Auswirk. elem. ZU auf Inverse < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:34 Mo 21.12.2009 | | Autor: | LariC |
| Aufgabe | | Untersuche mithilfe der komplementären Matrix, wie sich elementare Zeilenumformungen vom Typ I-III an einer invertierbaren Matrix auf deren INverse Matrix auswirken. |
Hallo, sitze gerade (auch in den Ferine) mal wider am LinA Zettel und komme in dises Aufgabe irgendwie nicht so recht rein - deswegen ist es jetzt auch die letzte uf dem Blatt, dann bin ich wohl fdertig :)
Aber mir ist hier nicht klar, wie die komplementäre Matrix in den Zusammenhang asst - wie soll ich denn an ihr irgendetwas bzgl. der Zeilenumformungen ablsesn?! Und gibt es bei dieser Aufgabe überhaupt eine richitige Antwort!? Man kann doch vermutlich ser viel daran ablesesn!?
Danke für jeden Tipp und jede Erklärung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Mo 21.12.2009 | | Autor: | Alpi |
Also,
von der Gleichungslehre weißt du ja sicherlich noch, dass ax=1 für a [mm] \not= [/mm] 0
genau eine Lösung x=1 und a=a^(-1) besitzt.
Das ist dann der Kehrwert von a und wird auch als zu a inverese Zahl bezeichnet.
Bei der Matrizrechnung entspricht die Gleichung A*X=E der Gleichung ax=1
Dabei wird A als n-reihige Matrix bezeichnet und E als n-reihige Einheitsmatrix. Und unser X stellt eine Unbekannte n-reihige Matrix dar.
Die inverse Matrix ist ja definiert als A*X=X*A=E
Daraus folgt dann, das X zu A invers ist, sodass A dann auch als A^(-1) bezeichnet wird.
Dabei ist wichtig das eine quadratische Matrix maximal genau eine Inverse Matrix besitzt.
Wenn eine Matrix eine Inverse besitzt ist Sie also Invertierbar. Was nichts anderes als Umkehrbar bezeichnet.
Eine Inverese der Matrix A existiert desweiteren nur, wenn die Determinante von A [mm] \not= [/mm] 0 ist.
Daraus folgt, dass eine reguläre Matrix stets umkehrbar ist und Sie besitzt genau eine Inverse.
Bedenke aber das Singuläre Matrixen nicht invertierbar sind.
Komplementär = Adjunkte
und das bedeutet dann nichts anderes, als das die Matrix in mehrere Unterdeterminanten aufgeteilt wird.
Diese kann man dann berechnen und kommt auf mehrere Determinanten.
Um nun die unterschiede Aufzuführen solltest du das oben verstanden haben.
Also Allgemein erkennst du daraus,
Inverse:
quadratische Matrix = maximal genau 1 Inverse
nicht jede quadraitsche Matrix besitzt eine Inverse
Es existier nur eine Inverse wenn A regulär ist ( detA [mm] \not= [/mm] 0)
singuläre Matrixen= nicht invertierbar
Invertierbar:
Wenn eine Matrix A eine Inverse A^(-1) besitzt, so ist die Matrix invertierbar.
Adjungierte:
= Unterdeterminante
beachte das sich in der i-ten Zeile und der k-ten Spalte das algebraische Komplement von A^(-1) befindet.
in der Praxis wird die Adjungte benutzt um die inverse Matrix zu berechnen( Gaußverfahren geht schneller)
Die Formel dazu ist dann:
A^(-1) = [mm] \bruch{1}{detA} [/mm] * Aadj
Das sind so die wichtigsten Sachen der 3 Bereiche und ihre Unterschiede.
Die Adjungte sagt dir halt, welche Zeilen Spalten-Kombination was für eine Determinante hat also ob dieser Teilbereich überhaupt invertierbar ist.
Ich hoffe das hat dir geholfen und ich habe keine Fehler reingebracht.
Mfg Alpi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:55 Mo 21.12.2009 | | Autor: | LariC |
Hey,
ich danke dir das war ja fast wie eine Erweiterung der VL, die alles doch noch um eiges klarer macht. Ich danke dir - das hat mir wirklich richtig gut gehilfen und zu:
> Daraus folgt dann, das X zu A invers ist, sodass A dann
> auch als A^(-1) bezeichnet wird.
HIer meintest du dann ja wohl, ,,sodass X dann auch als A^(-1) bezeichnet wird."
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:32 Mo 21.12.2009 | | Autor: | Alpi |
Ja das hast du genau richtig verstanden.
Entschuldigung für den Schreibfehler.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:14 Mo 21.12.2009 | | Autor: | LariC |
Bin jetzt nochmal im nachhinein die VL durchgegngen und hab gemerkt, dass das eingentlich schon alles irgenwo imSkript drin stand - ich glaube alos dass da noch irgendetwas sein müsste, was man an an Auswirkungen nennen kann...Denn sonst wäre die Frage nicht so gestellt worden?
Hat da noch jemad eine Idee?
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(Frage) überfällig | | Datum: | 23:14 Mo 21.12.2009 | | Autor: | LariC |
Hat keiner eine Idee was noch mir der Frage gemeint sein könnte? Mir ist das wirklich wichtig!
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(Frage) überfällig | | Datum: | 12:02 Di 22.12.2009 | | Autor: | LariC |
Was könnte ich denn mache um das selber noch genauer zu untersuchen.
Soll ich eine invertierbare Matrix nehmen und dann die Zeilenumformungen durchführen und dann immer mit der komplementären Matrx vergleichen und gucken was passiert?
Also gucken, wie sich die Zeilenumformungen auf inverse und komplemtäre Matrix aiswirken?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Do 24.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mi 23.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mi 23.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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