Aussagen zu Vektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:36 Fr 28.04.2006 | | Autor: | claire06 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die wahren Aussagen:
A Hat man eine Basis eines Vektorraums gegeben, so lässt sich jeder Vektor des Vektorraums eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren darstellen.
B Die Summe der Komponentenquadrate ist für alle Vektoren einer orthonormalen Basis gleich.
C Das Skalarprodukt ist für alle Paare von Vektoren einer orthogonalen Basis gleich.
D. Zu jedem Vektorraum existiert eine eindeutig bestimmte Basis. |
Hallo,
leider kann ich die Aussagen A und B nicht bestimmen. Ich glaube, dass A richtig ist, mir fällt jedoch keine Begründung ein. Die Aussage B verstehe ich nicht wirklich. Könnte mir das jemand erklären?
Zu C und D habe ich Folgendes gedacht. Bitte korrigiert mich, wenn ich falsch liege:
C: Ja, wahre Aussage, denn das Skalarprodukt muss Null sein, damit die Basis orthogonal ist. Also müssen ihre Vektoren ebenfalls das Produkt Null haben.
D: Ebenfalls eine wahre Aussage, denn jeder Vektorraum hat mindestens eine eindeutig bestimmte Basis.
Vielen Dank und sonnige Grüße!
Claire
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Hallo Claire
Zu A)
Die Aussage ist auf jeden Fall wahr, für mich ist das eigentlich die Definition einer Basis, wenn euere Definition anders ist, müsstest du sie mal posten, damit man begründen kann wie daraus die Aussage folgt.
Zu B)
Die Summe der Komponentenquadrate ist z.B. für den Vektor (1,2) [mm] 1^2+2^2=5. [/mm] Die Summe der Komponentenquadrate ist also gar kein Element des Vektorraums und kann somit auch keine Basis sein.
Zu C)
Hier muss man genau aufpassen, was ihr unter einem Paar versteht. Insbesondere, ob ihr auch ein Paar aus zweimal dem gleichem Vektor zu lasst. Da dies ist nicht explizit ausgeschlossen ist, würde ich sagen die Aussage ist falsch. Z.B. ist [mm] e_1=\vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] e_2=\vektor{0 \\ 1} [/mm] eine Basis [mm] \IR^2. [/mm] Aber es gilt [mm] e_1*e_2=0, [/mm] aber [mm] e_1*e_1=1. [/mm] Wenn ihr aber ein Paar von identischen Vektoren ausschließt ist die Aussage richtig.
Zu D)
Die Aussage ist falsch. Es existiert zwar zu jedem Vektorraum eine Basis, allerdings ist diese nicht eindeutig bestimmt. Z.B ist sowohl [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] als auch [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ -1} [/mm] eine Basis [mm] \IR^2.
[/mm]
Ich hoffe ich konnte dir helfen, wenn nicht frag einfach nochmal nach.
Gruß
Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:54 Fr 28.04.2006 | | Autor: | Sanshine |
Moin allerseits.
Ich muss ein wenig widersprechen: A - wenn auch wahr - ist nicht zwingend die def der Basis. Die ist eher als "kleinste" l.u. Erzeugendenmenge des Vektorraums gegeben.
Was du hier zeigen musst, ist die eindeutigkeit der darstellung. Ist aber ganz einfach:
Nimm dir einen Vektor v und nimm dir zwei verschiedene Lin.kombinationen der Basis (z.B. [mm] v=\summe_{i=1}^na_iv_i=\summe_{i=1}^nb_iv_i [/mm] wobei deine [mm] v_i [/mm] die Basisvektoren sind. Dann die Summen gleich sind, bedeutet das, dass ihre Differenz 0 ergibt... Dann form die Summen ein wenig um und erinnere dich, was du über lin.kombinationen einer Basis, die null ergibt, weißt.
Hab ich jetzt ein wenig umständlich geschrieben, weil ich nicht gleich alles zeigen wollte, meld dich bei Rückfragen sonst gerne noch mal,
Gruß,
San
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