Aussage < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 So 31.03.2013 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Zeigen oder widerlegen sie folgende Aussage:
[mm] $\sum_{k=0}^{\infty}\left( \frac{k^2}{2^k} \right) [/mm] = O(1)$ |
Hi Leute!
Bin ich es für obere Schrank im O-Kalkül gewöhnt, dass ich die Funktion auf der linken Seite geteilt durch die Funktion innerhalb des O-Kalküls auf der rechten Seite Teil und darüber den limes für n gegen unendlich bilde und diese Wert dann gegenüber einem c abschätze. Also quasi so:
[mm] $\lim_{n\to \infty} \left( \frac{g(n)}{f(n)} \right) \leq [/mm] c$ mit $c [mm] \in \mathbb [/mm] R^+$
Hier ist das aber nun nicht möglich, weil mein g(n), also die linke Seite eine Summenformel ist! Wie kann ich also diese Summenformel in einer Funktion ausdrücken? Welcher Summenterm liegt hinter dieser Summe?
Kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 So 31.03.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen oder widerlegen sie folgende Aussage:
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> [mm]\sum_{k=0}^{\infty}\left( \frac{k^2}{2^k} \right) = O(1)[/mm]
Steht da vielleicht: [mm]\sum_{k=0}^{n}\left( \frac{k^2}{2^k} \right) = O(1)[/mm] (n [mm] \to \infty) [/mm] ?
Wenn ja, so ist die Aussage trivial, denn die Folge [mm] (\sum_{k=0}^{n}\left( \frac{k^2}{2^k} \right) [/mm] ) ist konvergent, also beschränkt.
FRED
>
> Hi Leute!
>
> Bin ich es für obere Schrank im O-Kalkül gewöhnt, dass
> ich die Funktion auf der linken Seite geteilt durch die
> Funktion innerhalb des O-Kalküls auf der rechten Seite
> Teil und darüber den limes für n gegen unendlich bilde
> und diese Wert dann gegenüber einem c abschätze. Also
> quasi so:
>
> [mm]\lim_{n\to \infty} \left( \frac{g(n)}{f(n)} \right) \leq c[/mm]
> mit [mm]c \in \mathbb R^+[/mm]
>
>
> Hier ist das aber nun nicht möglich, weil mein g(n), also
> die linke Seite eine Summenformel ist! Wie kann ich also
> diese Summenformel in einer Funktion ausdrücken? Welcher
> Summenterm liegt hinter dieser Summe?
>
> Kann mir jemand helfen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 So 31.03.2013 | | Autor: | bandchef |
Nein, [mm] $n\to\infty$ [/mm] steht da leider nicht. Ich hab euch die Aufgabe 100%ig so übertragen wie sie auf meinem Blatt steht!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 So 31.03.2013 | | Autor: | bandchef |
Ähm, aber auch wenn die Folge nun so da steht, wie sie eben in der Aufgabe steht, ist die Folge doch eine Nullfolge und so konvergent. Weshalb ich doch nun so argumentieren könnte:
[mm] $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2^k}\cdot k^2\right)}{1} \right) \leq [/mm] c [mm] \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty}\left( \frac{0}{1} \right) \leq [/mm] c$ mit $c [mm] \in \mathbb [/mm] R^+$ ist die Aussage richtig, da [mm] $\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{k^2}{2^k}\right)$ [/mm] eine Nullfolge ist und so die obere Schrank.
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 So 31.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ähm, aber auch wenn die Folge nun so da steht, wie sie
> eben in der Aufgabe steht, ist die Folge doch eine
> Nullfolge und so konvergent. Weshalb ich doch nun so
> argumentieren könnte:
>
> [mm]\lim_{n \to \infty} \left( \frac{\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2^k}\cdot k^2\right)}{1} \right) \leq c \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty}\left( \frac{0}{1} \right) \leq c[/mm]
> mit [mm]c \in \mathbb R^+[/mm] ist die Aussage richtig, da
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{k^2}{2^k}\right)[/mm] eine
> Nullfolge ist und so die obere Schrank.
>
> Stimmt das so?
nein, da steht einiges an Unsinn:
Bei
[mm] $$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{\sum_{k=0}^{\red{\infty}}\left(\frac{1}{2^k}\cdot k^2\right)}{1} \right) [/mm] $$
ist [mm] $\red{\infty}$ [/mm] durch [mm] $n\,$ [/mm] zu ersetzen - was macht das sonst für einen
Sinn?
Und wenn [mm] $\sum_k a_k$ [/mm] konvergiert, so folgt nur [mm] $a_n \to [/mm] 0$ ($n [mm] \to \infty$), [/mm] i.a. gilt
[mm] $$(\*)\;\;\;\;\;\;\sum_{k=0}^\infty a_k \not=0\,.$$
[/mm]
Übrigens: Erst einmal steht "die Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$" [/mm] nur als Abkürzung für
die Folge [mm] $(s_n)_n$ [/mm] mit [mm] $s_n:=\sum_{k=0}^n a_k\,.$
[/mm]
Und falls diese Folge [mm] $(s_n)_n$ [/mm] (also "die Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$")
[/mm]
auch konvergiert, d.h. es existiert [mm] $s:=\lim_{n \to \infty}s_n\,,$
[/mm]
dann schreibt man auch [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k:=s\,.$
[/mm]
Das Symbol [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] kann also zwei Bedeutungen haben:
1. Die obige Folge [mm] $(s_n)_n$.
[/mm]
2. Der Grenzwert von obiger Folge [mm] $(s_n)_n\,,$ [/mm] falls diese konvergiert,
also
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty a_k=\lim_{m \to \infty}\sum_{k=0}^m a_k\,.$$
[/mm]
Deine Behauptung, dass jede konvergente Reihe gegen Null konvergiert,
ist totaler Unsinn:
[mm] $$\sum_{k=2}^\infty \tfrac{1}{k*(k-1)}$$ [/mm]
konvergiert gegen was?
