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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:03 Mo 09.11.2009 | | Autor: | psybrain |
| Aufgabe | | A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \gdw [/mm] A [mm] \cap [/mm] B = A Hinweis: Anhand rechtsstehender Identität mit linker Inklusion zu zeigen! |
Ich habe leider nichtmal ansatzweise irgendeine Idee!
Wäre für einen Anstubser dankbar,
lG - Ich,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi Psybrain,
Du hast eine Aussage A, die deine Prämisse darstellt.
Setze die Gültigkeit von A voraus und zeige durch logische Implikationen $\ A [mm] \Rightarrow [/mm] B $ (aus A folgt B)
Oder du behauptest A ist falsch und zeigst dann durch logische Implikationen, dass B auch falsch ist.
Denk aber dran immer auch beide Richtungen zu zeigen.
Also A $\ [mm] \Rightarrow [/mm] B $ $\ [mm] \wedge [/mm] $ $\ B [mm] \Rightarrow [/mm] A $
Tipp für die linke Identität:
Zwei Mengen $\ A, B $ sind dann gleich, wenn
$\ A [mm] \subseteq [/mm] B $
$\ B [mm] \subseteq [/mm] A $
Hilft das?
Grüße
ChopSuey
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 04:02 Di 10.11.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi Psybrain,
>
> Du hast eine Aussage A, die deine Prämisse darstellt.
>
> Setze die Gültigkeit von A voraus und zeige durch logische
> Implikationen [mm]\ A \Rightarrow B[/mm] (aus A folgt B)
>
> Oder du behauptest A ist falsch und zeigst dann durch
> logische Implikationen, dass B auch falsch ist.
das ist missverständlich, denn:
> Setze die Gültigkeit von A voraus und zeige durch logische
> Implikationen [mm]\ A \Rightarrow B[/mm] (aus A folgt B)
Das steht für die Folgerung $A [mm] \Rightarrow B\,.$
[/mm]
Aber:
> Oder du behauptest A ist falsch und zeigst dann durch
> logische Implikationen, dass B auch falsch ist.
Das ist die Folgerung [mm] $(\neg [/mm] A) [mm] \Rightarrow (\neg [/mm] B)$, welches die ![[]](/images/popup.gif) KontrapositionEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
von $\neg (\neg B) \Rightarrow (\neg(\neg A))$ bzw. $B \Rightarrow A$ ist; aber eben nicht die von $A \Rightarrow B}\,.$
Anstatt $A \Rightarrow B$ kann man auch $(\neg B) \Rightarrow (\neg A)$ zeigen, aber $(\neg A) \Rightarrow (\neg B)$ wäre als Ersatz für die Folgerung $B \Rightarrow A$ möglich, nicht aber als Ersatz für $A \Rightarrow B\,.$
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 04:16 Di 10.11.2009 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Marcel,
vielen Dank für Deinen Hinweis. Bin da etwas durcheinander gekommen.
Viele Grüße
ChopSuey
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:15 Di 10.11.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> A [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\gdw[/mm] A [mm]\cap[/mm] B = A Hinweis: Anhand
> rechtsstehender Identität mit linker Inklusion zu zeigen!
> Ich habe leider nichtmal ansatzweise irgendeine Idee!
wo ist das Problem? Du hast zwei Folgerungen zu beweisen [mm] ($\gdw$ [/mm] steht ja nur als Ersatz für die zwei Folgerungen 1.): [mm] $\Rightarrow$ [/mm] und 2.): [mm] $\Leftarrow$):
[/mm]
1.) $A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \cap [/mm] B=A$
(In Worten: Wenn [mm] $\blue{A \subseteq B}$ [/mm] gilt, dann ist $A [mm] \cap B=A\,.$)
[/mm]
2.) $A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \Leftarrow [/mm] A [mm] \cap [/mm] B=A$, bzw. $A [mm] \cap [/mm] B=A [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \subseteq B=A\,.$
[/mm]
(In Worten: Falls $A [mm] \cap [/mm] B=A$ gilt, so folgt $A [mm] \subseteq B\,.$)
[/mm]
Nun mal der Beweis zu 1.):
Nach Voraussetzung gilt hier $A [mm] \subseteq B\,.$ [/mm] Nun ist zu zeigen, dass $A [mm] \cap [/mm] B=A$ gilt, also dass sowohl
[mm] $$\alpha)\;\;A \cap [/mm] B [mm] \subseteq [/mm] A$$
als auch
[mm] $$\beta)\;\;A \subseteq [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$$
gilt.
