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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 Sa 06.08.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Bestimmen Sie zu einer Reihe von Messpunkten [mm] (t_{i},f_{i}) [/mm] mit [mm] t_{i}=i [/mm] und
[mm] f_{i}= \frac{1}{i+1} [/mm] für i=0,1,2,3,4 eine Kubische Ausgleichsfunktion p, die folgende Eigenschaften besitzt:
a) [mm] p(t_{0})=f_{0} [/mm] und [mm] p(t_{4})=f_{4}
[/mm]
b) [mm] \summe_{i=1}^{3}(p(t_{i})-f_{i})^{2} [/mm] -> min |
Brauche Hilfe beim Verständnis dieser Aufgabe.
Ich soll eine Funktion aufstellen, die diese Punkte möglicht gut annähert und zudem noch bestimme Eigenschaften erfüllt.
Zum Aufstellen von Ausgleichsgleichungen haben wir die Methode "Normalengleichung" kennengelernt.
Die Bedingungen in dieser Aufgabe kauten:
p(0) = 1
p(4) = 1/5
Kubische Funktion lautet:
p(t) = [mm] at^{3}+at^{2}+at+c
[/mm]
Die Messreihe von Punkten lautet:
t: 0 1 2 3 4
f(t):1 1/2 1/3 1/4 1/5
Mein Ziel ist es folgedne Gleichung aufzustellen:
[mm] A^{T}Ax^{*} [/mm] = [mm] A^{T}c [/mm] und diese dann mit Gaus zu berechnen.
Jetzt weiss ich nicht weiter.
Wie gehe ich weiter vor?
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Hallo zoj,
> Bestimmen Sie zu einer Reihe von Messpunkten [mm](t_{i},f_{i})[/mm]
> mit [mm]t_{i}=i[/mm] und
> [mm]f_{i}= \frac{1}{i+1}[/mm] für i=0,1,2,3,4 eine Kubische
> Ausgleichsfunktion p, die folgende Eigenschaften besitzt:
>
> a) [mm]p(t_{0})=f_{0}[/mm] und [mm]p(t_{4})=f_{4}[/mm]
> b) [mm]\summe_{i=1}^{3}(p(t_{i})-f_{i})^{2}[/mm] -> min
> Brauche Hilfe beim Verständnis dieser Aufgabe.
>
> Ich soll eine Funktion aufstellen, die diese Punkte
> möglicht gut annähert und zudem noch bestimme
> Eigenschaften erfüllt.
> Zum Aufstellen von Ausgleichsgleichungen haben wir die
> Methode "Normalengleichung" kennengelernt.
>
> Die Bedingungen in dieser Aufgabe kauten:
> p(0) = 1
> p(4) = 1/5
>
> Kubische Funktion lautet:
> p(t) = [mm]at^{3}+at^{2}+at+c[/mm]
>
> Die Messreihe von Punkten lautet:
> t: 0 1 2 3 4
> f(t):1 1/2 1/3 1/4 1/5
>
> Mein Ziel ist es folgedne Gleichung aufzustellen:
> [mm]A^{T}Ax^{*}[/mm] = [mm]A^{T}c[/mm] und diese dann mit Gaus zu
> berechnen.
>
> Jetzt weiss ich nicht weiter.
> Wie gehe ich weiter vor?
>
Schreibe die Bedingungen zunächst so auf:
[mm]\pmat{1 & t & t^{2} & t^{3}}\pmat{a_{0} \\ a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}}=f\left(t\right)[/mm]
Fasse dann die zwei Bedingungen zu
einer Matrix-Vektor-Gleichung zusammen.
Gruss
MathePower
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> Bestimmen Sie zu einer Reihe von Messpunkten [mm](t_{i},f_{i})[/mm]
> mit [mm]t_{i}=i[/mm] und
> [mm]f_{i}= \frac{1}{i+1}[/mm] für i=0,1,2,3,4 eine Kubische
> Ausgleichsfunktion p, die folgende Eigenschaften besitzt:
>
> a) [mm]p(t_{0})=f_{0}[/mm] und [mm]p(t_{4})=f_{4}[/mm]
> b) [mm]\summe_{i=1}^{3}(p(t_{i})-f_{i})^{2}[/mm] -> min
> Ich soll eine Funktion aufstellen, die diese Punkte
> möglicht gut annähert und zudem noch bestimmte
> Eigenschaften erfüllt.
> Zum Aufstellen von Ausgleichsgleichungen haben wir die
> Methode "Normalengleichung" kennengelernt.
>
> Die Bedingungen in dieser Aufgabe lauten:
> p(0) = 1
> p(4) = 1/5
>
> Kubische Funktion lautet:
> p(t) = [mm]at^{3}+at^{2}+at+c[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Da sollten schon lauter verschiedene Parameter stehen !
> Die Messreihe von Punkten lautet:
> t: 0 1 2 3 4
> f(t):1 1/2 1/3 1/4 1/5
>
> Mein Ziel ist es folgende Gleichung aufzustellen:
> [mm]A^{T}Ax^{*}[/mm] = [mm]A^{T}c[/mm] und diese dann mit Gaus zu
> berechnen.
Hallo zoj,
ich zweifle, ob die Methode der Normalengleichung hier
angewandt werden kann, denn die gesuchte Ausgleichs-
funktion ist ja nicht linear.
Aus den 2 fest vorgegebenen Punkten erhält man zwei
Gleichungen für die 4 Funktionsparameter. Dann bleiben
zwei weitere freie Parameter. Die Quadratsumme
Q = [mm]\summe_{i=1}^{3}(p(t_{i})-f_{i})^{2}[/mm]
kann als Funktion dieser zwei Parameter aufgefasst werden.
Um das verbleibende Extremalproblem zu lösen, sucht man
das Parameterpaar, für welchen die partiellen Ableitungen
nach diesen beiden Variablen verschwinden. Daraus entstehen
zwei weitere (lineare) Gleichungen für die insgesamt 4
Parameter.
LG Al-Chw.
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