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Hallo,
ich bin neu hier und hoffe, dass mir jemand helfen kann. Es geht um diese Aufgabe:
Die Punkte sollen durch eine Ausgleichsparabel p(x) = [mm] a_{0} +a_{1}x [/mm] + [mm] a_{2}x^{2} [/mm] approximiert werden.
Punkt 0 (0,1)
Punkt 1 (1,4)
Punkt 2 (2,5)
Punkt 3 (3,3)
Punkt 4 (4,1)
1. Stellen Sie das zur Berechnung der Koeffizienten [mm] a_{0}, a_{1}, a_{2} [/mm] benötigte überbestimmte linerare Gleichungssystem auf.
2. Berechnen Sie die Koeffizienten [mm] a_{0}, a_{1}, a_{2}.
[/mm]
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo lamobilia,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Deine Punkte sollen also näherungsweise Werte der Funktion p(x) sein.
> 1. Stellen Sie das zur Berechnung der Koeffizienten [mm]a_{0}, a_{1}, a_{2}[/mm]
> benötigte überbestimmte linerare Gleichungssystem auf.
Welche Gleichungen könnten denn gemeint sein?
Hast Du gar keine Idee?
> 2. Berechnen Sie die Koeffizienten [mm]a_{0}, a_{1}, a_{2}.[/mm]
Hierzu wird das Minimum der Fehlerquadratsumme gesucht. Das auszurechnen gibt's verschiedene Möglichkeiten. Hattet ihr schon eine?
gruß
mathemaduenn
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1. Also laut Papula's Formelsammlung muss man diese Gleichungen aufstellen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dies sieht dann so aus, ist das richtig?
[Dateianhang nicht öffentlich]
2. Du meinst wahrscheinlich die Methode der kleinsten Quadrate, oder?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo,
> 1. Also laut Papula's Formelsammlung muss man diese
> Gleichungen aufstellen:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Dies sieht dann so aus, ist das richtig?
Ja, das ist richtig.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> 2. Du meinst wahrscheinlich die Methode der kleinsten
> Quadrate, oder?
Das obige Gleichungssystem geht auf die Methode der kleinsten Quadrate zurück:
[mm]\sum\limits_{i = 1}^{n} {\left( {y_{i} \; - \;a\;x_{i}^{2} \; - \;b\;x_{i} \; - \;c} \right)^{2} \; \to \;\min } [/mm]
Die Summe wird nur minimal, wenn die partiellen Ableitungen nach a,b,c verschwinden:
[mm]
\begin{gathered}
\frac{\delta }
{{\delta a}}\;\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {y_{i} \; - \;a\;x_{i}^{2} \; - \;b\;x_{i} \; - \;c} \right)^{2} \; \Rightarrow \;\sum\limits_{i = 1}^{n} {x_{i}^{2} \left( {y_{i} \; - \;a\;x_{i}^{2} \; - \;b\;x_{i} \; - \;c} \right)\; = \;0} } \hfill \\
\frac{\delta }
{{\delta b}}\;\sum\limits_{i = 1}^{n} {\left( {y_{i} \; - \;a\;x_{i}^{2} \; - \;b\;x_{i} \; - \;c} \right)^{2} \; \Rightarrow \;\sum\limits_{i = 1}^{n} {x_{i} \left( {y_{i} \; - \;a\;x_{i}^{2} \; - \;b\;x_{i} \; - \;c} \right)\; = \;0} } \hfill \\
\frac{\delta }
{{\delta c}}\;\sum\limits_{i = 1}^{n} {\left( {y_{i} \; - \;a\;x_{i}^{2} \; - \;b\;x_{i} \; - \;c} \right)^{2} \; \Rightarrow \;\sum\limits_{i = 1}^{n} {\left( {y_{i} \; - \;a\;x_{i}^{2} \; - \;b\;x_{i} \; - \;c} \right)\; = \;0} } \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Gruß
MathePower
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