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| Aufgabe | Sei V ein n-dimensionaler K-VR mit Basis [mm](b_1,...,b_n)[/mm] und [mm]\omega[/mm] eine Determinantenform auf V mit [mm]\omega (b_1,...,b_n)=1[/mm]. Sei [mm]v=\lambda_1 b_n+...+\lambda_n b_n \in V[/mm]. Berechnen Sie:
[mm]\omega (v+b_1,...,v+b_n)[/mm]. |
Hallo,
mit dieser Aufgabe habe ich so ein paar Probleme. Also mein Ansatz ist, dass ich v=... in [mm]\omega (v+b_1,...,v+b_n)[/mm] einsetze. Dann komme ich zu
[mm]\omega (\lambda_1 b_n+...+\lambda_n b_n+b_1,...,\lambda_1 b_n+...+\lambda_n b_n+b_n)[/mm].
Jetzt muss ich wohl irgendwie die Multilinearität und/oder die Eigenschaft des alternierens ausnutzen, um das dann schließlich ausrechnen zu können.
Allerdings weiß ich nun nicht wie ich das am besten auseinanderziehe.
Hat da jemand einen Tipp?
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> Sei V ein n-dimensionaler K-VR mit Basis [mm](b_1,...,b_n)[/mm] und
> [mm]\omega[/mm] eine Determinantenform auf V mit [mm]\omega (b_1,...,b_n)=1[/mm].
> Sei [mm]v=\lambda_1 b_n+...+\lambda_n b_n \in V[/mm]. Berechnen
> Sie:
> [mm]\omega (v+b_1,...,v+b_n)[/mm].
> Hallo,
> mit dieser Aufgabe habe ich so ein paar Probleme. Also
> mein Ansatz ist, dass ich v=... in [mm]\omega (v+b_1,...,v+b_n)[/mm]
> einsetze. Dann komme ich zu
> [mm]\omega (\lambda_1 b_n+...+\lambda_n b_n+b_1,...,\lambda_1 b_n+...+\lambda_n b_n+b_n)[/mm].
>
> Jetzt muss ich wohl irgendwie die Multilinearität und/oder
> die Eigenschaft des alternierens ausnutzen, um das dann
> schließlich ausrechnen zu können.
> Allerdings weiß ich nun nicht wie ich das am besten
> auseinanderziehe.
> Hat da jemand einen Tipp?
Hallo,
ich denke, wie man das am besten macht, weiß man meist erst, wenn man mehreres ausprobiert hat.
Wenn Du nicht gleich den besten Weg findest, ist irgendein Weg ja auch gut. Dauert dann eben u.U. etwas länger.
Schade, daß Du nicht zeigst, was Du bisher getan hast.
Ich würde - ohne zu wissen, ob das der beste Weg ist, ich bin zu ungeübt - einfach mal so beginnen:
[mm] \omega (v+b_1,...,v+b_n)=\omega [/mm] (v, [mm] v+b_2,...,v+b_n) [/mm] + [mm] \omega (b_1, v+b_2...,v+b_n)
[/mm]
[mm] =\omega [/mm] (v, v, [mm] v+b_3,...,v+b_n)+\omega [/mm] (v, [mm] b_2, v+b_3,...,v+b_n) [/mm] + [mm] \omega (b_1, [/mm] v, [mm] v+b_3...,v+b_n)+\omega (b_1, b_2...,v+b_n)
[/mm]
usw.
Sobald zwei Einträge =v sind, wird [mm] \omega [/mm] ja zu Null. Am Ende dürfte wenig übrigbleiben.
Gruß v. Angela
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Ich habe auch mit deinem Ansatz angefangen. Mir würde auch keine anderer, der in irgendeiner Weise besser ist, einfallen.
Ich hab einfach mal n=3 gesetzt, damit ich jetzt weniger tippen muss und komme zu folgendem (man müsste das ganze dann noch verallgemeinern, aber das ist ja das selbe prinzip):
[mm]\omega(v+b_{1},v+b_{2},v+b_{3})=\omega(v,v+b_{2},v+b_{3})+\omega(b_{1},v+b_{2},v+b_{3})=\omega(v,v,v+b_{3})+\omega(v,b_{2},v+b_{3})+\omega(b_{1},v,v+b_{3})+\omega(b_{1},b_{2},v+b_{3})[/mm]
[mm]=\omega(v,v,v)+\omega(v,v,b_{3})+\omega(v,b_{2},v)+\omega(v,b_{2},b_{3})+\omega(b_{1},v,v)+\omega(b_{1},b_{2},v)+\omega(b_{1},v,b_{3})+\omega(b_{1},b_{2},b_{3})[/mm]
[mm]=0+0+0+\omega(\lambda_{1}b_{3}+\lambda_{2}b_{3}+\lambda_{3}b_{3},b_{2},b_{3})+0+\omega(b_{1},b_{2},\lambda_{1}b_{3}+\lambda_{2}b_{3}+\lambda_{3}b_{3})+\omega(b_{1},\lambda_{1}b_{3}+\lambda_{2}b_{3}+\lambda_{3}b_{3},b_{3})+1[/mm]
[mm]=\omega(b_{3}(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}),b_{2},b_{3})+0+\omega(b_{1},b_{2},\lambda_{1}b_{3}(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}))+\omega(b_{1},b_{3}(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}),b_{3})+1[/mm]
[mm]=(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3})\omega(b_{3},b_{2},b_{3})+(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3})\omega(b_{1},b_{2},\lambda_{1}b_{3})+(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3})\omega(b_{1},b_{3},b_{3})+1[/mm]
[mm]=1[/mm].
