Aussagenbeweis einer Umkehrabb < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 Sa 26.10.2013 | | Autor: | Triops |
| Aufgabe | Sei [mm] $f:A\toB$ [/mm] eine Abbildung, [mm] $X_1\subset [/mm] A$, [mm] $Y_1\subset [/mm] B$
mit [mm] $f(X):=\{f(a)\in B | a\in X\}$ [/mm] und [mm] $f^{-1}(Y):=\{a\in A | f(a)\in Y\}$
[/mm]
Es ist zu zeigen oder widerlegen: [mm] $f^{-1}(f(X_1))=X_1$ [/mm] |
Hallo zusammen,
die obige Aufgabe beschäftigt mich schon eine Weile, weil dieser Ausdruck in einer etwas abgewandelten Form bekannter ist:
[mm] $f(f^{-1}(X_1))=X_1$ [/mm] (mit $f$ surjektiv)
Mit meinem Beweisverfahren komme ich so ganz nicht gut voran, weil scheinbar der Ausdruck nicht mit einer nicht-surjektiven Abbildung widerlegbar ist.
In Folge mein Beweisansatz durch Widerspruch:
Seien [mm] $A=\{0,1\}$ [/mm] und [mm] $B=\{a,b\}$ [/mm] mit [mm] $f:A\to [/mm] B$, $f(0)=a$ und $f(1)=a$ definiert.
Sei [mm] $X_1:=A$ [/mm] müsse gelten: [mm] $f^{-1}(f(X_1))=X_1$.
[/mm]
Da [mm] $f(X):=\{f(a)\in B | a\in X\}$ [/mm] ist folglich [mm] $f(X_1)=f({0,1}):=\{a\}$, [/mm] da laut Voraussetzung [mm] $f(0)=a\in [/mm] B$ und [mm] $f(1)=a\in [/mm] B$.
Da [mm] $f^{-1}(Y):=\{a\in A | f(a)\in Y\}$ [/mm] ist [mm] $f^{-1}(f(X_1))=f^{-1}(\{a\}):=\{0,1\}$.
[/mm]
Das Problem hier ist, daß scheinbar das Gegenbeispiel die Aussage nicht widerlegt.
Könnte es tatsächlich sein, daß der obige Ausdruck im allgemeinen gilt oder arbeite ich schon lange an dieser Aufgabe und übersehe einen grundlegen Denkfehler in meinem Verfahren?
Vielen Dank im Voraus für eure Zeit und Hinweise!
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Hey Triops,
du hast Recht, dein Gegenbeispiel ist leider keines.
Allerdings lässt sich die Aussage widerlegen, sie lässt sich sogar mit deinem $f$ wiederlegen, du müsstest nur [mm] $X_1$ [/mm] ein wenig anders wählen. :)
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Sa 26.10.2013 | | Autor: | Triops |
Vielen Dank für den Hinweis!
Ich erweitere mein [mm] $A:=X_1$ [/mm] um ein Element, erhalte [mm] $A=\{0,1,2\} [/mm] und definiere [mm] $f(2):=\emptyset$.
[/mm]
Daraus folgt, daß [mm] $f(\{0,1,2\})=\{a\}$.
[/mm]
Wendet man nun die Umkehrabbildung an, ist [mm] $f^{-1}(f(X_1))=f^{-1}(\{a\}):=\{0,1\}\not=X_1:=\{0,1,2\}$ $\Box$
[/mm]
Stimmt das so oder habe ich etwas nicht beachtet?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:14 Sa 26.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo triops!
> Ich erweitere mein [mm]A:=X_1[/mm] um ein Element, erhalte
> [mm]A=\{0,1,2\}[/mm] und definiere [mm]f(2):=\emptyset$.[/mm]
Dann musst du $B$ um das Element [mm] $\emptyset$ [/mm] erweitern.
> Daraus folgt, daß [mm]f(\{0,1,2\})=\{a\}[/mm].
Nein, [mm] $f(\{0,1,2\})=\{a,\emptyset\}$.
[/mm]
Behalte ruhig dein ursprüngliches f bei und betrachte mal [mm] $X_1=\{0\}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Sa 26.10.2013 | | Autor: | Triops |
Alles klar, ich betrachte es nun mit [mm] $X_1=\{0\}$. [/mm] Es gilt $f(0):=a$ und $f(1):=a$:
[mm] $f(X_1)=f(\{0\}):=\{a\}$, [/mm] da [mm] $f(0)=a\in [/mm] B$.
Daraus folgt [mm] $f^{-1}(\{a\}):=\{0,1\}\not=\{0\}$ $\Box$
[/mm]
Mein Denkfehler lag wohl darin, daß ich [mm] $X_1\subset [/mm] A$ nicht richtig betrachtet habe. Es war wohl auch nicht schlau [mm] $X_1:=A$ [/mm] zu setzen.
Die Umkehrabbildung [mm] $f^{-1}$ [/mm] wird schließlich auf alle Elemente von $A$ definiert, die mit $f$ abgebildet in [mm] $f(X_1)$ [/mm] liegen.
Das schließt in diesem Fall auch das Element [mm] $1\in [/mm] A$ mit ein, welches aber nicht in [mm] $X_1$ [/mm] enthalten ist.
Vielen Dank die Hilfe! Ich habe es jetzt scheinbar richtig verstanden.
Ist das obige Beweisverfahren nun hinreichend?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:39 Sa 26.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Alles klar, ich betrachte es nun mit [mm]X_1=\{0\}[/mm]. Es gilt
> [mm]f(0):=a[/mm] und [mm]f(1):=a[/mm]:
>
> [mm]f(X_1)=f(\{0\}):=\{a\}[/mm], da [mm]f(0)=a\in B[/mm].
>
> Daraus folgt [mm]f^{-1}(\{a\}):=\{0,1\}\not=\{0\}[/mm] [mm]\Box[/mm]
>
> Mein Denkfehler lag wohl darin, daß ich [mm]X_1\subset A[/mm] nicht
> richtig betrachtet habe. Es war wohl auch nicht schlau
> [mm]X_1:=A[/mm] zu setzen.
> Die Umkehrabbildung [mm]f^{-1}[/mm] wird schließlich auf alle
> Elemente von [mm]A[/mm] definiert, die mit [mm]f[/mm] abgebildet in [mm]f(X_1)[/mm]
> liegen.
> Das schließt in diesem Fall auch das Element [mm]1\in A[/mm] mit
> ein, welches aber nicht in [mm]X_1[/mm] enthalten ist.
>
> Vielen Dank die Hilfe! Ich habe es jetzt scheinbar richtig
> verstanden.
> Ist das obige Beweisverfahren nun hinreichend?
Ja. Dem ist nichts hinzuzufügen.
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