Und wenn Du Freds Antwort nochmal richtig liest, dann siehst Du, dass er
auch anders, und zwar vernünftig, argumentiert. Er benutzt, dass jede
konvergente Folge insbesondere beschränkt ist (kennst Du den Beweis
dazu; oder willst Du ihn selbst probieren?)!
P.S. Zur Übung schreibe mal den unten stehenden Satz ausführlich auf,
indem Du die beiden Bedeutungen von [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] benutzt - anstatt von [mm] $(s_n)_n$ [/mm] kannst
Du auch einfach von "der Folge der Teilsumme der Reihe" sprechen.
Jetzt der zu übersetzende:
Satz: Die Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] sei konvergent, ihr Grenzwert heiße [mm] $R\,.$
[/mm]
Das bedeutet, dass die Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] gegen [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k\;\;\;(=R)$ [/mm] konvergiert.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 So 31.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Nein, [mm]n\to\infty[/mm] steht da leider nicht. Ich hab euch die
> Aufgabe 100%ig so übertragen wie sie auf meinem Blatt
> steht!
die Notation [mm] $f=O(g)\,$ [/mm] (bzw. $f [mm] \in [/mm] O(g)$) macht nur Sinn, wenn man weiß, "was da gegen was" laufen soll.
Man schreibt etwa (wobei ich hier dieses Gleichheitszeichen hasse, weil
man es besser, wie ich oben schrieb', durch ein [mm] $\in$ [/mm] ersetzt - aber in der
Informatik ist halt manches anders...)
[mm] $$f(x)=O(g(x))\,$$
[/mm]
wenn man weiß, dass dabei $x [mm] \to x_0$ [/mm] gemeint ist.
(Bei ![[]](/images/popup.gif) Wiki, Landau-Symbole steht halt [mm] $a\,$ [/mm] anstatt [mm] $x_0\,.$)
[/mm]
Ich finde die Aufgabenstellung daher alles andere als klar, daher am besten
beim Aufgabensteller nachfragen gehen. Freds Interpretation:
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty a_k [/mm] =O(1)$$
für jede konvergente Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] ist für mich hier auch
die einzig sinnvolle, denn beim Grenzwert der Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$
[/mm]
kommt ja wenigstens der Limes vor:
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty a_k=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n a_k\,.$$
[/mm]
Anders gesagt:
Mit [mm] $s_n:=s(n):=\sum_{k=0}^n a_k$ [/mm] wäre
$$s(n)=O(1) [mm] \text{ bei }n \to \infty$$
[/mm]
zu beweisen. Das ist - wie Fred sagte - trivial, wenn man weiß oder benutzen
darf, dass jede konvergente Folge beschränkt ist!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Mo 01.04.2013 | | Autor: | bandchef |
Danke für deine Antwort!
Ich antworte hiermit auf deine beiden Antworten.
So wie ich dich verstanden habe, muss ich meine gegebene Reihe mit dem limes und der Laufvariable n ersetzen, damit das so aussieht: $ [mm] \sum_{k=0}^\infty a_k=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n a_k [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n}\left( \frac{k^2}{2^k} \right)$
[/mm]
Nun muss ich prüfen, gegen welchen Wert die Reihe konvergiert, richtig?
Ich denke, ich muss zur Bestimmung des Grenzwertes eines der Kriterien benutzen, wie bspw. des Quotientenkriterium oder das Wurzelkriterium, richtig?
Wenn ich das dann gemacht hab, kann ich den berechneten Grenzwert mit gegebenen O-Kalkül in Beziehung setzen, richtig?
Edit: Ich hab nun mal das Quotientenkriterium ausgeführt und bin dabei auf diese Rechnung gekommen:
[mm] $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{a_{n+1}}{a_n} \right)=\lim_{n \to \infty} \left( \frac{\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}}{\frac{n^2}{2^n}} \right) [/mm] = ... = [mm] \frac{1}{2}\cdot\lim_{n \to \infty}\left( 1+\frac2n + \frac{1}{n^2} \right) [/mm] = [mm] \frac12 \Leftrightarrow \frac12 [/mm] = O(1)$ Behauptung ist richtig.
Noch eine Frage zur Rechnung: Wie man sehen kann, hab ich von der eigentlich gegebenen Reihe die Variable k im Quotientenkriterium zu n unbenannt. Darf ich sowas machen, oder hätte ich mit k weitermachen müssen?
Stimmt das jetzt überhaupt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:28 Di 02.04.2013 | | Autor: | bandchef |
Hi Leute!
Ich pushe ja meinen eigenen Thread ungern, aber mich würde nun schon gern interessieren, ob meine Rechnung so richtig ist.
Vielleicht kann sich ja nochmal jemand von euch dazu äußern?
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:55 Di 02.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine Antwort!
>
> Ich antworte hiermit auf deine beiden Antworten.
>
> So wie ich dich verstanden habe, muss ich meine gegebene
> Reihe mit dem limes und der Laufvariable n ersetzen, damit
> das so aussieht: [mm]\sum_{k=0}^\infty a_k=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n a_k = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n}\left( \frac{k^2}{2^k} \right)[/mm]
>
> Nun muss ich prüfen, gegen welchen Wert die Reihe
> konvergiert, richtig?
Nein, das musst Du nicht. Du musst nur untersuchen, ob die Reihe konvergiert.
Tut sie das, so ist [mm] \sum_{k=0}^n a_k [/mm] =O(1).
Das hab ich Dir aber schon gesagt.
> Ich denke, ich muss zur Bestimmung der Grenzwertes eines
> der Kriterien benutzen, wie bspw. des Quotientenkriterium
> oder das Wurzelkriterium, richtig?
Den Reihenwert musst Du nicht bestimmen !
> Wenn ich das dann gemacht hab, kann ich den berechneten
> Grenzwert mit gegebenen O-Kalkül in Beziehung setzen,
> richtig?
