Aussagen über Menge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Mi 21.11.2012 | | Autor: | zjay |
| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen über Mengen.
a) A x ( B [mm] \cap [/mm] C ) = ( A x B ) [mm] \cap [/mm] ( A x C),
b) (A \ B) x (a \ C) = A x A \ B x C. |
Hallo,
bei a) bin ich mir relativ sicher, dass es stimmen müsste, hoffe aber, dass ihr es überfliegen könnt und mir ein Feedback gebt.
Das Problem liebt bei b). Ein Komilitone meinte, dass die Aussage nicht stimmt und er deswegen nur ein Gegenbeispiel anführen müsse um sie zu widerlegen. Recht hat er zwar, aber ich mache das lieber allgemeiner.
Hier mein Vorschlag:
a) Sei A x ( B [mm] \cap [/mm] C ) dann sind die Aussagen A x ( B [mm] \cap [/mm] C ) = A x B [mm] \cap [/mm] A x C
wir wissen
B [mm] \cap [/mm] C := {x | x [mm] \in [/mm] B und x [mm] \in C\}
[/mm]
A x B := {(a,x) | a [mm] \in [/mm] A, x [mm] \in [/mm] B }
A x C := {(a,c) | a [mm] \in [/mm] A, x [mm] \in [/mm] C }
[mm] \Rightarrow [/mm] A x (B [mm] \cap [/mm] C) := {(a,x)| a [mm] \in [/mm] A, x [mm] \in [/mm] B und x [mm] \in [/mm] C}
[mm] \gdw [/mm] {(a,x)| a [mm] \in [/mm] A, x [mm] \in [/mm] B und a [mm] \in [/mm] A, x [mm] \in [/mm] C} = A x B [mm] \cap [/mm] A x C
Und jetzt b), wo ich mir nicht sicher bin ob man so vorgehen kann:
2b)
(A \ B) x (A \ C) = A x A \ B x C
AxA :={a| a [mm] \in [/mm] A}
BxC :={b,c| b [mm] \in [/mm] B, c [mm] \in [/mm] C}
A \ B :={a [mm] \in [/mm] A, [mm] a\not\in [/mm] B}
A \ C :={a [mm] \in [/mm] A, [mm] a\not\in [/mm] C}
[mm] \rightarrow [/mm] A x A \ B x C := {(a,b,c) | a [mm] \in [/mm] A, a [mm] \not\in [/mm] (B x C), b [mm] \in [/mm] B, c [mm] \in [/mm] C}
[mm] \gdw [/mm] {(a,b,c)| a [mm] \in [/mm] A, a [mm] \not\in [/mm] {b,c| b [mm] \in [/mm] B, c [mm] \in [/mm] C}, b [mm] \in [/mm] B, c [mm] \in [/mm] C}
und jetzt ein kritscher Schritt (?!)
[mm] \gdw [/mm] {(a,b,c)| a [mm] \in [/mm] A, a [mm] \not\in [/mm] B, a [mm] \not\in [/mm] C, b [mm] \in [/mm] B, c [mm] \in [/mm] C}
Jetzt wird die rechte und linke Seite gleichgesetzt;:
(A \ B) x (a \ C) = A x A \ B x C
[mm] \gdw [/mm] {a [mm] \in [/mm] A, a [mm] \not\in [/mm] B, a [mm] \not\in [/mm] C} = {(a,b,c)| a [mm] \in [/mm] A, a [mm] \not\in [/mm] B, a [mm] \not\in [/mm] C, b [mm] \in [/mm] B, c [mm] \in [/mm] C}
Es gilt {a [mm] \in [/mm] A, a [mm] \not\in [/mm] B, a [mm] \not\in [/mm] C} [mm] \not= [/mm] {(a,b,c)| a [mm] \in [/mm] A, a [mm] \not\in [/mm] B, a [mm] \not\in [/mm] C, b [mm] \in [/mm] B, c [mm] \in [/mm] C}
Was haltet ihr davon?
mfg und besten Dank für eure Hilfe,
zjay
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Hallo zjay,
> Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen über
> Mengen.
>
> a) A x ( B [mm]\cap[/mm] C ) = ( A x B ) [mm]\cap[/mm] ( A x C),
>
> b) (A \ B) x (a \ C) = A x A \ B x C.
> Hallo,
>
> bei a) bin ich mir relativ sicher, dass es stimmen müsste,
> hoffe aber, dass ihr es überfliegen könnt und mir ein
> Feedback gebt.
> Das Problem liebt bei b). Ein Komilitone meinte, dass die
> Aussage nicht stimmt und er deswegen nur ein Gegenbeispiel
> anführen müsse um sie zu widerlegen. Recht hat er zwar,
> aber ich mache das lieber allgemeiner.
Wozu?
>
> Hier mein Vorschlag:
>
> a) Sei A x ( B [mm]\cap[/mm] C )
Was soll das heißen?
Da steht nix?!