Zu [mm] $\alpha)$:
[/mm]
Für jedes beliebige $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$ gilt $x [mm] \in [/mm] A$ und $x [mm] \in B\,.$ [/mm] Insbesondere ist also $x [mm] \in [/mm] A$ und damit folgt $A [mm] \cap [/mm] B [mm] \subseteq A\,.$
[/mm]
Zu [mm] $\beta)$:
[/mm]
Für jedes beliebige $x [mm] \in [/mm] A$ gilt, da hier nach Voraussetzung $A [mm] \subseteq [/mm] B$ ist, auch $x [mm] \in B\,.$ [/mm] Für jedes $x [mm] \in [/mm] A$ gilt also $x [mm] \in [/mm] A$ und $x [mm] \in [/mm] B$, also $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap B\,.$ [/mm] Daher ist hier $A [mm] \cap B\subseteq A\,.$
[/mm]
Aus [mm] $\alpha)$ [/mm] und [mm] $\beta)$ [/mm] folgt $A [mm] \cap B=A\,.$
[/mm]
Das wäre der Beweis zur 1.). Bekommst Du den zu 2.) nun alleine hin?
(Dort ist die Voraussetzung, dass $A [mm] \cap [/mm] B=A$ ist, und zu beweisen hast Du dann, dass jedes beliebige $x [mm] \in [/mm] A$ zwangsläufig auch $x [mm] \in [/mm] B$ erfüllen muss (für nichts anderes steht ja $A [mm] \subseteq [/mm] B$). Was dann eigentlich sehr sehr banal ist.)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Di 10.11.2009 | | Autor: | psybrain |
Hallo,
Danke für die Antwort! Jedoch wird bei diesen Schritten von der Behauptung zur Behauptung gefolgert, und nicht zur Vorraussetzung.
Also aus $ A [mm] \cap [/mm] B=A $ wird wieder $ A [mm] \cap [/mm] B=A $.
Ich versuche A [mm] \subseteq [/mm] B so umzuformen dass $ A [mm] \cap [/mm] B=A $ herauskommt, da dies ja das Verfahren des direkten Beweises ist.
Was stimmt an meinem Denken nicht? :)
Danke, Ich
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:13 Do 12.11.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> Danke für die Antwort! Jedoch wird bei diesen Schritten
> von der Behauptung zur Behauptung gefolgert, und nicht zur
> Vorraussetzung.
> Also aus [mm]A \cap B=A[/mm] wird wieder [mm]A \cap B=A [/mm].
>
> Ich versuche A [mm]\subseteq[/mm] B so umzuformen dass [mm]A \cap B=A[/mm]
> herauskommt, da dies ja das Verfahren des direkten Beweises
> ist.
??? Versteh' ich nicht. Vorausgesetzt wird die Gleichheit $A=A [mm] \cap [/mm] B$. Zu zeigen ist nun, siehe oben: Ist $x [mm] \in [/mm] A$ beliebig, dann folgt auch $x [mm] \in B\,.$ [/mm]
> Was stimmt an meinem Denken nicht? :)
Schwer zu sagen, denn ich weiß gerade nicht, wo Dein Problem ist. Also nochmal:
Du hast noch zu zeigen:
Aus $A [mm] \cap [/mm] B=A$ folgt, dass $A [mm] \subseteq [/mm] B$ ist. Ich führe Dir jetzt mal den direkten Beweis vor:
Sei $x [mm] \in A\,$ [/mm] beliebig, aber fest. Nach Voraussetzung ist $A=A [mm] \cap [/mm] B$, so dass aus $x [mm] \in [/mm] A$ auch $x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$ folgt. Damit gilt (nach Definition des Schnittes!) $x [mm] \in [/mm] A$ und $x [mm] \in [/mm] B$, insbesondere ist dann also $x [mm] \in B\,.$
[/mm]
Konsequenz: Da $x [mm] \in [/mm] A$ beliebig war, gilt $A [mm] \subseteq B\,.$
[/mm]
Das wäre eine Möglichkeit, den Beweis zu führen.
Alternativ kannst Du auch so vorgehen:
Vorausgesetzt wird $A=A [mm] \cap B\,.$ [/mm] Angenommen, es wäre nun $A [mm] \not\subseteq B\,.$ [/mm] Dann gibt es ein [mm] $x_0 \in [/mm] A$, für das zudem [mm] $x_0 \notin [/mm] B$ gilt. Aus [mm] $x_0 \in [/mm] A$ folgt aber wegen $A=A [mm] \cap [/mm] B$, dass sowohl [mm] $x_0 \in [/mm] A$ als auch [mm] $x_0 \in \ldots$ [/mm] (kannst Du die Pünktchen ergänzen?) ist. Also muss auch [mm] $x_0 \in \ldots$ [/mm] (kannst Du auch hier die Pünktchen ergänzen?) gelten. Damit gilt aber sowohl [mm] $x_0 \notin [/mm] B$ als auch [mm] $x_0 \in \ldots$ [/mm] (kannst Du auch hier wieder die Pünktchen ergänzen?). Widerspruch.
Gruß,
Marcel
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