>
> Edit: Ich hab nun mal das Quotientenkriterium ausgeführt
> und bin dabei auf diese Rechnung gekommen:
>
> [mm]\lim_{n \to \infty} \left( \frac{a_{n+1}}{a_n} \right)=\lim_{n \to \infty} \left( \frac{\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}}{\frac{n^2}{2^n}} \right) = ... = \frac{1}{2}\cdot\lim_{n \to \infty}\left( 1+\frac2n + \frac{1}{n^2} \right) = \frac12 \Leftrightarrow \frac12 = O(1)[/mm]
> Behauptung ist richtig.
Oh mann ! Mit dem Quotientenkriterium hast Du nun gezeigt, dass [mm] (\sum_{k=0}^n a_k [/mm] ) konvergiert ( Der Reihenwert ist aber nicht = 1/2)
Damit ist [mm] (\sum_{k=0}^n a_k) [/mm] beschränkt und damit (zum 3. Mal !)
[mm] \sum_{k=0}^n a_k [/mm] =O(1)
>
> Noch eine Frage zur Rechnung: Wie man sehen kann, hab ich
> von der eigentlich gegebenen Reihe die Variable k im
> Quotientenkriterium zu n unbenannt. Darf ich sowas machen,
Ja, aber wozu ?
FRED
> oder hätte ich mit k weitermachen müssen?
>
> Stimmt das jetzt überhaupt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 Di 02.04.2013 | | Autor: | bandchef |
> Oh mann ! Mit dem Quotientenkriterium hast Du nun gezeigt, dass ) konvergiert ( Der Reihenwert ist aber nicht = 1/2)
Ok. Was hab ich dann am Quotientenkriterium falsch ausgerechnet? Was ist der wirkliche Wert gegen den die Reihe konvergiert?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:47 Di 02.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Bandchef
> > Oh mann ! Mit dem Quotientenkriterium hast Du nun gezeigt,
> dass ) konvergiert ( Der Reihenwert ist aber nicht = 1/2)
>
> Was ist der wirkliche Wert gegen den die
> Reihe konvergiert?
>
siehe "Explizite Formel".
Gruß
Kai
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:51 Di 02.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Oh mann ! Mit dem Quotientenkriterium hast Du nun gezeigt,
> dass ) konvergiert ( Der Reihenwert ist aber nicht = 1/2)
>
> Ok. Was hab ich dann am Quotientenkriterium falsch
> ausgerechnet?
Damit hast Du gezeigt, dass die Reihe konvergiert.
Was ist der wirkliche Wert gegen den die
> Reihe konvergiert?
6, wenn ich mich nicht verrechnet habe.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:55 Di 02.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hey Fred,
wie kommst Du auf 6?
Dein Rechenweg würde mich interessieren.
Ich meine, ich habe auch 6 raus, aber Du
hast es bestimmt anders gemacht?
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:53 Di 02.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hey Fred,
>
> wie kommst Du auf 6?
>
> Dein Rechenweg würde mich interessieren.
Cauchyprodukt.
> Ich meine, ich habe auch 6 raus, aber Du
> hast es bestimmt anders gemacht?
zeig wie Du es gemacht hast.
FRED
>
> Gruß
> Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:09 Di 02.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Fred,
> > wie kommst Du auf 6?
> >
> > Dein Rechenweg würde mich interessieren.
>
> Cauchyprodukt.
Aha, kannst Du da etwas genauer werden?
>
> > Ich meine, ich habe auch 6 raus, aber Du
> > hast es bestimmt anders gemacht?
>
> zeig wie Du es gemacht hast.
>
mittels Rekursion
> FRED
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:57 Di 02.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Hey Fred,
> >
> > wie kommst Du auf 6?
> >
> > Dein Rechenweg würde mich interessieren.
>
> Cauchyprodukt.
ich bin heute blind: Wie sehen bei Dir die einzelnen Faktoren aus? (Vielleicht
fällt's mir aber auch gleich selbst ein...)
Ich rechne das so:
Es gilt für $|x| < [mm] 1\,$:
[/mm]
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty k^2x^k=\sum_{k=0}^\infty (k+1)^2 x^k -2\sum_{k=0}^\infty [/mm] k [mm] x^k-\sum_{k=0}^\infty x^k$$
[/mm]
Sei [mm] $S(x):=\sum_{k=0}^\infty k^2 x^k\,,$ [/mm] so folgt also wegen [mm] $\sum_{k=0}^\infty (k+1)^2x^k=\frac{1}{x}*\sum_{k=0}^\infty (k+1)^2x^{k+1}=\frac{1}{x}*\sum_{k=1}^\infty k^2x^{k}==\frac{1}{x}*\sum_{k=0}^\infty k^2x^{k}=\frac{1}{x}*S(x)\,$ [/mm] sodann
[mm] $$S(x)=\frac{1}{x}*S(x)-2 \sum_{k=0}^\infty [/mm] k [mm] x^k-\frac{1}{1-x}\,.$$
[/mm]
Bleibt noch [mm] $\sum_{k=0}^\infty [/mm] k [mm] x^k$ [/mm] zu bestimmen. Dafür brauche ich hier im Folgenden
natürlich schon sowas wie "Potenzreihenkenntnisse", aber egal, ich mach's
jetzt einfach, weil ich die habe (auch, wenn der Fragesteller sie vielleicht
noch nicht hat):
(Nachträgliche Bemerkung: Ein "elementarer" Weg, der ohne Potenzreihen
auskommt, zur Berechnung des obigen Reihenwertes findet man hier (klick!) am Ende
der Mitteilung!)
