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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Sa 24.05.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Zeige, dass die folgende Aussage falsch(!) ist.
Sei [mm] $A\neq \emptyset$ [/mm] und [mm] $x\neq \emptyset$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] A$, dann existiert ein B so, dass für jedes [mm] $x\in [/mm] A$ die Menge [mm] $x\cap [/mm] B$ genau ein Element besitzt. Gibt es endliche Gegenbeispiele A? Welche Größe? |
Hi, ich würde gerne diese Aufgabe lösen.
Also erstmal zum Verständnis. Die Menge A ist ja eine Menge von Mengen (x ist eine Menge) und ich soll nun zeigen, bzw. widerlegen, dass es immer eine Menge B gibt so, dass jeder Schnitt mit den Elementen der Menge A (also jeweils selbst wieder Mengen) genau ein Element enthält.
Gibt es endliche Gegenbeispiele A? Welche Größe?
Für diese Frage habe ich mir folgendes überlegt.
Nein, es geht nicht.
Wenn wir uns eine endliche Menge A vorstellen, die Mengen als Elemente hat, dann können diese Mengen untereinander disjunkt sein, oder eben nicht. So kann man sie dann erstmal vergleichen.
Wenn sie Disjunkt sind, dann konstruiert die Menge so, dass sie aus jeder Menge genau ein Element enthält. Wenn ich B dann mit jedem Element von A schneide, dann ist im Schnitt immer genau ein Element.
Sind die Mengen untereinander nicht disjunkt, dann kann ich die Elemente von A selber erst schneiden und B dann als Schnitt dieser Menge angeben. Wobei B dann nur ein beliebiges Element dieses Schnitts enthält.
Haben wir eine Kombination von Mengen die zueinander sowohl disjunkt und nicht disjunkt sind z.B.
[mm] $A:=\{\{1\},\{1,2\},\{3\}\}$
[/mm]
Dann würde ich sagen, dass man die Menge B so konsturieren kann, dass man erst alle Mengen untereinander schneidet und die Schnitte ebenfalls vergleicht. Wenn man dann einen "allgemeinen" Schnitt hat, kann man daraus wieder ein Element auswählen. Von den untereinander disjunkten Mengen nimmt man dann jeweils genau ein Element und packt es in die Menge B.
Dies sollte auch im unendlichen nicht gehen, weil es dann nicht möglich ist eine solche Menge zu konstruieren.
Versteht ihr wie ich das meine? Ich glaube ich habe mich etwas unklar ausgedrückt, beim nächsten mal versuche ich es dann etwas präziser zu formulieren, wenn es so nicht klar genug ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Sa 24.05.2014 | | Autor: | hippias |
Ich finde deine Idee ganz gut (schon weil ich in etwa den gleichen Gedanken hatte ). Zu deinem $A$ jedoch hat ja z.B. $B= [mm] \{1,3\}$ [/mm] die geforderte Durchschnittseigenschaft. Ich kann ein $A$ mit $3$ Elementen angeben, bei dem es kein solches $B$ gibt.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:33 Sa 24.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Das ist doch schon einmal gut zu hören. :)
Du hast recht mit deinem Beispiel, aber hier
"Dann würde ich sagen, dass man die Menge B so konsturieren kann, dass man erst alle Mengen untereinander schneidet und die Schnitte ebenfalls vergleicht. Wenn man dann einen "allgemeinen" Schnitt hat, kann man daraus wieder ein Element auswählen. Von den untereinander disjunkten Mengen nimmt man dann jeweils genau ein Element und packt es in die Menge B. "
habe ich ja im Grunde eine Möglichkeit beschrieben wie man eine solche Menge konstruieren kann.
Also die Menge B={1,3} entsteht ja gerade so. Ich schneide zu erst alle Mengen mit einander, dann habe ich {1} und [mm] \emptyset. [/mm] Von der Disjunkten Menge (hier die 3) nehme ich ein Element und packe es in die Menge B, was eben nur die 3 sein kann. Also B={1,3}
Leider habe ich mich jetzt ein wenig selber verwirrt, weil das sollte im endlichen eigentlich ja immer gehen, nur im unendlichen sollte soetwas nicht möglich sein, da man keine Möglichkeit mit endlich vielen Schritten angeben kann wie man eine solche Menge konstruieren kann.
(Edit: Hatte beim schreiben irgendwie vergessen was ich zeigen wollte, nämlich das es keine endlichen Gegenbeispiele geben kann, weil ich immer eine Menge auf obige Weise konstruieren kann. Meine Verwirrung hat sich also aufgelöst.)
