eindeutig gegeben, wenn er auf einem primitiven Element definiert ist. Mit beliebigen Permutationen kommst du also nicht weiter. Man könnte sich vielleicht überlegen, welche primitiven Elemente es gibt und dann alle Automorphismen erhalten, indem du die 1 auf die verschiedenen primitiven Elemente abbildest.
> - ich habe mir überlegt, ob die Abbildungen [mm]x\mapsto x^{p^n}[/mm]
> für alle n nicht auch Automorphismen sind. Aber das sind
> ja auch alles wieder die Identität. (Bsp. n=2:
> [mm]x^{p^2}=x^p\cdot x^p\cdot...\cdot x^p[/mm] (p [mm]mal)=x\cdot x\cdot...\cdot[/mm]
> x (p [mm]mal)=x^p=x)[/mm]
Richtiger Ansatz. Nur dass die Abbildung $x [mm] \mapsto x^p$ [/mm] nicht Identität ist, wie schon oben erwähnt
Zeige, dass alle Automorphismen $x [mm] \mapsto x^{p^r}$ [/mm] verschieden sind für $1 [mm] \leq [/mm] r [mm] \leq [/mm] m$. So erhälst du m verschiedene Automorphismen. Dann zeige, dass der Körpererweiterungsgrad [mm] $[\IF_{p^m}:\IF_p]$ [/mm] gerade m ist, indem du die Vektorraumdimesion von [mm] $\IF_{p^m}$ [/mm] über [mm] $\IF_p$ [/mm] bestimmst. Da die Anzahl der Automorphismen kleiner ist als der Körpererweiterungsgrad [mm] ($[\IF_{p^m}:\IF_p]_s \leq [\IF_{p^m}:\IF_p]$), [/mm] hast du damit alle Automorphismen gefunden.
> - wenn ich x auf ein primitives Element abbilde (also auf
> ein Element aus [mm]\IF_{p^m}^\ast,[/mm] also der zyklische
> multiplikative Gruppe), dann müsste doch eine bijektive
> Abbildung rauskommen. Also schaue ich mir an [mm]x\mapsto x^k[/mm]
> mit ggT(k,p)=1. Diese Abbildung lässt aber vermutlich den
> Primkörper nicht fest, oder? (wie prüfe ich das denn
> nach?)
Kann ich dir leider nichts zu sagen.
LG Lippel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 So 19.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Einer ist leicht gefunden:
> >
> > f: [mm]K\rightarrow[/mm] K, [mm]x\mapsto x^p[/mm]
> >
> > Da der Körper die Charakteristik p hat, ist diese
> > Abbildung also gerade die Identität.
>
> Das ist nur in [mm]\IF_p[/mm] selbst die Identität, das möchtest
> du ja auch haben, da der Grundkörper fest gelassen werden
> soll.
Kleine Anmerkung: Jeder beliebige Automorphismus von [mm] $\IF_{p^m}$ [/mm] haelt den Primkoerper fest.
> bestimmst. Da die Anzahl der Automorphismen kleiner ist als
> der Körpererweiterungsgrad ([mm][\IF_{p^m}:\IF_p]_s \leq [\IF_{p^m}:\IF_p][/mm]),
> hast du damit alle Automorphismen gefunden.
Die letztere Aussage ist dem Fragesteller eventuell nicht bekannt.
Dazu folgendes: man kann ja [mm] $\IF_{p^m} [/mm] = [mm] \IF_p[\alpha]$ [/mm] schreiben, wobei [mm] $\alpha$ [/mm] ein Minimalpolynom $f [mm] \in \IF_p[x]$ [/mm] von Grad $m$ hat. Jetzt kann man sich ueberlegen, dass das Bild von [mm] $\alpha$ [/mm] unter einem Automorphismus [mm] $\IF_{p^m} \to \IF_{p^m}$ [/mm] wieder eine Nullstelle von $f$, und dass es zu jeder Nullstelle [mm] $\beta \in \IF_{p^m}$ [/mm] von $f$ genau einen Automorphismus gibt, der [mm] $\alpha$ [/mm] auf [mm] $\beta$ [/mm] abbildet.
Daraus folgt, dass die Anzahl der Automorphismen gleich der Anzahl der Elemente in [mm] $\{ \beta \in \IF_{p^m} \mid f(\beta) = 0 \}$ [/mm] ist, und da $f$ Grad $m$ hat, kann es somit hoechstens $m$ geben.
> > - wenn ich x auf ein primitives Element abbilde (also auf
> > ein Element aus [mm]\IF_{p^m}^\ast,[/mm] also der zyklische
> > multiplikative Gruppe), dann müsste doch eine bijektive
> > Abbildung rauskommen. Also schaue ich mir an [mm]x\mapsto x^k[/mm]
> > mit ggT(k,p)=1. Diese Abbildung lässt aber vermutlich den
> > Primkörper nicht fest, oder? (wie prüfe ich das denn
> > nach?)
Nun, die Elemente (ungleich Null!) des Primkoerpers sind gerade die Elemente, die in der eindeutigen Untergruppe der Ordnung $p - 1$ liegen. Diese wird erzeugt von einem Element [mm] $\gamma$ [/mm] der Ordnung $p - 1$. Es muss also [mm] $\gamma^k [/mm] = [mm] \gamma$ [/mm] gelten, oder in [mm] $\IZ/(p^m [/mm] - [mm] 1)\IZ$ [/mm] geschrieben, $k [mm] \frac{p^m - 1}{p - 1} \equiv \frac{p^m - 1}{p - 1} \pmod{p^m - 1}$. [/mm] Teilt man diese Kongruenz durch [mm] $\frac{p^m - 1}{p - 1}$ [/mm] (was geht, da beide Seiten sowie der Modulus dadurch teilbar ist), erhaelt man $k [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{p - 1}$. [/mm] Damit ist $k$ von der Form $1 + [mm] \ell \cdot [/mm] (p - 1)$. (Alle Potenzen von $p$ sind von dieser Form, aber auch viele andere Zahlen.)
Weiterhin muss $k$ koprim zur Gruppenordnung [mm] $p^m [/mm] - 1$ sein, damit du einen Automorphismus von [mm] $\IF_{p^m}^\ast$ [/mm] bekommst.
Diese beiden Bedingungen liefern jedoch nicht umbedingt einen Automorphismus des endlichen Koerpers.
Versuch es lieber so zu machen wie Lippel es vorgeschlagen hat.
LG Felix
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