Aussage wahr/falsch < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Mi 29.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Ist dei folgende Aussage richtig?
Ist f:X [mm] \to [/mm] y; g:Y [mm] \to [/mm] Z und existiert [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}}=y_{0} [/mm] sowie [mm] \limes_{y\rightarrow y_{0}} [/mm] g(y), so existiert auch [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} [/mm] g [mm] \circ [/mm] f(x).
Beweisen Sie die Aussage oder konstruieren Sie ein Gegenbeispiel. |
Hallo zusammen^^
Ich habe die Aussage anhand eines Beispiels überprüft und die Aussage stimmt denke ich.
Also ich habe folgendes genommen:
[mm] f:\IR \to \IR^{+}, [/mm] x [mm] \to e^{x}, g:\IR^{+} \to \IR, [/mm] y [mm] \to [/mm] ln(y)
Dann git: [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] f(x)=1, [mm] \limes_{y\rightarrow 1} [/mm] g(y)=0
Und es ist g [mm] \circ f(x)=ln(e^{x})=x [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow 0}=0.
[/mm]
Da ich kein Gegenbeispiel gefunden habe, vermute ich mal, dass die Aussage stimmt.
Andrerseits vermute ich,dass die Aussage nicht stimmt, denn sonst könnte die Aufgabenstellung auch einfach lauten: Beweisen Sie.... .
Was meint ihr?
Vielen Dank
lg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Mi 29.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ist dei folgende Aussage richtig?
>
> Ist f:X [mm]\to[/mm] y; g:Y [mm]\to[/mm] Z und existiert
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}=y_{0}[/mm] sowie
Da soll wohl [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=y_{0}[/mm] stehen.
> [mm]\limes_{y\rightarrow y_{0}}[/mm] g(y), so existiert auch
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}[/mm] g [mm]\circ[/mm] f(x).
>
> Beweisen Sie die Aussage oder konstruieren Sie ein
> Gegenbeispiel.
> Hallo zusammen^^
>
> Ich habe die Aussage anhand eines Beispiels überprüft und
> die Aussage stimmt denke ich.
>
> Also ich habe folgendes genommen:
>
> [mm]f:\IR \to \IR^{+},[/mm] x [mm]\to e^{x}, g:\IR^{+} \to \IR,[/mm] y [mm]\to[/mm]
> ln(y)
>
> Dann git: [mm]\limes_{x\rightarrow 0}[/mm] f(x)=1,
> [mm]\limes_{y\rightarrow 1}[/mm] g(y)=0
>
> Und es ist g [mm]\circ f(x)=ln(e^{x})=x[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}=0.[/mm]
>
> Da ich kein Gegenbeispiel gefunden habe, vermute ich mal,
> dass die Aussage stimmt.
> Andrerseits vermute ich,dass die Aussage nicht stimmt,
> denn sonst könnte die Aufgabenstellung auch einfach
> lauten: Beweisen Sie.... .
>
> Was meint ihr?
Die Aussage stimmt. Beweide sie also ! Am einfachsten gehts mit dem Folgenkriterium
FRED
>
> Vielen Dank
> lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:38 Mi 29.06.2011 | | Autor: | Mousegg |
Hallo,
ich mache grade die selbe Aufgabe und ich hoffe ich darf hier kurz nachfragen.
Hatte folgenden Ansatz von dem ich nicht sicher bin ob er so korrekt ist.
[mm] g(y_{0})=g(\limes_{x\rightarrow\x_{0}} f(x))=\limes_{x\rightarrow\ x_{0} } g(f(x))=\limes_{x\rightarrow\ x_{0} } [/mm] g [mm] \circ [/mm] f(x)
Ich vermute das dass zweite Gleciheitszeichen nicht unbedingt stimmt finde aber kein Gegenbeispiel.
Kann mir hier vielleicht jemand helfen.
vielen dank
|
|
|
| |
|
Moin Mousegg,
> Hallo,
> ich mache grade die selbe Aufgabe und ich hoffe ich darf
> hier kurz nachfragen.
> Hatte folgenden Ansatz von dem ich nicht sicher bin ob er
> so korrekt ist.
>
> [mm]g(y_{0})=g(\limes_{x\rightarrow\x_{0}} f(x))=\limes_{x\rightarrow\ x_{0} } g(f(x))=\limes_{x\rightarrow\ x_{0} }[/mm] g [mm]\circ[/mm] f(x)
>
> Ich vermute das dass zweite Gleciheitszeichen nicht
> unbedingt stimmt finde aber kein Gegenbeispiel.
Das zweite Gleichheitszeichen ist zu zeigen und mit einfach nur hinschreiben ist es da nicht getan.
fred97 sagte schon: Am einfachsten geht es mit dem Folgenkriterium.
Nimm dir also eine beliebige Folge [mm] (x_n) [/mm] innerhalb des Definitionsbereichs mit [mm] x_n\to x_0 [/mm] (woraus folgt [mm] f(x_n)\to y_0 [/mm] für [mm] n\to\infty).
[/mm]
Was folgt dann für die Folge [mm] g(f(x_n)) [/mm] ?