> dann sind die Aussagen A x ( B [mm]\cap[/mm] C ) = A x B [mm]\cap[/mm] A x C
Das ist die zu zeigende Mengengleichheit
>
> wir wissen
>
> B [mm]\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
C := {x | x [mm]\in[/mm] B und x [mm]\in C\}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> A x B := {(a,x) | a [mm]\in[/mm] A, x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B }
> A x C := {(a,c) | a [mm]\in[/mm] A, x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
C }
Was ist nun x?
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] A x (B [mm]\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
C) := {(a,x)| a [mm]\in[/mm] A, x [mm]\in[/mm] B und x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
C}
>
> [mm]\gdw[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{(a,x)| a [mm]\in[/mm] A, x [mm]\in[/mm] B und a [mm]\in[/mm] A, x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
C} = A x B [mm]\cap[/mm] A x C
Das ist ein mathematisches Schwerverbrechen.
Zwei Mengen können gleich sein, was soll es aber bedeuten, dass zwei Mengen äquivalent sind?
Mal strukturierter:
Was bedeutet eine Mengengleichheit [mm]M=N[/mm]?
Dass [mm]M\subset N[/mm] und [mm]N\subset M[/mm]
Du musst also zeigen, dass
1) [mm]A\times (B\cap C)\subset (A\times B)\cap(A\times C)[/mm] , dh. auf Elementebene:
Für jedes [mm]x[/mm] aus der Grundmenge gilt: [mm](x,y)\in A\times (B\cap C) \ \Rightarrow \ (x,y)\in (A\times B)\cap (A\times C)[/mm]
und
2) [mm](A\times B)\cap (A\times C)\subset A\times(B\cap C)[/mm], auf Elementebene analog zu 1)
Hier kann man das in einem Schlag erledigen, indem man zeigt:
[mm](x,y)\in A\times(B\cap C) \ \gdw \ (x,y)\in (A\times B)\cap (A\times C)[/mm]
Die Aussage über die Mengengleichheit wird also auf die Elementebene gebracht und als Äquivalenzaussage umformuliert.
Nun arbeite stur mit den Definitionen:
[mm](x,y)\in A\times (B\cap C) \ \gdw \ x\in A \ \wedge \ y\in (B\cap C) \ \gdw \ x\in A \ \wedge \ y\in B \ \wedge \ y\in C[/mm]
[mm]\gdw (x\in A\wedge y\in B) \ \wedge \ (x\in A\wedge y\in C)[/mm]
Wieso kann ich das machen?
[mm]\gdw (x,y)\in A\times B \ \wedge \ (x,y)\in A\times C[/mm]
[mm]\gdw (x,y)\in (A\times B)\cap (A\times C)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Begründe dabei jeden der Schritte!
>
> Und jetzt b), wo ich mir nicht sicher bin ob man so
> vorgehen kann:
>
> 2b)
>
> (A \ B) x (A \ C) = A x A \ B x C
>
> AxA :={a| a [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
A} ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
In [mm]A\times A[/mm] sind Tupel [mm](x,y)[/mm] mit [mm]x\in A, y\in A[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> BxC :={b,c| b [mm]\in[/mm] B, c [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
C}
> A \ B :={a [mm]\in[/mm] A, [mm]a\not\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B}
> A \ C :={a [mm]\in[/mm] A, [mm]a\not\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
C}
>
> [mm]\rightarrow[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
A x A \ B x C := {(a,b,c) | a [mm]\in[/mm] A, a [mm]\not\in[/mm]
> (B x C), b [mm]\in[/mm] B, c [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
C}
Grober Unfug!
>
> [mm]\gdw[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{(a,b,c)| a [mm]\in[/mm] A, a [mm]\not\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{b,c| b [mm]\in[/mm] B, c [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
C},
> b [mm]\in[/mm] B, c [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
C}
>
> und jetzt ein kritscher Schritt (?!)
Das ist vorher schon oberkritisch!
>
> [mm]\gdw[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{(a,b,c)| a [mm]\in[/mm] A, a [mm]\not\in[/mm] B, a [mm]\not\in[/mm] C, b [mm]\in[/mm]
> B, c [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
C}
>
> Jetzt wird die rechte und linke Seite gleichgesetzt;:
>
> (A \ B) x (a \ C) = A x A \ B x C
>
> [mm]\gdw[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{a [mm]\in[/mm] A, a [mm]\not\in[/mm] B, a [mm]\not\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
C} = {(a,b,c)| a [mm]\in[/mm]
> A, a [mm]\not\in[/mm] B, a [mm]\not\in[/mm] C, b [mm]\in[/mm] B, c [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
C}
>
> Es gilt {a [mm]\in[/mm] A, a [mm]\not\in[/mm] B, a [mm]\not\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
C} [mm]\not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{(a,b,c)|
> a [mm]\in[/mm] A, a [mm]\not\in[/mm] B, a [mm]\not\in[/mm] C, b [mm]\in[/mm] B, c [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
C}
>
> Was haltet ihr davon?
Goar nix!
Gib ein Gegenbsp. an, wenn du meinst, dass die Aussage falsch ist ...
