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Aussagenlogik: Verneinung von Aussagen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:13 Do 03.11.2005
Autor: Reaper

Hallo...hab zwar bei einem Bsp. alle Aussagen verneinen können aber sicher bin ich mir nicht. Könnte bitte einer nachprüfen ob meine Vermutung auch tatsächlich alle wahr sind? Danke.

Geben Sie die Verneinung folgender Aussagen an:
a.) Es gibt mindestens einen Studenten der fleißig ist.
b.) Es gib höchstens 2 Studenten die fleißig sind.
c.) Nicht alle Männer sind schwerer als Frauen.
d.) In jedem Verein gibt es ein Mitglied, das nicht aktiv ist.
e.) Es gibt einen Verein der nur aus einem Mitglied besteht.

a.)  [mm] \neg( \exists [/mm] s  [mm] \in [/mm] Studenten : A(s))
     A(s)...fleißig
->  [mm] \forall [/mm] s [mm] \in [/mm] Studenten :   [mm] \neg [/mm] A(s)
Es gibt keinen Studenten der fleißig ist.
b.) [mm] \neg( \forall [/mm] s <= 2, s  [mm] \in [/mm] Studenten : A(s))
   [mm] \exists [/mm] s > 2, s  [mm] \in [/mm] Studenten:  [mm] \neg [/mm] A(s)
Es gibt mindestens mehr als 2 Studenten, welche nicht fleißig sind.
c.)
[mm] \neg( \forall [/mm] m  [mm] \in [/mm] Menschen : S(m))
  [mm] \forall [/mm] m  [mm] \in [/mm] Menschen : S(m)

alle Männer sind schwerer als Frauen

d.) [mm] \neg(\forall [/mm] v  [mm] \in [/mm] Vereine  [mm] \exists [/mm] m [mm] \in [/mm] Mitglieder : [mm] \neg(A(m))) [/mm]
[mm] \exists [/mm] v  [mm] \in [/mm] Vereine [mm] \forall [/mm] m [mm] \in [/mm] Mitglieder : A(m)
Es gibt mindestens einen Verein in dem alle Mitglieder aktiv sind.

e.) [mm] \neg( \exists [/mm] v [mm] \in [/mm] Vereine : A(v) = 1)
[mm] \forall [/mm] v  [mm] \in [/mm] Vereine : A(v) != 1

Alle Vereine haben ungleich 1 Mitglieder

mfg,
Hannes

        
Bezug
Aussagenlogik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:49 Do 03.11.2005
Autor: Stefan

Hallo Hannes!

> Hallo...hab zwar bei einem Bsp. alle Aussagen verneinen
> können aber sicher bin ich mir nicht. Könnte bitte einer
> nachprüfen ob meine Vermutung auch tatsächlich alle wahr
> sind? Danke.
>  
> Geben Sie die Verneinung folgender Aussagen an:
>  a.) Es gibt mindestens einen Studenten der fleißig ist.
>  b.) Es gib höchstens 2 Studenten die fleißig sind.
>  c.) Nicht alle Männer sind schwerer als Frauen.
>  d.) In jedem Verein gibt es ein Mitglied, das nicht aktiv
> ist.
>  e.) Es gibt einen Verein der nur aus einem Mitglied
> besteht.
>  
> a.)  [mm]\neg( \exists[/mm] s  [mm]\in[/mm] Studenten : A(s))
> A(s)...fleißig
>   ->  [mm]\forall[/mm] s [mm]\in[/mm] Studenten :   [mm]\neg[/mm] A(s)
>  Es gibt keinen Studenten der fleißig ist.

[ok] Oder: Alle Studenten sind... faul. :-)

>  b.) [mm]\neg( \forall[/mm] s <= 2, s  [mm]\in[/mm] Studenten : A(s))
> [mm]\exists[/mm] s > 2, s  [mm]\in[/mm] Studenten:  [mm]\neg[/mm] A(s)
>  Es gibt mindestens mehr als 2 Studenten, welche nicht
> fleißig sind.

Was soll "mindestens mehr" bedeuten?;-) Aber auch sonst stimmt es nicht. Richtig ist: Mehr als 2 Studenten sind fleißig.

Ist $s$ die Anzahl der fleißigen Studenten, so war die Ursprungsaussage: $s [mm] \le [/mm] 2$, die zu $s>2$ verneint wird.

>  c.)
> [mm]\neg( \forall[/mm] m  [mm]\in[/mm] Menschen : S(m))
>    [mm]\forall[/mm] m  [mm]\in[/mm] Menschen : S(m)
>  
> alle Männer sind schwerer als Frauen

[ok] (auch wenn die Erfahrung anderes lehrt... ;-))

> d.) [mm]\neg(\forall[/mm] v  [mm]\in[/mm] Vereine  [mm]\exists[/mm] m [mm]\in[/mm] Mitglieder :
> [mm]\neg(A(m)))[/mm]
>   [mm]\exists[/mm] v  [mm]\in[/mm] Vereine [mm]\forall[/mm] m [mm]\in[/mm] Mitglieder : A(m)
>  Es gibt mindestens einen Verein in dem alle Mitglieder
> aktiv sind.

[ok]

> e.) [mm]\neg( \exists[/mm] v [mm]\in[/mm] Vereine : A(v) = 1)
>  [mm]\forall[/mm] v  [mm]\in[/mm] Vereine : A(v) != 1
>  
> Alle Vereine haben ungleich 1 Mitglieder

Und da es keine Vereine ohne Mitglieder gibt: Alle Vereinen haben mehr als ein Mitglied.  

Liebe Grüße
Stefan
Bezug
                
Bezug
Aussagenlogik: b.) richtige Schreibweise
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:34 Do 03.11.2005
Autor: Reaper

Hallo...einmal danke für deine Korrektur

Eine Frage hab ich noch zu b.) Wie schaut die richtige Schreibweise dann aus? Etwa so:
Es gibt höchstens 2 Studenten die fleißig sind:
In Aussage umgeformt: s  [mm] \le [/mm]  2   [mm] \in [/mm] Studenten : A(s)

Brauch ich da dass für alle, es gibt ein gar nicht, da in dem Fall dass die Zahl 2 übernimmt?

mfg,
Hannes
Bezug
                        
Bezug
Aussagenlogik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:37 Do 03.11.2005
Autor: Eliza

Hallo Hannes!

Also ich bin mir nicht sicher, aber ich würde das vielleicht mit Mengen formulieren:

Sei S die Menge der Studenten, [mm]F\subset S[/mm] die Menge der fleißigen Studenten.

Dann ist deine Aussage äquivalent zu: [mm]|F|\le 2[/mm] (Wobei ich mit [mm]|A|[/mm] die Mächtigkeit einer Menge A bezeichne)

Das negiert wäre dann eben: [mm]|F|>2[/mm]

Hoffe das stimmt so!

Gruß Eliza
Bezug
                                
Bezug
Aussagenlogik: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:01 Fr 04.11.2005
Autor: Reaper

Danke....schaut für mich logisch aus

mfg,
Hannes
Bezug
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