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 Do 30.06.2011 | | Autor: | Mousegg |
Hallo kamaleonti ,
Eigentlich weiß ich dass für beliebige Folge [mm] x_{n} [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = [mm] x_{0} [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}) [/mm] = [mm] y_{0} [/mm] schon nach Vorausseztzung.
Da für jede beliebige Folge [mm] x_{n} [/mm] die gegen [mm] y_{0} [/mm] konvergieren [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} g(x_{n}) [/mm] = [mm] z_{0} [/mm] gilt, gilt auch
da [mm] f(x_{n}) [/mm] eine gegen [mm] y_{0} [/mm] konvergente Folge ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} g(f(x_{n})) \gdw \limes_{x\rightarrow\ x_{0}} [/mm] g(f(x)).
Hoffe das ist so richtig danke für den Tipp der hat mich gerettet :)
|
|
|
| |
|
Hallo Mousegg,
> Hallo kamaleonti ,
> Eigentlich weiß ich dass für beliebige Folge [mm]x_{n}[/mm] mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}[/mm] = [mm]x_{0}[/mm] [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})[/mm] = [mm]y_{0}[/mm] schon nach Vorausseztzung.
> Da für jede beliebige Folge [mm]x_{n}[/mm] die gegen [mm]y_{0}[/mm]
> konvergieren [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} g(x_{n})[/mm] = [mm]z_{0}[/mm] gilt, gilt auch da [mm]f(x_{n})[/mm] eine gegen [mm]y_{0}[/mm] konvergente Folge ist
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} g(f(x_{n})) \gdw \limes_{x\rightarrow\ x_{0}}[/mm] [mm] g(\blue{y_0}).
[/mm]
Stimmt so!
>
> Hoffe das ist so richtig danke für den Tipp der hat mich
> gerettet :)
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Do 30.06.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo ihr,
> > Eigentlich weiß ich dass für beliebige Folge [mm]x_{n}[/mm]
> mit
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}[/mm] = [mm]x_{0}[/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})[/mm] = [mm]y_{0}[/mm] schon nach
> Vorausseztzung.
> > Da für jede beliebige Folge [mm]x_{n}[/mm] die gegen [mm]y_{0}[/mm]
> > konvergieren [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} g(x_{n})[/mm] = [mm]z_{0}[/mm]
Wie willst du denn [mm] g(x_{n}) [/mm] berechnen? [mm] x_{n} [/mm] ist doch eine Folge aus X und g geht von Y nach Z.
> gilt, gilt auch da [mm]f(x_{n})[/mm] eine gegen [mm]y_{0}[/mm] konvergente
> Folge ist
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} g(f(x_{n})) \gdw \limes_{x\rightarrow\ x_{0}}[/mm]
> [mm]g(\blue{y_0}).[/mm]
> Stimmt so!
Ich versteh das nicht ganz. Auf der linken Seite geht n gegen [mm] \infty [/mm] und auf der rechten gegen [mm] x_{0}. [/mm] Wieso gilt dann Äquivalenz?
> > Hoffe das ist so richtig danke für den Tipp der hat mich
> > gerettet :)
>
> LG
Vielen Dank
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Do 30.06.2011 | | Autor: | WWatson |
Moin, Mandy,
zunächst mal hast Du Recht, es muss natürlich [mm] g(y_{n}) [/mm] heißen, ist wohl ein Tippfehler von Mousegg gewesen.
Ich versuche nochmal, kurz die Idee bei Mouseggs Beweis zu erklären.
Wir wählen zu Anfang eine Folge [mm] (x_{n}) [/mm] mit [mm] x_{n} [/mm] -> [mm] x_{0}. [/mm] Weiterhin wählen wir eine Folge [mm] (y_{n}) [/mm] aus Y derart, dass [mm] y_{n} [/mm] -> [mm] y_{0}.
[/mm]
Wir wissen jetzt durch die Voraussetzung, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} g(y_{n}) [/mm] =: [mm] z_{0} [/mm] gilt. Nun ist aber [mm] f(x_{n}) [/mm] gerade eine Folge, die für n -> [mm] \infty [/mm] ebenfalls gegen [mm] y_{0} [/mm] konvergiert nach Wahl der [mm] x_{n} [/mm] und der Voraussetzung, dass [mm] \limes_{y\rightarrow\ y_{0}}, [/mm] den wir oben als [mm] z_{0} [/mm] definiert haben, existiert. Damit folgt, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} g(f(x_{n}) [/mm] existiert. Da [mm] x_{n} [/mm] jetzt aber eine beliebige Folge mit [mm] x_{n} [/mm] -> [mm] x_{0} [/mm] war, folgt, dass [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}} [/mm] g [mm] \circ [/mm] f (x) existiert.
Hoffe, das hat Dir noch etwas geholfen.
Gruß,
WWatson
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:21 So 03.07.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hey WWatson,
danke dir. Ich denke ich habs jetzt verstanden.
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 Do 30.06.2011 | | Autor: | jrgenmathe |
Hallo,
ich würde sagen, dass die aussage nicht korrekt ist.
such dir zwei abbildungen, die als komposition keine stetige abbildung ergeben (also mindestens eine der beiden muss unstetig sein ) und betrachte den limes von unten gegen 0 und von oben .
|
|
|
|