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty kx^k=\sum_{k=0}^\infty (k+1)x^k-\sum_{k=0}^\infty x^k={\left(\frac{x}{1-x}\right)}'-\frac{1}{1-x}=\frac{1}{(1-x)^2}-\frac{1}{1-x}=\frac{x}{(1-x)^2}\,.$$
[/mm]
Insgesamt
[mm] $$S(x)=\frac{1}{x}*S(x)-\frac{2x}{(1-x)^2}-\frac{1}{1-x}$$
[/mm]
[mm] $$\iff S(x)*(x-1)=-\frac{2x^2}{(1-x)^2}-\frac{x*(1-x)}{(1-x)^2}$$
[/mm]
[mm] $$\iff S(x)=\frac{x*(1+x)}{(1-x)^3}$$
[/mm]
Für [mm] $x=1/2\,$ [/mm] folgt
[mm] $$S(1/2)=\frac{\tfrac{1}{2}*\tfrac{3}{2}}{1/8}=6\,.$$
[/mm]
P.S. Die Rechnungen ohne Gewähr - hatte zwischendurch schon ein paar
Rechenfehler korrigiert!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:19 Di 02.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > > Hey Fred,
> > >
> > > wie kommst Du auf 6?
> > >
> > > Dein Rechenweg würde mich interessieren.
> >
> > Cauchyprodukt.
>
> ich bin heute blind: Wie sehen bei Dir die einzelnen
> Faktoren aus? (Vielleicht
> fällt's mir aber auch gleich selbst ein...)
Hallo Marcel,
Für |x|<1 ist
[mm] (\summe_{k=0}^{\infty}x^k)^2= \bruch{1}{(1-x)^2}
[/mm]
Mit dem Cauchy produkt bekommt man andererseits
[mm] (\summe_{k=0}^{\infty}x^k)^2= \summe_{k=0}^{\infty}(k+1)x^k
[/mm]
Damit und mit nochmaligem "chauchyproduktieren" kann man
[mm] (\summe_{k=0}^{\infty}x^k)^3 [/mm] berechnen:
[mm] \bruch{1}{(1-x)^3}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{2}(k^2+3k+2)x^k)
[/mm]
Jetzt mit allem noch ein wenig rumspielen und mit x=1/2 kommt 6 raus.
FRED
>
> Ich rechne das so:
> Es gilt für [mm]|x| < 1\,[/mm]:
> [mm]\sum_{k=0}^\infty k^2x^k=\sum_{k=0}^\infty (k+1)^2 x^k -2\sum_{k=0}^\infty k x^k-\sum_{k=0}^\infty x^k[/mm]
>
> Sei [mm]S(x):=\sum_{k=0}^\infty k^2 x^k\,,[/mm] so folgt also wegen
> [mm]\sum_{k=0}^\infty (k+1)^2x^k=\frac{1}{x}*\sum_{k=0}^\infty (k+1)^2x^{k+1}=\frac{1}{x}*\sum_{k=1}^\infty k^2x^{k}==\frac{1}{x}*\sum_{k=0}^\infty k^2x^{k}=\frac{1}{x}*S(x)\,[/mm]
> sodann
> [mm]S(x)=\frac{1}{x}*S(x)-2 \sum_{k=0}^\infty k x^k-\frac{1}{1-x}\,.[/mm]
>
> Bleibt noch [mm]\sum_{k=0}^\infty k x^k[/mm] zu bestimmen. Dafür
> brauche ich hier im Folgenden
> natürlich schon sowas wie "Potenzreihenkenntnisse", aber
> egal, ich mach's
> jetzt einfach, weil ich die habe (auch, wenn der
> Fragesteller sie vielleicht
> noch nicht hat):
> [mm]\sum_{k=0}^\infty kx^k=\sum_{k=0}^\infty (k+1)x^k-\sum_{k=0}^\infty x^k={\left(\frac{x}{1-x}\right)}'-\frac{1}{1-x}=\frac{1}{(1-x)^2}-\frac{1}{1-x}=\frac{x}{(1-x)^2}\,.[/mm]
>
> Insgesamt
> [mm]S(x)=\frac{1}{x}*S(x)-\frac{2x}{(1-x)^2}-\frac{1}{1-x}[/mm]
> [mm]\iff S(x)*(x-1)=-\frac{2x^2}{(1-x)^2}-\frac{x*(1-x)}{(1-x)^2}[/mm]
>
> [mm]\iff S(x)=\frac{x*(1+x)}{(1-x)^3}[/mm]
>
> Für [mm]x=1/2\,[/mm] folgt
> [mm]S(1/2)=\frac{\tfrac{1}{2}*\tfrac{3}{2}}{1/8}=6\,.[/mm]
>
> P.S. Die Rechnungen ohne Gewähr - hatte zwischendurch
> schon ein paar
> Rechenfehler korrigiert!
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:30 Di 02.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Fred,
> > Hallo Fred,
> >
> > > > Hey Fred,
> > > >
> > > > wie kommst Du auf 6?
> > > >
> > > > Dein Rechenweg würde mich interessieren.
> > >
> > > Cauchyprodukt.
> >
> > ich bin heute blind: Wie sehen bei Dir die einzelnen
> > Faktoren aus? (Vielleicht
> > fällt's mir aber auch gleich selbst ein...)
>
> Hallo Marcel,
>
> Für |x|<1 ist
>
> [mm](\summe_{k=0}^{\infty}x^k)^2= \bruch{1}{(1-x)^2}[/mm]
>
> Mit dem Cauchy produkt bekommt man andererseits
>
> [mm](\summe_{k=0}^{\infty}x^k)^2= \summe_{k=0}^{\infty}(k+1)x^k[/mm]
>
> Damit und mit nochmaligem "chauchyproduktieren" kann man
>
>
> [mm](\summe_{k=0}^{\infty}x^k)^3[/mm] berechnen:
>
> [mm]\bruch{1}{(1-x)^3}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{2}(k^2+3k+2)x^k)[/mm]
>
> Jetzt mit allem noch ein wenig rumspielen und mit x=1/2
> kommt 6 raus.
oh cool. Ich hatte nun auch was mit dem Cauchyprodukt gerechnet. Sieht
ähnlich aus... aber irgendwie mache ich an manchen Stellen immer etwas
ein wenig umständlich ^^
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Di 02.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi nochmal,
ich hab's mir gerade mit Cauchyprodukt überlegt:
Setze für [mm] $|x|<1\,$
[/mm]
[mm] $$a_k:=k*x^k$$
[/mm]
und
[mm] $$b_k:=x^k\,.$$
[/mm]
Dann gilt für $|x| [mm] <1\,$
[/mm]
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty a_k *\sum_{k=0}^\infty b_k=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n k*x^k*x^{n-k}=\sum_{n=0}^\infty x^n \sum_{k=0}^n k=\sum_{n=0}^\infty \frac{n(n+1)}{2}x^n=\frac{1}{2}*\sum_{n=0}^\infty n^2x^n+\frac{1}{2}*\sum_{n=0}^\infty nx^n\,.$$
[/mm]
Damit sollte man das auch hinbekommen, [mm] $\sum_{n=0}^\infty n^2x^n$ [/mm] auszurechnen...
