Aut(G) für zyklische Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:17 So 11.11.2012 | | Autor: | Pflaume007 |
| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN [/mm] und G endlich und zyklisch der Ordnung n. Für jedes k [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] \alpha_{k} [/mm] : G [mm] \to [/mm] G eine Abbildung, für alle g [mm] \in [/mm] G sei
[mm] g^{\alpha_{k}} [/mm] = [mm] g^{k}. [/mm] (Dabei ist wie üblich [mm] g^{k} [/mm] = g * g * ... * g.)
Zeigen Sie:
Aut(G) = [mm] {\alpha_{k} | k \in \IN, k \le n und k und n sind teilerfremd.} [/mm] |
Ich weiß, dass ich 1. zeige, dass [mm] \alpha_{k} [/mm] alles Automorphismen sind. Die Homomorphieeigenschaft zu beweisen ist kein Problem, jedoch sehe ich den Sinn der Aussage k und n sind teilerfremd nicht wirklich. Vielleicht im Zusammenhang mit der Bijektivität? Hierbei habe ich mich schon an der Injektivität und der Surjektivität versucht, wobei aber die Aussage nicht aufgetreten ist.
2. muss ich anscheinend noch zeigen, dass Aut(G) nur aus den [mm] \alpha_{k} [/mm] mit geeigneten k besteht. Soll ich hierbei zeigen, dass Aut(G) [mm] \subseteq \alpha_{k} [/mm] und andersherum?
Ich bin dankbar für jede Hilfe :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Di 13.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei n [mm]\in \IN[/mm] und G endlich und zyklisch der Ordnung n.
> Für jedes k [mm]\in \IN[/mm] sei [mm]\alpha_{k}[/mm] : G [mm]\to[/mm] G eine
> Abbildung, für alle g [mm]\in[/mm] G sei
> [mm]g^{\alpha_{k}}[/mm] = [mm]g^{k}.[/mm] (Dabei ist wie üblich [mm]g^{k}[/mm] = g *
> g * ... * g.)
> Zeigen Sie:
> Aut(G) = [mm]{\alpha_{k} | k \in \IN, k \le n und k und n sind teilerfremd.}[/mm]
>
> Ich weiß, dass ich 1. zeige, dass [mm]\alpha_{k}[/mm] alles
> Automorphismen sind. Die Homomorphieeigenschaft zu beweisen
> ist kein Problem, jedoch sehe ich den Sinn der Aussage k
> und n sind teilerfremd nicht wirklich. Vielleicht im
> Zusammenhang mit der Bijektivität?
Ja. Der Homomorphismus [mm] $\alpha_k$ [/mm] ist genau dann bijektiv, wenn $k$ teilerfremd zu $n$ ist.
Da $G$ endlich ist, ist [mm] $\alpha_k$ [/mm] uebrigens genau dann surjektiv, wenn es injektiv ist. Das macht das ganze eventuell einfacher fuer dich.
> 2. muss ich anscheinend noch zeigen, dass Aut(G) nur aus
> den [mm]\alpha_{k}[/mm] mit geeigneten k besteht. Soll ich hierbei
> zeigen, dass Aut(G) [mm]\subseteq \alpha_{k}[/mm] und andersherum?
Vorsicht! Du meinst $Aut(G) [mm] \subseteq \{ \alpha_k \mid ... \}$.
[/mm]
Und ja, das musst du tun. Ist aber nicht so schwer. Beachte, dass die Gruppe zyklisch ist. Dadurch ist das Bild eines Elementes unter einem Homomorphismus vollstaendig bestimmt durch das Bild eines (fest gewaehlten) Erzeugers.
LG Felix
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