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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:52 Fr 21.10.2005 | | Autor: | denwag |
Hallo, wollte nur mal das jemand das von euch korriiert, wenn ich etwas falsch habe.seit bitte so nett.
Aufgabe:
Man drücke die folgenden Aussagen in Worten aus und ersetze sie jeweils durch ihre Negation, falls sie falsch sein sollte.
i. [mm] \forall [/mm] m [mm] \in \IN \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : [m > n [mm] \Rightarrow \exists [/mm] l [mm] \in \IN [/mm] : m = n + l],
ii. [mm] \exists [/mm] m, n [mm] \in \IN [/mm] : (m [mm] \not= [/mm] n) [mm] \wedge (m^{n} [/mm] = [mm] n^{m}).
[/mm]
Meine Lsg.:
i. Alle m sind Elemente der natürlichen Zahlen und alle n sind Elemente der natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft m ist größer als n, daraus folgt, dass es ein Element l gibt aus den natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft, m ist gleich n addiert mit l.
Ich weiß aber nicht ob es wahr oder unwahr ist. Kann mir jemand helfen und die aussage wahr machen falls sie unwahr ist.
ii. Es gibt ein m und ein n aus den natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft m darf nicht gleich n sein und m hoch n ist gleich n hoch m.
Beweis: m=1, n=2.
dann ist m [mm] \not= [/mm] n ( 1 [mm] \not= [/mm] 2 ) wahre aussage
aber [mm] m^{n} [/mm] = [mm] n^{m} [/mm] ( [mm] 1^{2} [/mm] = [mm] 2^{1} [/mm] )
( 1 = 2 ) dies ist eine falsche aussage. [mm] \Box
[/mm]
also richtig:
[mm] \exists [/mm] m, n [mm] \in \IN [/mm] : (m [mm] \not= [/mm] n) [mm] \wedge (m^{n} \not= n^{m}) [/mm] oder
[mm] \exists [/mm] m, n [mm] \in \IN [/mm] : (m = n) [mm] \wedge (m^{n} [/mm] = [mm] n^{m}).
[/mm]
Würde mich freuen wenn jemand mal rüber guckt und mir sagen kann ob es richig ist. hoffentlich kann man mir auch bei i helfen.
vielen dank schon mal im vorraus.
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Hallo Denis!
> Aufgabe:
> Man drücke die folgenden Aussagen in Worten aus und
> ersetze sie jeweils durch ihre Negation, falls sie falsch
> sein sollte.
> i. [mm]\forall[/mm] m [mm]\in \IN \forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] : [m > n
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] l [mm]\in \IN[/mm] : m = n + l],
> ii. [mm]\exists[/mm] m, n [mm]\in \IN[/mm] : (m [mm]\not=[/mm] n) [mm]\wedge (m^{n}[/mm]
> = [mm]n^{m}).[/mm]
>
> Meine Lsg.:
> i. Alle m sind Elemente der natürlichen Zahlen und alle n
> sind Elemente der natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft m
> ist größer als n, daraus folgt, dass es ein Element l gibt
> aus den natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft, m ist
> gleich n addiert mit l.
Ich würde ruhig etwas näher an der "wörtlichen Übersetzung" bleiben und sagen: Für alle m aus [mm] \IN [/mm] und alle n aus [mm] \IN [/mm] gilt: Wenn m größer n ist, dann existiert ein l, so dass gilt: m=n+l.
Deine Formulierung ist etwas seltsam - "alle m sind Elemente der natürlichen Zahlen" macht nicht so wirklich Sinn, sondern die Aussage, die gemacht wird, soll gelten für alle m, die nur natürliche Zahlen sind.
> Ich weiß aber nicht ob es wahr oder unwahr ist. Kann mir
> jemand helfen und die aussage wahr machen falls sie unwahr
> ist.
Na, das ist doch aber wirklich einfach. Überleg doch mal, was es bedeutet, dass m>n ist - gibt es dann ein solches l?
> ii. Es gibt ein m und ein n aus den natürlichen Zahlen mit
> der Eigenschaft m darf nicht gleich n sein und m hoch n ist
> gleich n hoch m.
Hier würde ich es so formulieren: Es existieren zwei verschiedene natürliche Zahlen m und n, sodass [mm] m^n=n^m [/mm] gilt.