(Wobei man [mm] $\sum_{k\ge 0} kx^k=\frac{1}{x}\sum_{k \ge 0}kx^k-\sum_{k \ge 0}x^k=\sum_{k\ge 0} (k+1)x^k-\frac{1}{1-x}=\frac{1}{x}\sum_{k \ge 0}kx^k-\frac{1}{1-x}$ [/mm] zu
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty kx^k=\frac{x}{(1-x)^2}$$
[/mm]
berechnen kann! Das hätte ich auch bei der anderen Mitteilung schon so berechnen
können - und sollen.)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:43 Di 02.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Oh mann ! Mit dem Quotientenkriterium hast Du nun gezeigt,
> dass ) konvergiert ( Der Reihenwert ist aber nicht = 1/2)
>
> Ok. Was hab ich dann am Quotientenkriterium falsch
> ausgerechnet?
ob Du da wirklich was falsch gerechnet hattest, weiß ich nicht (ich bin nur
zu faul, Deine Rechnung zu suchen und nachzurechnen - aber ich traue Dir
zu, dass Du da schon richtig gerechnet hattest). Aber Du machst wohl
einen anderen Fehler, einen "Denkfehler", den man NIE machen sollte:
Das QK sagt doch: Ist [mm] $\sum a_k$ [/mm] eine Reihe, dann konvergiert diese
jedenfalls dann, wenn [mm] $\limsup_{k \to \infty} |a_{k+1}/a_k| [/mm] < 1$ ist,
und sie divergiert jedenfalls dann, wenn [mm] $\liminf_{k \to \infty} |a_{k+1}/a_k| [/mm] > 1$ ist.
(Natürlich müssen die [mm] $a_k\,$ [/mm] fast alle [mm] $\not=0$ [/mm] sein...)
Da stehen nur hinreichende Kriterien für Konvergenz oder Divergenz. Im
Falle, dass man mit dem QK halt rausbekommt, dass die Reihe konvergiert,
dann weiß man i.a. auch erstmal nur das - über den Reihenwert wird hier
keine Aussage getroffen, und der ist i.a. auch nicht so einfach zu bestimmen.
Sowas kennst Du auch schon: Wenn Du eine monoton wachsende Folge
[mm] $(x_n)_n$ [/mm] hast, die nach oben beschränkt ist, dann weißt Du, dass sie
konvergiert. Ihr Grenzwert ist i.a. nicht leicht zu bestimmen bzw.
anzugeben. Du weißt etwa auch, dass [mm] $e=\lim_{n \to \infty} (1\;+\;1/n)^n\,.$ [/mm] Die Eulersche Zahl [mm] $e\,$ [/mm]
ist also der Grenzwert der Folge [mm] ${((1\;+\;1/n)^n)}_{n \in \IN}\,.$ [/mm]
Kannst Du mir [mm] $e\,$ [/mm] "besser" hinschreiben? Also nicht als Grenzwert einer
Folge (und damit auch nicht als Reihenwert!)?
Also Fazit: Der Grenzwert, den man beim QK ausrechnet, hat i.a. NICHTS
mit dem Reihenwert zu tun. (Ich rede von dem Grenzwert, weil man ja
den Limsup ... berechnet, wenn man "Konvergenz der Reihe" aus dem QK
erschließen kann. Wenn der Liminf... > 1 ist, hat man ja eh Divergenz der
Reihe vorliegen, sie hat dann auch keinen Grenzwert, daher kann man hier
einen Reihenwert mit einem Liminf nicht verwechseln, denn es gibt hier ja
gar keinen Reihenwert!) Er kann nur dabei helfen, eine Aussage über
das Konvergenzverhalten der Reihe zu treffen.
Stell's Dir meinetwegen IN ETWA (nicht ganz korrekt, weil man mit dem QK
ja evtl. auch zu dem Schluss kommen kann, dass man KEINE Aussage über
das Konvergenzverhalten einer Reihe treffen kann) so vor:
Wenn Du in einen Stromkreis eine Glühbirne richtig dazwischenschaltest,
dann siehst Du ja, ob Strom fließt, wenn sie an ist, und ob keiner fließt,
wenn sie aus ist. Die Stromstärke erkennst Du aber anhand der Glühbirne
nicht. Dafür brauchst Du wieder ein spezielles Messgerät!
Vielleicht hat da aber jemand ein besseres/passenderes Bild parat.
P.S. Das klingt vielleicht ein wenig "fies", es ist aber reine Tatsache: Wenn
man den Beweis des Wurzelkriteriums und auch den des QK's verstanden
hat, dann kommt man eigentlich gar nicht auf die Idee, die Grenzwerte, die
man da berechnet, mit den Reihenwerten gleichzusetzen. Daher:
Hole das bitte nach und lerne und verstehe diese Beweise!
(Du findest sie hier, in Kapitel 6.)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 Di 02.04.2013 | | Autor: | bandchef |
Ok. Jetzt habt ihr mich überzeugt! Ich hab jetzt auch in alten Vorlesungsunterlagen nachgeschaut und jetzt ist mir die Sache mit dem QK auch wieder bewusst.