Auch die Menge A={{1}} und B={1} wäre ja schon eine Menge für die es klappen würde.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 So 25.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Also endliche Gegenbeispiele sollte es nicht geben.
Und im unendlichen dürfte es nicht mehr funktionieren, weil man die Menge B nicht mehr unbedingt konstruieren kann, aber wie kann ich dies beweisen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 So 25.05.2014 | | Autor: | hippias |
Betrache $A= [mm] \{x\subseteq \IN|1\in x\}\cup\{\{2\}\}$. [/mm] Dann ist $A$ unendlich, aber trotzdem gibt es kein passendes $B$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 So 25.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Das es im unendlichen möglich ist habe ich ja auch nicht behauptet, oder verstehe ich deinen Beitrag mit dem Beispiel gerade falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:31 Mo 26.05.2014 | | Autor: | hippias |
Vermutlich reden wir aneinander vorbei. Jedenfalls haben wir Gegenbeispiele $A$, sowohl endlich als auch unendlich, gefunden, dass ein solches $B$ nicht existiert. Mehr ist wohl nicht zu tun.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Mo 26.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Kann gut sein, dass wir aneinander vorbei reden.
Aber wir haben doch kein Beispiel angegeben, dass es eine solche Menge B im endlich nicht gibt. Die Menge B mit dieser eigenschaft sollte sich im endlichen immer konstruieren lassen.
Nur im unendlich geht es schief, wobei ich das noch nicht so ganz verstanden habe.
Du hast die Menge betrachtet welche alle Teilmengen der natürlichen Zahlen nimmt, welche die 1 enthält und dann mit {{2}} vereinigt.
Warum gibt es hier kein geeignetes B? Wo liegt die Begründung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:46 Di 27.05.2014 | | Autor: | hippias |
Doch, in meiner ersten Mitteilung habe ich ein $A$ mit $3$ Elementen versprochen. Du kannst ein solches konstruieren, indem Du Dein Beispiel aus Deiner ersten Mitteilung nur leicht abaenderst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:40 Di 27.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Ah, wenn ich die Menge
[mm] $A=\{\{1\},\{3\},\{1,2,3\}\}$
[/mm]
betrachte, dann gibt es kein B so, dass wenn ich es mit allen Elementen von A schneide nur ein Element enthält.
Denn diese Menge muss auf jeden Fall auch Elemente 1, 3 enthalten, womit der Schnitt mit [mm] $\{1,2,3\}\cap [/mm] B$ auf jeden Fall immer 2 Elemente enthält.
Dies ist auch die minimale Anzahl an Elementen für die es klappt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Di 27.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ah, wenn ich die Menge
>
> [mm]A=\{\{1\},\{3\},\{1,2,3\}\}[/mm]
>
> betrachte, dann gibt es kein B so, dass wenn ich es mit
> allen Elementen von A schneide nur ein Element enthält.
> Denn diese Menge muss auf jeden Fall auch Elemente 1, 3
> enthalten, womit der Schnitt mit [mm]\{1,2,3\}\cap B[/mm] auf jeden
> Fall immer 2 Elemente enthält.
> Dies ist auch die minimale Anzahl an Elementen für die es
> klappt.
Richtig
FRED
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(Frage) überfällig | | Datum: | 11:34 Di 27.05.2014 | | Autor: | YuSul |
"Betrache $ A= [mm] \{x\subseteq \IN|1\in x\}\cup\{\{2\}\} [/mm] $. Dann ist $ A $ unendlich, aber trotzdem gibt es kein passendes $ B $. "
Und woran genau sieht man es, dass es hier kein passendes B gibt?
Also das es bei unendlichen Mengen eigentlich unmöglich ist ein endliches B anzugeben ist ja irgendwo klar und das es auch für ein unendliches B keinen Sinn macht ist eigentlich auch klar, aber da gibt es doch bestimmt eine bessere Begründung.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 20:31 Di 27.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Für diese Menge sollte es keine passendes B geben, da sie alle Teilmengen der natürlichen Zahlen enthält und dann noch vereinigt mit der einelementigen Menge die die Menge mit der zwei enthält. Also in etwa so:
[mm] $A=\{\{1\},\{2\},\{1,2\},...,\}$
[/mm]
Das B muss dann aus den Elementen [mm] $\{1,2\}$ [/mm] bestehen, aber damit klappt es nicht, weil die Menge [mm] $\{1,2\}$ [/mm] selbst wieder ein Element der Menge A ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Do 29.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Do 29.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mo 26.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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