"m darf nicht gleich n sein" ist wieder etwas seltsam - die Aussage wird einfach gemacht dafür, dass m nicht gleich n ist.
> Beweis: m=1, n=2.
> dann ist m [mm]\not=[/mm] n ( 1 [mm]\not=[/mm] 2 ) wahre aussage
> aber [mm]m^{n}[/mm] = [mm]n^{m}[/mm] ( [mm]1^{2}[/mm] = [mm]2^{1}[/mm] )
> ( 1 = 2 ) dies ist
> eine falsche aussage. [mm]\Box[/mm]
Das verstehe ich nicht - ist diese Aussage jetzt bewiesen oder wieso machst du da ein [mm] \Box [/mm] hinter? Dein Beispiel ist doch offensichtlich falsch - womit die Aussage weder bewiesen noch widerlegt ist. Wenn du die Aussage beweisen willst, musst du Zahlen angeben, so dass es stimmt - möchtest du es widerlegen, so musst du zeigen, dass es überhaupt keine solchen zwei Zahlen gibt. (Es ist ja hier eine Existenzaussage.)
> also richtig:
> [mm]\exists[/mm] m, n [mm]\in \IN[/mm] : (m [mm]\not=[/mm] n) [mm]\wedge (m^{n} \not= n^{m})[/mm]
> oder
> [mm]\exists[/mm] m, n [mm]\in \IN[/mm] : (m = n) [mm]\wedge (m^{n}[/mm] =
> [mm]n^{m}).[/mm]
Das verstehe ich auch nicht. Aber probier es doch mal mit den Zahlen 2 und 4 - nur so als kleiner Tipp. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:37 Sa 22.10.2005 | | Autor: | denwag |
zu i. danke für den tipp.
gehe ich recht der annahme,dass die aussage i. wahr ist?
m=2 > n=1
m=n+l
m=1+l
also muss l=1 sein und die aussage ist wahr.
richtig?
danke schön.
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Hallo!
> zu i. danke für den tipp.
> gehe ich recht der annahme,dass die aussage i. wahr ist?
> m=2 > n=1
>
> m=n+l
> m=1+l
>
> also muss l=1 sein und die aussage ist wahr.
>
> richtig?
Naja, also nicht ganz. Was ist denn, wenn m=5 und n=1? Dann ist auch m>n und es gibt auch ein l, so dass m=n+l, aber in diesem Fall ist dann l=4 und nicht l=1. Aber die Aussage ist natürlich wahr.  Nur die Begründung, dass l=1 sein muss, stimmt nicht, und sowieso suchst du dir ja hier nur zwei Zahlen aus - es hieß ja aber, dass es für alle natürlichen m und n gilt. Aber das ist natürlich genauso wahr - denn egal wie groß die Zahlen sind, wenn eine Zahl größer ist als die andere, dann gibt es natürlich eine Zahl l, und zwar ist l ganz allgemein m-n. Ist doch eigentlich logisch, oder?
Viele Grüße und gute Nacht
Bastiane
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:53 Sa 22.10.2005 | | Autor: | denwag |
Vielen Dank nochmal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:07 Sa 22.10.2005 | | Autor: | denwag |
so hab leider noch eine frage, und zwar hab ich jetzt heraus bekommen (aufgabe ii), das auch bsp. für n=7 und m=1 usw. es eine wahre aussage gibt. wie kann ich es allgem. für alle n und m aufschreiben?
danke nochmals, ist nicht so mein ding (mathematik)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Nein, für $n=7$ und $m=1$ ergibt sich eine falsche Aussage, denn es ist [mm] $1^7 [/mm] = 1 [mm] \ne [/mm] 7 = [mm] 7^1$.
[/mm]
Das macht aber nichts, denn es war ja eine reine Existenzaussage, und Bastiane hat dir ja ein Beispiel angegeben, für das es klappt, nämlich $n=2$ und $m=4$. Und in der Tat gilt:
[mm] $2^4=16=4^2$.
[/mm]
Damit darfst du also (in Worten) behaupten:
Es gibt zwei ungleiche natürlichen Zahlen $n$ und $m$, für die [mm] $n^m$ [/mm] gleich [mm] $m^n$ [/mm] ist.
Das war's.
Liebe Grüße
Stefan
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