Ich muss jetzt nur noch irgendwie mal was auf's Papier bringen, dass eben die Aussage von der Aufgabe gilt. Reicht es also, dass ich schreibe:
[mm] $\lim_{n\to \infty}\left(\sum_{k=0}^{n}\left( \frac{k^2}{2^k} \right)\right) [/mm] = O(1)$
Jetzt kommt an dieser Stelle mein Quotientenkriterium, da mir das ja sagt, ob die Reihe konvergiert, und da ich als Ergebnis des QK 0,5 rausbekomme und das $0,5 < q < 1$ ist, konvergiert diese Reihe auch. (Den Reihenwert lasse ich außen vor, weil der für die Aufgabe gar nicht gefragt ist.)
Und dann noch einen Antwortsatz in der Form: Da die Reihe konvergiert, gilt die Aussage.
Kann ich das nun so auf meinen Block schreiben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Di 02.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ok. Jetzt habt ihr mich überzeugt! Ich hab jetzt auch in
> alten Vorlesungsunterlagen nachgeschaut und jetzt ist mir
> die Sache mit dem QK auch wieder bewusst.
>
> Ich muss jetzt nur noch irgendwie mal was auf's Papier
> bringen, dass eben die Aussage von der Aufgabe gilt. Reicht
> es also, dass ich schreibe:
>
> [mm]\lim_{n\to \infty}\left(\sum_{k=0}^{n}\left( \frac{k^2}{2^k} \right)\right) = O(1)[/mm]
>
> Jetzt kommt an dieser Stelle mein Quotientenkriterium, da
> mir das ja sagt, ob die Reihe konvergiert, und da ich als
> Ergebnis des QK 0,5 rausbekomme und das [mm]0,5 < q < 1[/mm] ist,
> konvergiert diese Reihe auch. (Den Reihenwert lasse ich
> außen vor, weil der für die Aufgabe gar nicht gefragt
> ist.)
>
> Und dann noch einen Antwortsatz in der Form: Da die Reihe
> konvergiert, gilt die Aussage.
>
> Kann ich das nun so auf meinen Block schreiben?
Was habe ich Dir gannz am Anfang dieser unsäglich langen Diskussion gesagt ?
Das: ist eine Folge [mm] (a_n) [/mm] konvergent, so ist [mm] (a_n) [/mm] beschränkt. Damit ist
[mm] a_n=O(1) [/mm] (n [mm] \to \infty)
[/mm]
eine Trivialität.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Di 02.04.2013 | | Autor: | bandchef |
Das [mm] a_n [/mm] eine Folge ist, ist mir klar. Aber, das Folgen IMMER konvergieren, weiß man doch nicht einfach so.
Da ich das NICHT weiß, bemühe ich mich eine Möglichkeit zu finden um zu beweisen, dass [mm] a_n [/mm] auch wirklich konvergiert; und hier kommt dann bei mir eben das QK zum Tragen. Ist das nun falsch oder richtig? Ich weiß, auch wenn es (anscheinend) sichtlich "trivial" sein soll...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Di 02.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Das [mm]a_n[/mm] eine Folge ist, ist mir klar. Aber, das Folgen
> IMMER konvergieren, weiß man doch nicht einfach so.
Hä ? Wer hat gesagt, dass Folgen immer konvergieren ? Niemand.
>
> Da ich das NICHT weiß, bemühe ich mich eine Möglichkeit
> zu finden um zu beweisen, dass [mm]a_n[/mm] auch wirklich
> konvergiert; und hier kommt dann bei mir eben das QK zum
> Tragen. Ist das nun falsch oder richtig?
Du hast gezeigt, dass die Reihe konvergiert, damit ist ihre Teilsummenfolge konvergent, also auch beschränkt.
FRED
> Ich weiß, auch
> wenn es (anscheinend) sichtlich "trivial" sein soll...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Di 02.04.2013 | | Autor: | bandchef |
Und da ich nun durch das QK weiß, dass sie eben zu irgendeinen ganzzahligen Wert konvergiert, liegt die angegebene Reihe auch in O(1), weil eben O(1). Richtig? Zu welchem Wert die Reihe dann wirklich konvergiert, ist ja im O-Kalkül nebensächlich...; weshalb ich den echten Reihenwert nicht berechnen brauche.
Und genau das macht die Sache nun für euch so trivial, oder wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:06 Mi 03.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja
gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:23 Mi 03.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> Und da ich nun durch das QK weiß, dass sie eben zu
> irgendeinen ganzzahligen Wert konvergiert, liegt die
> angegebene Reihe auch in O(1), weil eben O(1). Richtig? Zu
> welchem Wert die Reihe dann wirklich konvergiert, ist ja im
> O-Kalkül nebensächlich...; weshalb ich den echten
> Reihenwert nicht berechnen brauche.
>
> Und genau das macht die Sache nun für euch so trivial,
> oder wie?
na, die Trivialität ist doch diese:
Ist eine Folge $(a_n)_{n}$ beschränkt, so ist auch $(|a_n|)_n$ beschränkt.
Daher gilt
$$0 \le \limsup_{n \to \infty} |a_n| < \infty\,.$$
(Trivial, oder?)
Das kannst Du schreiben als
$$0 \le \limsup_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{1}\right| < \infty\,,$$
und damit weißt Du dann: Ist $(a_n)_n$ IRGENDEINE beschränkte Folge, so ist
$a_n \in O(1)\,$ (bzw. in schlechterer Notation: $a_n=O(1)\,$) bei $n \to \infty\,.$
(Du kannst auch $a(n)=a_n$ schreiben, wenn Dir das mehr zusagt!)
Siehst Du jetzt das, was Fred meinte, als er sagte, dass es trivial ist, dass
beschränkte Folgen in $O(1)\,$ sind?
