Aussage über implizite Fkt. < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0. [/mm] Für [mm] x,y,z\not=0 [/mm] sind alle partiellen Ableitungen [mm] \not=0. [/mm] Lokal gilt: z=z(x,y), x=x(y,z), y=y(x,z)
Zeige: [mm] \bruch{\partial z}{\partial x}*\bruch{\partial x}{\partial y}*\bruch{\partial y}{\partial z}=-1. [/mm] Dies gilt allgemein für implizite Funktionen. |
Ich habe mir überlegt die Kettenregel anzuwenden um das allgemein zu zeigen aber das hat irgendwie nicht hingehauen. Hat jemand von euch evt. noch eine andere Idee um diese Gleichheit zu zeigen?
Lg,
Tsetsefliege
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Moin Tsetsefliege,
> Sei [mm]F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0.[/mm] Für [mm]x,y,z\not=0[/mm] sind alle
> partiellen Ableitungen [mm]\not=0.[/mm] Lokal gilt: z=z(x,y),
> x=x(y,z), y=y(x,z)
> Zeige: [mm]\bruch{\partial z}{\partial x}*\bruch{\partial x}{\partial y}*\bruch{\partial y}{\partial z}=-1.[/mm]
> Dies gilt allgemein für implizite Funktionen.
> Ich habe mir überlegt die Kettenregel anzuwenden um das
> allgemein zu zeigen aber das hat irgendwie nicht
> hingehauen. Hat jemand von euch evt. noch eine andere Idee
> um diese Gleichheit zu zeigen?
Aus dem Satz über implizite Funktionen folgt, wenn [mm] g_z(x,y) [/mm] die Funktion F lokal nach z in einem Punkt [mm] P\neq0 [/mm] auflöst:
[mm] Dg_z(x,y)=-\left(\frac{\partial F(x,y,g_z(x,y))}{\partial z}\right)^{-1}D_{(x,y)}F(x,y,g_z(x,y))=-\frac{1}{2g_z(x,y)}\pmat{2x & 2y}=\pmat{-\frac{x}{z}&-\frac{y}{z}}
[/mm]
Die partielle Ableitung [mm] \frac{\partial z}{\partial x} [/mm] ist die erste Komponente von [mm] Dg_z(x,y). [/mm] Vollkommen analog kannst du die anderen beiden Komponenten aus obiger Gleichung berechnen.
LG
>
> Lg,
> Tsetsefliege
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Danke für deine Antwort. Die beiden anderen Komponenten müssten
[mm] \pmat{-\frac{y}{x}&-\frac{z}{x}} [/mm] und [mm] \pmat{-\frac{x}{y}&-\frac{z}{y}} [/mm] lauten, wenn ich jetzt alle drei zusammenmultipliziere kann ja nicht -1 dabei herauskommen, oder habe ich irgendwo einen Rechenfehler gemacht?
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Hallo Tsetsefliege,
> Danke für deine Antwort. Die beiden anderen Komponenten
> müssten
>
> [mm]\pmat{-\frac{y}{x}&-\frac{z}{x}}[/mm] und
> [mm]\pmat{-\frac{x}{y}&-\frac{z}{y}}[/mm] lauten, wenn ich jetzt
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> alle drei zusammenmultipliziere kann ja nicht -1 dabei
> herauskommen, oder habe ich irgendwo einen Rechenfehler
> gemacht?
Um das festzustellen, poste Deine Rechenschritte.
Gruss
MathePower
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Ich habe hier wie mit Vektoren gerechnet, und bei der Multiplikation zweier Vektoren ist das Ergenis eine Zahl, nur hier habe ich drei Vektoren.
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> Ich habe hier wie mit Vektoren gerechnet, und bei der
> Multiplikation zweier Vektoren ist das Ergenis eine Zahl, nur hier habe ich drei Vektoren.
Du musst aus den Differentialen der auflösenden Funktionen die richtigen partiellen Ableitungen raussuchen, dann siehst du die Behauptung.
LG
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Ok, also [mm] \bruch{\partial z}{\partial x} [/mm] = [mm] \bruch{-x}{z}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial x}{\partial y} [/mm] = [mm] \bruch{-y}{x}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial y}{\partial z} [/mm] = [mm] \bruch{-z}{y}
[/mm]
Dann würde -1 rauskommen, richtig?
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> Ok, also [mm]\bruch{\partial z}{\partial x}[/mm] = [mm]\bruch{-x}{z}[/mm]
> [mm]\bruch{\partial x}{\partial y}[/mm] = [mm]\bruch{-y}{x}[/mm]
> [mm]\bruch{\partial y}{\partial z}[/mm] = [mm]\bruch{-z}{y}[/mm]
>
> Dann würde -1 rauskommen, richtig?
Richtig! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
LG
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