Aut(G) und Inn(G) konstruieren < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Sei G Gruppe.
a) Beweise, dass Aut(G) eine Gruppe bezgl. der Komposition von Abbildungen ist.
b) Bestimme für G= [mm] Z_2 [/mm] x [mm] Z_2 [/mm] und [mm] G=Z_4 [/mm] jeweils Aut(G), Inn(G) und Aut(G)/Inn(G). |
Hallo.
zu a) Ist diese Aussage nicht irgendwie „klar“? Was soll man da noch beweisen? Id ist das Neutrale, [mm] \pi^{-1} [/mm] das Inverse (wenn [mm] \pi [/mm] die Abb bezeichnet) usw...
zu b) Ein Aut von [mm] Z_4 [/mm] wäre doch z.B., wenn man festlegt, dass 1 --> 3 bw. umgekehrt, dass wäre dann bijektiv. Aber wie bestimmt man die ganze Gruppe und wie bestimmt man Inn(G)?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Trikolon |
Und in [mm] Z_2 [/mm] x [mm] Z_2 [/mm] leben ja die Tupel (0,0), (1,0), (0,1), (1,1). Wie kann man denn hier einen Aut konstruieren?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:05 So 18.11.2012 | | Autor: | Trikolon |
Hat keiner eine Idee? Wäre echt nett, wenn mir jemand helfen könnte?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 So 18.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Und in [mm]Z_2[/mm] x [mm]Z_2[/mm] leben ja die Tupel (0,0), (1,0), (0,1),
> (1,1). Wie kann man denn hier einen Aut konstruieren?
Du kannst [mm] $Z_2 \times Z_2$ [/mm] als zweidimensionalen Vektorraum ueber dem zwei-elementigen Koerper [mm] $\IZ_2 [/mm] = [mm] \IF_2$ [/mm] auffassen. Damit entsprechen die Endomorphismen den $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrizen mit Eintraegen in [mm] $\IF_2$, [/mm] und die Automorphismen sind die invertierbaren solchen Matrizen.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 So 18.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei G Gruppe.
> a) Beweise, dass Aut(G) eine Gruppe bezgl. der Komposition
> von Abbildungen ist.
> b) Bestimme für G= [mm]Z_2[/mm] x [mm]Z_2[/mm] und [mm]G=Z_4[/mm] jeweils Aut(G),
> Inn(G) und Aut(G)/Inn(G).
> Hallo.
>
> zu a) Ist diese Aussage nicht irgendwie „klar“? Was
> soll man da noch beweisen? Id ist das Neutrale, [mm]\pi^{-1}[/mm]
> das Inverse (wenn [mm]\pi[/mm] die Abb bezeichnet) usw...
Nun, schwer ist sie nicht. Du musst zeigen, bzw. darauf verweisen, dass
(1) Verkettung assoziativ ist,
(2) die Identitaet das neutrale Element bzgl. der Verkettung ist,
(3) die Umkehrfunktion eines Isomorphismus wieder ein bijektiver Homomorphismus ist,
(4) dass sich Umkehrfunktionen wie inverse Elemente bzgl. Verkettung verhalten.
Das meiste davon ist klar bzw. sehr einfach nachzupruefen. Du kannst auch das Untergruppenkritierum verwenden, wenn du weisst, dass die Menge der bijektiven Abbildungen $G [mm] \to [/mm] G$ eine Gruppe bildet (fuer allg. Mengen $G$).
> zu b) Ein Aut von [mm]Z_4[/mm] wäre doch z.B., wenn man festlegt,
> dass 1 --> 3 bw. umgekehrt, dass wäre dann bijektiv. Aber
> wie bestimmt man die ganze Gruppe und wie bestimmt man
> Inn(G)?
Erstmal: da [mm] $Z_4$ [/mm] zyklisch ist, reicht es zur Beschreibung eines Homomorphismus aus, das Bild eines Erzeugers zu kennen. Ueberlege dir, welche Bilder moeglich sind. Bei welchen kommt eine bijektive Abbildung heraus? (Es sollten genau zwei Abbildungen uebrigbleiben; das sind alle Elemente von [mm] $Aut(Z_4)$.)
[/mm]
Zu $Inn(G)$: beachte, dass $G$ abelsch ist. Was bedeutet das fuer Konjugation von Elementen?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 So 18.11.2012 | | Autor: | Trikolon |
Also hatte ja schon geschrieben, kann man nicht 1-->3 als Bild eines Erzeugers verwendem?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:14 Mo 19.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Also hatte ja schon geschrieben, kann man nicht 1-->3 als
> Bild eines Erzeugers verwendem?
Ja.
Das ist das einzige nicht-triviale Element von $Aut(G)$.
LG Felix
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Und wie schreibt man das vollkommen mathematisch korrekt auf?
Und Inn(G) ist ja Normalteiler von Aut(G), komme trotzdem nicht auf Inn(G)...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mi 21.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:06 Mo 19.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
> > zu a) Ist diese Aussage nicht irgendwie „klar“? Was
> > soll man da noch beweisen? Id ist das Neutrale, [mm]\pi^{-1}[/mm]
> > das Inverse (wenn [mm]\pi[/mm] die Abb bezeichnet) usw...
>
> Nun, schwer ist sie nicht. Du musst zeigen, bzw. darauf
> verweisen, dass
> (1) Verkettung assoziativ ist,
> (2) die Identitaet das neutrale Element bzgl. der
> Verkettung ist,
> (3) die Umkehrfunktion eines Isomorphismus wieder ein
> bijektiver Homomorphismus ist,
> (4) dass sich Umkehrfunktionen wie inverse Elemente bzgl.
> Verkettung verhalten.
Und zu bemerken ist, dass die Komposition zweier Automorphismen wieder ein Automorphismus ist.
Viele Grüße
Tobias
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