Aussagen wahr oder falsch? < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:39 Do 23.10.2008 | | Autor: | Hachiko8 |
| Aufgabe 1 | Welche der folgenden Aussagen sind wahr oder falsch? (kurze Begründung)
[mm] \exists [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] , [mm] \forall [/mm] m [mm] \in \IN [/mm] : m [mm] \ge [/mm] n
[mm] \exists [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] , [mm] \forall [/mm] m [mm] \in \IN [/mm] : m [mm] \le [/mm] n
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] , [mm] \exists [/mm] m [mm] \in \IN [/mm] , [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] : m>n [mm] \wedge [/mm] (k [mm] \ge [/mm] m [mm] \vee [/mm] k [mm] \le [/mm] n) |
| Aufgabe 2 | | Formulieren Sie dieNegation der letzten Aussage so um, dass das Negationszeichen nicht mehr explizit auftritt. |
Aufgabe 1: Reicht es eigentlich, wenn ich für die begründung n und m durch zahlen ersetze, sodass die aussage wahr is? aber das wär dann nicht stichfest genug oder? :-/ Wenn, dann wären die ersten beiden aussagen meiner meinung nach wahr...bei der letzten aussage bin ich mir nicht so sicher.
Aufgabe 2:
also lautet es dann [mm] \exists [/mm] n [mm] \in \IN, \forall [/mm] m [mm] \in \IN, \exists [/mm] k [mm] \in \IN: [/mm] m>n [mm] \wedge [/mm] (k [mm] \ge [/mm] m [mm] \vee [/mm] k [mm] \le [/mm] n) ?musst man die relationszeichen und junktoren auch umändern? und was dann? irgendwie komm ich nicht weiter...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:03 Do 23.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst jeweils ne Zahl n angeben, so dass die ungleichung fuer ALLE m gilt!
ich glaub nicht, dass du das fuer a und b kannst, nur fuer eines von beiden.
3 entsprechend, du musst ein m finden sodas die Aussage gilt.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:26 Do 23.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Welche der folgenden Aussagen sind wahr oder falsch? (kurze
> Begründung)
>
> [mm]\exists[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] , [mm]\forall[/mm] m [mm]\in \IN[/mm] : m [mm]\ge[/mm] n
ich geb' Dir mal einen Tipp: Hier fragt man nichts anderes, als: Hat die Menge der natürlichen Zahlen (mindestens) ein Minimum?
(Wenn man das in Worten sagt, steht dort oben ja: Gibt es eine natürliche Zahl [mm] $\black{n}$ [/mm] derart, dass eine jede natürliche Zahl [mm] $\black{m}$ [/mm] stets [mm] $\ge [/mm] n$ ist?)
Ich denke mal, dass Du die Antwort weißt und damit ein (sogar "das") [mm] $\black{n}$ [/mm] dann konkret benennen kannst.
> [mm]\exists[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] , [mm]\forall[/mm] m [mm]\in \IN[/mm] : m [mm]\le[/mm] n
Eine Umformulierung der Frage wäre:
Hat die Menge der natürlichen Zahlen ein Maximum?
(Ist Dir das nun klar?)
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] , [mm]\exists[/mm] m [mm]\in \IN[/mm] , [mm]\forall[/mm] k [mm]\in \IN[/mm]
> : m>n [mm]\wedge[/mm] (k [mm]\ge[/mm] m [mm]\vee[/mm] k [mm]\le[/mm] n)
Das hier wird schon (zumindest vergleichsweise) etwas komplexer. Die Frage hier wäre:
Gilt für jedes $n [mm] \in \IN$, [/mm] dass ein $m [mm] \in \IN$ [/mm] so existiert, dass zum einen $m > n$ ist und zudem so, dass jede natürliche Zahl $k$ dann [mm] $\ge [/mm] m$ oder [mm] $\le [/mm] n$ ist.
Ich behaupte mal, dass diese Aussage stimmt. Das folgende ist (so alleine) kein Beweis, liefert Dir aber die Idee:
Beispiel:
Für $n=10$ setze ich $m:=10+1=11$. Dann ist $m=10+1 > 10=n$. Betrachte ich nun irgendeine natürliche Zahl $k [mm] \in \IN$, [/mm] so gilt $k < 10$ oder $k=10$ oder $k > 10$. Also gilt auch $k [mm] \le [/mm] 10$ oder $k > 10$. Da $k$ eine natürlich Zahl ist, ist aber $k > 10$ gleichbedeutend mit $k [mm] \ge [/mm] 10+1=m$.