Und nun ist die Reihe $\sum_{k=n_0}^\infty a_k$ erstmal nichts anderes als eine Notation
für "die Folge ihrer Teilsummen, also für $\left(\sum_{k={n_0}}^n a_k}\right)_{n=n_0}^\infty\,.$"
Eine Reihe ist - siehe oben - daher sicherlich in trivialer Weise in $O(1)\,,$ wenn
sie beschränkt ist. (Merke: Beschränktheit ist bei Folgen/Reihe HINREICHEND
dafür, in $O(1)\,$ zu sein! Auch, wenn das etwas unschön formuliert ist!)
Dass eine Reihe konvergiert, heißt aber per Definitionem erstmal nichts
anderes, als dass die Folge $\left(\sum_{k={n_0}}^n a_k}\right)_{n=n_0}^\infty$ konvergiert.
Da konvergente Folgen insbesondere beschränkt sind, ist Deine Reihe
folglich sicher beschränkt, wenn sie konvergiert, und wenn sie beschränkt
ist, dann ist die Reihe (also die Folge ihrer Teilsummen) in $O(1)\,.$
Jetzt klarer?
(Mal als Zwischenergebnis "knapp" festgehalten:
Aus dem Wissen
(Beschränktheit $\Rightarrow$ $O(1)\,$) und (Konvergenz $\Rightarrow$ Beschränktheit )
folgert man, dass für eine Folge/Reihe die KONVERGENZ HINREICHEND
dafür ist, dass die Folge/Reihe in $O(1)\,$ liegt!)
Wenn Du das obige verstanden hast: Es gibt durchaus auch divergente
Reihen, die in $O(1)\,$ liegen. Beispiel:
$$\sum_{k=0}^\infty (-1)^k$$
(Beachte, dass das Symbol hier nur im Sinne der ABKÜRZUNG für die Folge
der zugehörigen Teilsummen gemeint sein KANN. Denn die Reihe ist
divergent - warum?)
Warum ist die in $O(1)\,$? Nun ja: Es ist in ziemlich trivialer Weise zu
erkennen, dass $\sum_{k=0}^\infty (-1)^k$ BESCHRÄNKT ist!
Das heißt: Hinreichend dafür, dass Reihen in $O(1)\,$ liegen, ist deren
Beschränktheit. Weil aber die Konvergenz einer Reihe auch die
Beschränktheit impliziert, ist auch die Konvergenz einer Reihe (wenn sie
gegen einen Wert $\in \IR$ strebt - d.h. insbesondere, dass die Reihe NICHT gegen
$+\infty$ oder $-\infty$ streben darf - dann wäre die Reihe ja auch nicht beschränkt!)
hinreichend dafür, dass die Reihe $\in O(1)$ (bzw. in schlechterer
Notation: $=O(1)\,$) ist.
Und jetzt fasse ich mal bei Dir zusammen:
Du hattest $\sum_{k=0}^\infty k^2/2^k$ gegeben. Das ist also die Folge $\left(\sum_{k=0}^n k^2/2^k\right)_{n=0}^\infty\,.$ Um zu sehen,
dass diese in $O(1)\,$ liegt, reicht es, zu zeigen, dass diese Folge
beschränkt ist. Um zu sehen, dass diese Folge beschränkt ist, können wir
hier sogar zeigen, dass diese Folge konvergiert. (Beachte: Konvergenz
ist HINREICHEND für Beschränktheit, aber nicht notwendig. Es gibt beschränkte
Folgen, die divergent sind. (Standard-)Beispiel?)
Mit dem Quotientenkriterium hast Du nachgewiesen, dass die Reihe $\sum_{k=0}^\infty k^2/2^k\,,$
also die Folge $\left(\sum_{k=0}^n k^2/2^k\right)_{n=0}^\infty\,,$ konvergiert. Damit bist da dann insgesamt fertig!
P.S. Man hätte also Deine Aufgabe durchaus auch lösen können, ohne mit
dem Quotienten- oder Wurzelkriterium zu arbeiten. Wieso?
Naja, wir haben jetzt mal auf verschiedenen Werten den Reihenwert
ausgerechnet. Da kam $6\,$ raus. (Das haben wir heimlich gemacht und
werden wir beim Beweis dann verschweigen - denn ansonsten braucht
man das alles, was unten steht, ja gar nicht mehr in dieser Art und Weise...)
Daher kann man für Deine Reihe jede reelle Zahl $\ge 6$ (bea.: $\infty \notin \IR$) als obere Schranke
für die Reihe (=Folge ihrer Teilsummen) angeben. Man kann auch einfach
behaupten, dass eine solche Zahl dann obere Schranke für die Reihe sein
muss, und dass dann beweisen (Induktion bietet sich da vermutlich an).
Zudem ist es offensichtlich, dass die Reihe (streng) monoton wachsend ist,
und sicherlich ist dann das erste Folgenglied (der Reihe, als Folge ihrer
Teilsummen!) eine untere Schranke - Du kannst also $0\,$ als untere
Schranke wählen. (Oder auch jede reelle Zahl $\le 0$ - beachte: $-\;\infty \notin \IR$!)
Wenn Du nun die Existenz einer oberen Schranke bewiesen hast - die einer
unteren ist ja quasi trivial, wie erwähnt - dann weißt Du:
Die Reihe ist also sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt, also
ist sie beschränkt und damit in $O(1)\,.$
Das wäre eine alternative Beweismöglichkeit - in der ich natürlich die
Details jetzt nur "angekratzt" habe.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 So 31.03.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Bandchef,
Du kannst die Formel sogar explizit angeben.
Es sei [mm] $s_n=\summe_{k=0}^{\infty}\frac{k^n}{a^k}$. [/mm]
Dann ist [mm] $s_0=\frac{a}{a-1}$
[/mm]
Es gilt folgende Rekursion :
[mm] $s_{n+1}=\frac{1}{a-1}\summe_{j=0}^{n}\vektor{n+1 \\ j}s_j$
[/mm]
Damit bekommst Du für $n=2 $ $: [mm] \quad \frac{a\cdot (a+1)}{(a-1)^3}$
[/mm]
Das ist für $a=2 $ $: [mm] \quad \frac{2\cdot (2+1)}{(2-1)^3}=6$ [/mm]
Damit hast du die Beziehung [mm] ${\mathcal O}(1)$.
