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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 Sa 10.03.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Zeigen Sie die Äquivalenz der beiden folgenden Formulierungen des Auswahlaxioms:
(1) Sei [mm] $(M_i)_{i\in I}$ [/mm] ein Mengensystem mit [mm] $M_i\neq\emptyset~\forall~i\in [/mm] I$. Dann existiert irgendeine Funktion [mm] $\zeta\colon I\to\bigcup_{i\in I}M_i$ [/mm] mit [mm] $\zeta(i)\in M_i~\forall~i\in [/mm] I$.
(2) Jede surjektive Abbildung [mm] $f\colon A\to [/mm] B$ ist eine Retraktion, d.h. es existiert eine Abbildung [mm] $g\colon B\to [/mm] A$ mit [mm] $f\circ g=id_B$. [/mm] |
[mm] $(1)\Longrightarrow [/mm] (2)$:
Also ist [mm] $f\colon A\to [/mm] B$ surjektiv, hat jedes Element in B mindestens ein Urbild in A. Da es eine Auswahlfunktion gibt, die jedem Element aus B ein Element aus A zuordnet, wähle ich als Bild eines Elements aus B gerade eines der Elemente aus A, das Urbild desjenigen Elements aus B ist.
Ich wähle also EIN Element aus A aus.
Kann man das so sagen??
Oder wie könnte man es schöner (formaler) aufschreiben?
[mm] $(1)\Longleftarrow [/mm] (2)$:
Hier weiß ich nicht wirklich weiter, ein Tipp wäre klasse.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 So 11.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mikexx,
> [mm](1)\Longrightarrow (2)[/mm]:
>
> Also ist [mm]f\colon A\to B[/mm] surjektiv, hat jedes Element in B
> mindestens ein Urbild in A.
> Da es eine Auswahlfunktion gibt, die jedem Element aus B
> ein Element Urbild aus A zuordnet,
> wähle ich als Bild eines Elements aus B gerade eines der
> Elemente aus A, das Urbild desjenigen Elements aus B ist.
>
> Ich wähle also EIN Element aus A aus.
>
>
> Kann man das so sagen??
Du hast auf jeden Fall die richtige Idee. MIR wäre es tatsächlich ein bisschen zu ungenau formuliert.
> Oder wie könnte man es schöner (formaler) aufschreiben?
Schreibe explizit hin, auf welche Mengen $I$ und [mm] $M_i$ [/mm] du (1) anwenden möchtest. Schreibe dann hin, was dir (1) liefert. Dann kannst du die gesuchte Abbildung g explizit angeben.
> [mm](1)\Longleftarrow (2)[/mm]:
>
> Hier weiß ich nicht wirklich weiter, ein Tipp wäre
> klasse.
Gegeben die Situation in (1) betrachte [mm] $A=\{(i,m)|i\in I,m\in M_i\}$, [/mm] $B=I$ und [mm] $f\colon A\to B,\; (i,m)\mapsto [/mm] i$ (die Projektion auf die erste Komponente).
Ich belasse es erstmal bei diesen groben Hinweisen. Wenn du nicht weiter kommst, einfach nachfragen!
Viele Grüße
Tobias
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