Aussagen beweisen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:34 Sa 15.11.2008 | | Autor: | Studentin87 |
| Aufgabe | Es sei V ein K-VR und v,w [mm] \in [/mm] V, [mm] \lambda,\mu \in [/mm] K. Beweisen Sie mit Hilfe der Vektorraumaxiome folgende Aussagen:
a) [mm] \lambda*v [/mm] = v [mm] \gdw \lambda=1 \vee [/mm] v=0
b) [mm] \lambda*v [/mm] = [mm] \lambda*w \gdw \lambda=0 \vee [/mm] v=w
c) [mm] \lambda*v= \mu*v \gdw \lambda=\mu \vee [/mm] v=0
d) [mm] \lambda^{2}*v= \lambda*v \gdw \lambda=0 \vee \lambda=1 \vee [/mm] v=0 |
Die Vektorraumaxiome kenne und verstehe ich.Ich weiß auch,dass die Aussagen stimmen,doch wie beweise ich das? Ich weiß nicht wie man mit den Axiomen zu den Aussagen gelangt. Muss man denn beide Richtungen zeigen,weil die Aussagen äquivalent sind?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Sa 15.11.2008 | | Autor: | andreas |
hi
hattet ihr in der vorlesung eine aussage der art:
[mm] $\lambda \cdot [/mm] v = 0 [mm] \quad \Longleftrightarrow \quad (\lambda [/mm] = 0 [mm] \; \vee \; [/mm] v = 0), $
die wäre hier nämlich sehr hilfreich, da sich die zu unterushcenden aussagen durch umformen sehr einfach auf die form auf der linken seite bringen lassen. wenn ihr die hattet, versuche sie mal anzuwenden, wenn nicht versuche sie zu beweisen (angenommen [mm] $\lambda \not= [/mm] 0$, dann existiert [mm] $\lambda^{-1} \in [/mm] K$, nach mutliplikation erhält man, ...)
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:48 Sa 15.11.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
> hi
>
> hattet ihr in der vorlesung eine aussage der art:
>
> [mm]\lambda \cdot v = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (\lambda = 0 \; \vee \; v = 0),[/mm]
>
aber genau diese gilt es doch in der a) zu zeigen!
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") verguckt.
MfG barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Sa 15.11.2008 | | Autor: | andreas |
hi
die aussagen sind natürlich sehr ähnlich, aber die von mir angegebene, halte ich für "natürlicher" und die wird meiner erfahrung nach auch häufig in einer "linearen algebra"-vorlesung bewiesen.
aber man kann die aussagen aber natürlich auch direkt angehen, ich befürchte aber, da schreibt man aber immer und immer wieder das selbe argument auf.
grüße
andreas
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Wir haben in der Vorlesung diese Aussage zwar nicht bewiesen,aber aufgeschrieben,dass sie gilt. Aber wie kann ich denn damit die anderen Aussagen beweisen? Denn ich darf ja nur die Axiome verwenden!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Sa 15.11.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Wir haben in der Vorlesung diese Aussage zwar nicht
> bewiesen,aber aufgeschrieben,dass sie gilt. Aber wie kann
> ich denn damit die anderen Aussagen beweisen? Denn ich darf
> ja nur die Axiome verwenden!
wenn du die aussage nur mit den vektorraum axiomen beweist, kannst du diese dann natürlich verwenden, um die einzelnen aussagen zu beweisen. diese hast du dann natürlich auch unter ausschließlicher verwendung der vektorraumaxiome geziegt.
alternativ kannst du natürlich auch direkt vorgehen, siehe die antwort von HJKweseleit.
ich zeig dir jetzt mal wie ich die a) unter verwendung der angegebenen aussage
$ (1): [mm] \qquad \lambda \cdot [/mm] v = 0 [mm] \quad \Longleftrightarrow \quad (\lambda [/mm] = 0 [mm] \; \vee \; [/mm] v = 0), $
angehen würde.
[mm] $\lambda [/mm] v = v [mm] \; \Longleftrightarrow \; \lambda [/mm] v - v = 0 [mm] \; \Longleftrightarrow \; \lambda [/mm] v - 1 v = 0 [mm] \; \Longleftrightarrow \; (\lambda [/mm] - 1)v = 0 [mm] \; \stackrel{(1)}{\Longleftrightarrow} \; [(\lambda [/mm] - 1) = 0 [mm] \, \vee \, [/mm] v = 0] [mm] \; \Longleftrightarrow \; [\lambda [/mm] = 1 [mm] \, \vee \, [/mm] v = 0]$.
überlege dir bei jedem schritt, was genau verwendet wurde.
grüße
andreas
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Danke Andreas...mit dieser Aussage kann man bei dieser Aufgabe echt gut arbeiten. Für b),c) und d) habe ich es jetzt auch geschafft. Und da die Aussagen äquivalent sind brauche ich ja nur eine Richtung zu zeigen. Aber bei der b) wenn ich folgende Umformung mache: [mm] \lambda*v= \lambda*w \gdw \lambda*v- \lambda*w=0 [/mm] welches Axiom verwende ich dabei?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 So 16.11.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Und da die Aussagen äquivalent sind
> brauche ich ja nur eine Richtung zu zeigen.
naja, im prinzip zeigst du einfach beide richtungen gleichzeitg.
> Aber bei der b)
> wenn ich folgende Umformung mache: [mm]\lambda*v= \lambda*w \gdw \lambda*v- \lambda*w=0[/mm]
> welches Axiom verwende ich dabei?
da verwendest du gruppenaxiome von $(V, +)$. überleg mal, welche genau.
grüße
andreas
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Dann ist es wahrscheinlich die Existenz des inversen Elementes,oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:30 Di 18.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Ja, du musst beide Richtungen zeigen oder deinen Beweis so aufbauen, dass überall das Äquivalenzzeichen steht.
Für b) sieht das so aus.
Sei [mm] \lambda [/mm] v = [mm] \lambda [/mm] w [mm] \Rightarrow
[/mm]
a) für [mm] \lambda=0: [/mm] die Gleichung stimmt, da 0*v = 0*w =0, also ist [mm] \lambda=0 [/mm] möglich
b) für [mm] \lambda \not=0: [/mm] Da [mm] \lambda \in [/mm] K und K Körper und [mm] \lambda \not=0 [/mm] existiert [mm] \lambda^{-1} \in [/mm] K, so dass
[mm] \lambda^{-1}(\lambda [/mm] v )= [mm] \lambda^{-1}(\lambda [/mm] w) (da beide Klammern identisch) [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] (\lambda^{-1}*\lambda)v [/mm] = [mm] (\lambda^{-1}*\lambda) [/mm] w (Assoziativität) [mm] \Rightarrow
[/mm]
1*v=1*w [mm] \Rightarrow
[/mm]
v=w (Unitaritätsgesetz)
also insgesamt: [mm] \lambda=0 [/mm] oder v=w
----------------------------------------------
Sei nun [mm] \lambda=0 [/mm] oder v=w [mm] \Rightarrow
[/mm]
a) für [mm] \lambda=0, [/mm] v und w beliebig: [mm] \lambda [/mm] v [mm] =0*v=0=0*w=\lambda [/mm] w,
also [mm] \lambda [/mm] v [mm] =\lambda [/mm] w
b) für v=w: [mm] \lambda [/mm] v [mm] =\lambda [/mm] w, da v und w identisch
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