[/mm]
Gruß
Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:49 Mo 01.04.2013 | | Autor: | bandchef |
Danke kaju!
Mit deiner Hilfe hab ich dann neben Marcels Lösung noch eine weitere Lösung!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:13 Mo 01.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Bandchef,
>
> Du kannst die Formel sogar explizit angeben.
> Es sei [mm]s_n=\summe_{k=0}^{\infty}\frac{k^n}{a^k}[/mm].
?????????????????????????
Was hat das mit [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\left( \frac{k^2}{2^k} \right) [/mm] zu tun ????
FRED
>
> Dann ist [mm]s_0=\frac{a}{a-1}[/mm]
>
> Es gilt folgende Rekursion :
> [mm]s_{n+1}=\frac{1}{a-1}\summe_{j=0}^{n}\vektor{n+1 \\ j}s_j[/mm]
>
> Damit bekommst Du für [mm]n=2[/mm] [mm]: \quad \frac{a\cdot (a+1)}{(a-1)^3}[/mm]
>
> Das ist für [mm]a=2[/mm] [mm]: \quad \frac{2\cdot (2+1)}{(2-1)^3}=6[/mm]
>
> Damit hast du die Beziehung [mm]{\mathcal O}(1)[/mm].
>
> Gruß
> Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:57 Mo 01.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Fred,
> > Du kannst die Formel sogar explizit angeben.
> > Es sei [mm]s_n=\summe_{k=0}^{\infty}\frac{k^n}{a^k}[/mm].
>
>
>
> ?????????????????????????
>
>
> Was hat das mit [mm]\sum_{k=0}^{\infty}\left( \frac{k^2}{2^k} \right)[/mm]
> zu tun ????
>
Nun ja, ähm, [mm]\sum_{k=0}^{\infty}\left( \frac{k^2}{2^k} \right)[/mm] ist ein Spezialfall von
[mm]\sum_{k=0}^{\infty}\left( \frac{k^n}{a^k} \right)[/mm] für $n=2$ und $a=2$, oder habe ich da
irgendwo einen Denkfehler?
Ich beweise erst die allgemeine Form und
konkretisiere dann auf $n=2$ und $a=2$.
Gruß
Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:26 Di 02.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Fred,
>
>
>
> > > Du kannst die Formel sogar explizit angeben.
> > > Es sei [mm]s_n=\summe_{k=0}^{\infty}\frac{k^n}{a^k}[/mm].
> >
> >
> >
> > ?????????????????????????
> >
> >
> > Was hat das mit [mm]\sum_{k=0}^{\infty}\left( \frac{k^2}{2^k} \right)[/mm]
> > zu tun ????
> >
>
> Nun ja, ähm, [mm]\sum_{k=0}^{\infty}\left( \frac{k^2}{2^k} \right)[/mm]
> ist ein Spezialfall von
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty}\left( \frac{k^n}{a^k} \right)[/mm] für
> [mm]n=2[/mm] und [mm]a=2[/mm], oder habe ich da
> irgendwo einen Denkfehler?
>
> Ich beweise erst die allgemeine Form
mit einem unbewiesenem Hilfsmittel - oder wo hast Du die rekursive Form
bewiesen? Ich sage aber nicht, dass das falsch war - ich hab's noch nicht
mal nachgerechnet. Fand' ich irgendwie overdosed bzgl. der Aufgabe
hier.
> und
> konkretisiere dann auf [mm]n=2[/mm] und [mm]a=2[/mm].
Joa, scheint ja zu passen. Die Verwirrung ist wohl:
Wir hatten schon
[mm] $$s_n:=\sum_{k=0}^n k^2/2^k\,.$$
[/mm]
Und bei Dir ist jedes [mm] $s_n=s_n(a)$ [/mm] eine Reihe. Vielleicht hättest Du da auch
eine andere Bezeichnung wählen sollen, vielleicht
[mm] $$R(a;n):=\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{a^k}\,,$$
[/mm]
wäre sicherlich didaktisch besser gewesen und die Gefahr, Verwirrung zu
stiften, wäre kleiner geblieben. ( Und das "R" hätte an "Reihe" erinnert.  )
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 Di 02.04.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Marcel,
> > Ich beweise erst die allgemeine Form
>
> mit einem unbewiesenem Hilfsmittel - oder wo hast Du die
> rekursive Form
> bewiesen? Ich sage aber nicht, dass das falsch war - ich
> hab's noch nicht
> mal nachgerechnet. Fand' ich irgendwie overdosed bzgl. der
> Aufgabe
> hier.
>
Ich habe die Rekursion vor einiger Zeit aufgestellt
und bekomme den Beweis so auf Anhieb leider nicht
hin. Müsste aber so stimmen.
"overdosed" : Mag sein, dass ich hier mit Kanonen
auf Spatzen schieße. Es ist ja auch nur zu zeigen,
dass die Reihe konvergiert.
> > und
> > konkretisiere dann auf [mm]n=2[/mm] und [mm]a=2[/mm].
>
> Joa, scheint ja zu passen. Die Verwirrung ist wohl:
> Wir hatten schon
> [mm]s_n:=\sum_{k=0}^n k^2/2^k\,.[/mm]
>
> Und bei Dir ist jedes [mm]s_n=s_n(a)[/mm] eine Reihe. Vielleicht
> hättest Du da auch
> eine andere Bezeichnung wählen sollen, vielleicht
> [mm]R(a;n):=\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{a^k}\,,[/mm]
> wäre
> sicherlich didaktisch besser gewesen und die Gefahr,
> Verwirrung zu
> stiften, wäre kleiner geblieben. ( Und das "R" hätte an
> "Reihe" erinnert. )
>
Stimmt, da war die Wahl meiner Benennungen
etwas ungeschickt. "R(a;n)" gefällt mir auch
besser 
> Gruß,
> Marcel
Gruß
Kai
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