Also gilt für jede natürlich Zahl $k [mm] \in \IN$ [/mm] dann $k [mm] \le [/mm] n=10$ oder $k [mm] \ge [/mm] m=10+1$ und es ist $m=11=10+1 > [mm] 10=n\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:15 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Hachiko8 |
aber widerspricht sich das ganze bei der letzten Teilaufgabe nicht? Die aussage is doch schon deswegen falsch, weil es doch nie ein m geben wird, sodass m größer für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:26 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> aber widerspricht sich das ganze bei der letzten
> Teilaufgabe nicht?
im Widerspruch zu was soll das stehen?
> Die aussage is doch schon deswegen
> falsch, weil es doch nie ein m geben wird, sodass m größer
> für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt.
schau' Dir das nochmal genau an. Dort ist gefragt: Gibt es zu jedem $n [mm] \in \IN$ [/mm] eine Zahl $m [mm] \in \IN$ [/mm] mit $m > n$ so, dass jede natürliche Zahl $k [mm] \in \IN$ [/mm] erfüllt: $k [mm] \ge [/mm] m$ oder $k [mm] \le [/mm] n$.
Ist nun $n [mm] \in \IN$ [/mm] irgendeine (feste) natürliche Zahl, so gilt für alle $k [mm] \in \IN$: [/mm] $k > n$ oder $k [mm] \le [/mm] n$. Dann gilt aber $k [mm] \ge [/mm] n+1$ oder $k [mm] \le [/mm] n$.
Mit $m:=n+1$ gilt dann sicher $k [mm] \ge [/mm] m$ oder $k [mm] \le [/mm] n$. Wir müssen uns jetzt nur auch davon überzeugen, dass auch $m [mm] \in \IN$ [/mm] und $m > n$ gilt. Wegen $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist dann $n+1=m [mm] \in \IN$, [/mm] und außerdem ist auch $m=n+1 > n$.
Also: Zu $n [mm] \in \IN$ [/mm] setze man $m:=n+1$. Dieses erfüllt dann alles, was gefordert wird, und daher ist die letzte Aussage wahr.
(Wir können ja zu jedem $n [mm] \in \IN$ [/mm] explizit ein $m [mm] \in \IN$ [/mm] wie gefordert hinschreiben, und zwar mit [mm] $m:=n+1\,.$)
[/mm]
P.S.:
Die Negation von
$ [mm] \forall [/mm] $ n $ [mm] \in \IN [/mm] $ , $ [mm] \exists [/mm] $ m $ [mm] \in \IN [/mm] $ , $ [mm] \forall [/mm] $ k $ [mm] \in \IN [/mm] $ : m>n $ [mm] \wedge [/mm] $ (k $ [mm] \ge [/mm] $ m $ [mm] \vee [/mm] $ k $ [mm] \le [/mm] $ n) ist, damit Du das nochmal kontrollierst:
$ [mm] \exists [/mm] $ n $ [mm] \in \IN [/mm] $ , $ [mm] \forall [/mm] $ m $ [mm] \in \IN [/mm] $ , $ [mm] \exists [/mm] $ k $ [mm] \in \IN [/mm] $ : $m [mm] \le [/mm] n$ $ [mm] \vee [/mm] $ (k $ < $ m $ [mm] \wedge [/mm] $ k $ > $ n)
(Es gilt ja
[mm] $\neg$ [/mm] ($m>n $ [mm] \wedge [/mm] $ (k $ [mm] \ge [/mm] $ m $ [mm] \vee [/mm] $ k $ [mm] \le [/mm] $ n)$)
= $m [mm] \le [/mm] n$ $ [mm] \vee [/mm] $ [mm] $\neg$ [/mm] (k $ [mm] \ge [/mm] $ m $ [mm] \vee [/mm] $ k $ [mm] \le [/mm] $ n)
= $m [mm] \le [/mm] n$ $ [mm] \vee [/mm] $ (k $ < $ m $ [mm] \wedge [/mm] $ k $ > $ n))
Und jetzt überlege Dir mal, warum die letztstehende Aussage nicht stimmen kann...
Tipp:
Nimm' an, es gibt ein solches $n [mm] \in \IN$. [/mm] Dann solltest Du Dir Gedanken machen, ob für $m:=n+1$ ein $k [mm] \in \IN$ [/mm] so existieren kann, dass gleichzeitig $k < m$ und $k > n$ gelten kann.
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
