Aussagen zu Lp-Räumen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Für jede Wahl von f, g [mm] \in L^2(\mathbb R^n) [/mm] gilt
[ ] [mm] \lim\limits_{|x| \rightarrow \infty}{f(x)} [/mm] = 0
[ ] f [mm] \in L^1(\mathbb R^n)
[/mm]
[ ] fg [mm] \in L^2(\mathbb R^n)
[/mm]
[ ] [mm] f|_{B(0,1)} \in L^1(B(0,1)), [/mm] B(0, 1) ist dabei die Einheitskugel im [mm] \mathbb R^n [/mm] |
Was ist nun wahr und was falsch? Bin mir eigentlich bei keiner Aussage wirklich sicher. Die erste ergibt schon Sinn, denn wenn die Funktion im positiven und negativen Unendlichen nicht gegen 0 geht, existiert das Integral wohl auch nicht und f [mm] \notin L^2(\mathbb R^n)
[/mm]
Bei der zweiten Aussage hätte ich intuitiv wahr gesagt, habe aber gefunden, dass für [mm] \mu(\Omega) [/mm] < [mm] \infty [/mm] und q >= p >= 1 gilt: [mm] L^q \subseteq L^p, [/mm] das würde also bedeuten f [mm] \in L^p(\mathbb R^n), [/mm] p = 2, .. , [mm] \infty [/mm] ?!
Ich kann mir gerade sowieso nicht vorstellen, wann f nur in einer Teilmenge aller [mm] L^p-Räume [/mm] sein kann, denn [mm] \|f\|_p [/mm] müsste doch für jedes p existieren, wenn ich |f| mit einer endlichen Zahl potenziere?!
Bei der dritten habe ich keine Ahnung. [mm] L^p-Räume [/mm] sind Vektorräume, also wäre f + g [mm] \in L^2(\mathbb R^n) [/mm] und af [mm] \in L^2(\mathbb R^n), [/mm] a > 0, aber ich weiß nicht, ob das für fg gilt...
Gleiches bei der vierten. Kann ich die Frage verallgemeinern zu: Ist jede Teilmenge einer Funktion aus einem [mm] L^p-Raum [/mm] auch immer im von dieser Teilmenge gebildeten [mm] L^p-Raum [/mm] oder ist die Kugel ein Spezialfall? Wie finde ich raus, ob die Aussage gilt oder nicht?
Bedanke mich für jegliche Hilfe :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 Mi 17.08.2011 | | Autor: | Dath |
Zu 1: Warum sollte das gelten? Gegenbeispiel?
Zu 2: Ja, denn allgemein: [mm]L^{q} \subseteq L^{p}, q>=p>=1[/mm].
Zu 3: [mm] (fg,fg)=\overline(f)\overline(g)fg=(f,g)^(2)[/mm] Hilft das?
Zu 4: Einfach das Maß auf die Kugel einschränken. Dann gilt:
[mm]\integral_{\IR^{n}}fd\mu >= \integral_{\IR^{n}}\delta(B(0,1))fd\mu[/mm]. Insbesondere wenn das Maß auf der Einheitskugel im Rn dasselbe ist wie das in Rn.
|
|
|
| |
|
Die 3. Aussage ist falsch. Es gilt aber $f [mm] \* [/mm] g [mm] \in L^1$. [/mm]
Denn $0 [mm] \le [/mm] ( |f| - |g| [mm] )^2 [/mm] = [mm] |f|^2 [/mm] - 2|fg| + [mm] |g|^2$, [/mm] woraus folgt:
$|fg| [mm] \le \bruch{1}{2} [/mm] (|f| + |g|)$, also Lebesque-inegrierbar.
Das ist eine der Standartaussagen, somit wird sie für [mm] $L^2$ [/mm] wohl nicht gelten, aber ein Gegenbeispiel hab ich jetzt auch nicht parat. Außerdem nützt dir die Vektorraumaussage da ja nix, weil die ja nur was über die skalare Multiplikation sagt.
LG Andre
|
|
|
|