Ich hoffe ich habe nicht irgendwo etwas vergessen. Bei sowas kommt man leicht durcheinander. Allerdings erscheint es mir komisch, dass dann wieder 1 rauskommt. Also gehe ich davon aus, dass irgendwo etwas fehlt bzw. falsch ist. Kann mir dabei vllt jemand helfen?
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> Ich habe auch mit deinem Ansatz angefangen. Mir würde auch
> keine anderer, der in irgendeiner Weise besser ist,
> einfallen.
> Ich hab einfach mal n=3 gesetzt, damit ich jetzt weniger
> tippen muss und komme zu folgendem (man müsste das ganze
> dann noch verallgemeinern, aber das ist ja das selbe
> prinzip):
>
> [mm]\omega(v+b_{1},v+b_{2},v+b_{3})=\omega(v,v+b_{2},v+b_{3})+\omega(b_{1},v+b_{2},v+b_{3})=\omega(v,v,v+b_{3})+\omega(v,b_{2},v+b_{3})+\omega(b_{1},v,v+b_{3})+\omega(b_{1},b_{2},v+b_{3})[/mm]
>
> [mm]=\omega(v,v,v)+\omega(v,v,b_{3})+\omega(v,b_{2},v)+\omega(v,b_{2},b_{3})+\omega(b_{1},v,v)+\omega(b_{1},b_{2},v)+\omega(b_{1},v,b_{3})+\omega(b_{1},b_{2},b_{3})[/mm]
[mm] =\omega(v,b_{2},b_{3})+\omega(b_{1},b_{2},v)+\omega(b_{1},v,b_{3})+\omega(b_{1},b_{2},b_{3})
[/mm]
[mm] =\omega(\lambda b_3,b_{2},b_{3})+\omega(b_{1},b_{2},\lambda b_3)+\omega(b_{1},\lambda b_3,b_{3})+\omega(b_{1},b_{2},b_{3})
[/mm]
[mm] =\omega(b_{1},b_{2},\lambda b_3) +\omega(b_{1},b_{2},b_{3})
[/mm]
[mm] =(\lambda+1) (\omega(b_{1},b_{2},b_{3}))= \lambda+1
[/mm]
Gruß v. Angela
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> Sei V ein n-dimensionaler K-VR mit Basis [mm](b_1,...,b_n)[/mm] und
> [mm]\omega[/mm] eine Determinantenform auf V mit [mm]\omega (b_1,...,b_n)=1[/mm].
> Sei [mm]v=\lambda_1 b_{\red{1}+...+\lambda_n b_n \in V[/mm]. Berechnen
Hallo,
meinst Du nicht, daß es nicht eher so heißen soll, wie ich es oben korrigiert habe?
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 Mi 17.12.2008 | | Autor: | T_sleeper |
In der Aufgabe steht tatsächlich v=[mm]\lambda_1 b_n+...+\lambda_n b_n\in V[/mm].
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> In der Aufgabe steht tatsächlich v=[mm]\lambda_1 b_n+...+\lambda_n b_n\in V[/mm].
Das sollte bestimmt nicht so sein, ist für Dich aber günstig: Mit [mm] \lambda:= \summe \lambda_i [/mm] schrumpft Dein Vektor v zusammen zu [mm] v=\lambda b_n.
[/mm]
Dir kann das ja nur recht sein...
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Mi 17.12.2008 | | Autor: | T_sleeper |
> Das sollte bestimmt nicht so sein, ist für Dich aber
> günstig: Mit [mm]\lambda:= \summe \lambda_i[/mm] schrumpft Dein
> Vektor v zusammen zu [mm]v=\lambda b_n.[/mm]
> Dir kann das ja nur
> recht sein...
>
> Gruß v. Angela
>
>
Ja genau. Und dann bleibt bei mir am Ende nur noch [mm]\omega (b_1,...,b_n)[/mm] übrig, weil alles andere =0 ist.
Das kommt mir nur ein bisschen komisch vor
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