>
> mfg und besten Dank für eure Hilfe,
>
> zjay
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Mi 21.11.2012 | | Autor: | zjay |
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Mi 21.11.2012 | | Autor: | zjay |
Nun arbeite stur mit den Definitionen:
[mm](x,y)\in A\times (B\cap C) \ \gdw \ x\in A \ \wedge \ y\in (B\cap C) \ \gdw \ x\in A \ \wedge \ y\in B \ \wedge \ y\in C[/mm]
[mm]\gdw (x\in A\wedge y\in B) \ \wedge \ (x\in A\wedge y\in C)[/mm]
Wieso kann ich das machen?
Die Schritte sind bis zum letzten absolut klar und einleuchtend. Nur beim letzten muss ich stutzen. Ich kann mir nur denken, dass diese drei Aussagen im 3. Umformungsschritt mit einem logischen [mm] \wedge [/mm] verknüpft sind und man deswegen jede Aussage beliebig oft aufschreiben darf. Deswegen steht x [mm] \in [/mm] A auch zweimal im letzten Umformungsschritt.
[mm] \gdw (x,y)\in A\times [/mm] B \ [mm] \wedge [/mm] \ [mm] (x,y)\in A\times [/mm] C[/mm]
[mm] \gdw (x,y)\in (A\times B)\cap (A\times [/mm] C)
Da (x,y) [mm] \in [/mm] A x B und (x,y) [mm] \in [/mm] A x C gilt, kann man beide kartesischen Produkte vereinigen, so dass (x,y) [mm] \in [/mm] A x B [mm] \cap [/mm] A x C
Begründe dabei jeden der Schritte!
wow, da hab ich vor lauter rot ja kaum etwas anderes gesehen ...
Okay, das gegenbeispiel um Aussage b) zu widerlegen:
(A \ B) x (A \ C) = A x A \ B x C
Sei A = { 1,2 }, B = {1} und C = {}
[mm] \rightarrow [/mm] ( A \ B ) x ( A \ C ) = { (1,1), (1,2)}
A x A \ B x C = { (1,1), (1,2), (2,1), (2,2) \ [mm] \emptyset \} [/mm] = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}
[mm] \not= [/mm] (A \ B) x (A \ C)
Stimmen meine vermutung und mein Gegenbeispiel denn?
mfg,
zjay
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> Nun arbeite stur mit den Definitionen:
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> [mm](x,y)\in A\times (B\cap C) \ \gdw \ x\in A \ \wedge \ y\in (B\cap C) \ \gdw \ x\in A \ \wedge \ y\in B \ \wedge \ y\in C[/mm]
>
> [mm]\gdw (x\in A\wedge y\in B) \ \wedge \ (x\in A\wedge y\in C)[/mm]
>
> Wieso kann ich das machen?
>
> Die Schritte sind bis zum letzten absolut klar und
> einleuchtend. Nur beim letzten muss ich stutzen. [blue">Ich kann
> mir nur denken, dass diese drei Aussagen im 3.
> Umformungsschritt mit einem logischen [mm]\wedge[/mm] verknüpft
> sind und man deswegen jede Aussage beliebig oft
> aufschreiben darf. Deswegen steht x [mm]\in[/mm] A auch zweimal im
> letzten Umformungsschritt.
Hallo,
ja, genau.
>
> [mm]\gdw (x,y)\in A\times[/mm] B \ [mm]\wedge[/mm] \ [mm](x,y)\in A\times[/mm] C[/mm]
>
> [mm]\gdw (x,y)\in (A\times B)\cap (A\times[/mm] C)
>
> Da (x,y) [mm]\in[/mm] A x B und (x,y) [mm]\in[/mm] A x C gilt,
liegt (x,y) nach Def. des Schnittes zweier Mengen im Schnitt der beiden Mengen [mm] A\times [/mm] B und [mm] A\times [/mm] C.
<span class=" math" ="][="" blue]<br="">
> Okay, das gegenbeispiel um Aussage b) zu widerlegen:
>
> (A \ B) x (A \ C) = A x A \ B x C
>
> Sei A = { 1,2 }, B = {1} und C = {}
>
Dann ist
> [mm]\rightarrow[/mm] ( A \ B ) x ( A \ C )
[mm] =\{2\}\times\{1,2,\}
[/mm]
> = { (1,1), (1,2)}
Irgendwie nicht...
>
> A x A \ B x C = { (1,1), (1,2), (2,1), (2,2)} \ [mm]\emptyset [/mm]
> = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}
> [mm]\not=[/mm] (A \ B) x (A \ C)
>
>
>
> Stimmen meine vermutung und mein Gegenbeispiel denn?
Deine Vermutung stimmt.
LG Angela
>
> mfg,
>
> zjay
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:50 Mi 21.11.2012 | | Autor: | zjay |
Ups, das war auch ein blödes Beispiel.
Hier ein neues:
A:={1,2}, B:={1,3}, C:={2,3}
(A \ B) x (A \ C) = A x A \ B x C
(2) x (1) = (1,2) x (1,2) \ (1,3) x (2,3)
Die Frage hat sich schon erledigt, danke.
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