Ausgleichsebene in Punktwolke < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Mi 12.08.2009 | | Autor: | Flummy40 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kennt jemand eine lineares Gleichungssystem in der form Matrix (A) mal Matrix aller (x,y) = Vektor (xyc) => Ebenengleichung f(x,y)=[ax+by+c]=dz
Z(1,1); Z(1,2),..,Z(1,Yj)
Matrix A = Z(1,1);...; ....; ....
Z(Xi,1); ...; ...; Z(Xi,Yj)
Berechnung einer Ausgleichs-Ebene durch alle Z-Werte.
Ein Ansatz wäre es den Mittelwert aller 3Punkt vektoren zu ererechnen.
Oder über die gesamte Matrix in verschiedenen Abständen lokale Steigungen zu ermitteln.
Koeffizientenbildung dz(x,y) Waagrecht, Senkrecht und Diagonal wobei c der Offsetwert der Matrix währe.
Danke in voraus für Ideen.
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> Kennt jemand eine lineares Gleichungssystem in der Form
> Matrix (A) mal Matrix aller (x,y) = Vektor (xyc) =>
> Ebenengleichung f(x,y)=[ax+by+c]=dz
>
> Z(1,1); Z(1,2),..,Z(1,Yj)
> Matrix A = Z(1,1);...; ....; ....
> Z(Xi,1); ...; ...; Z(Xi,Yj)
>
> Berechnung einer Ausgleichs-Ebene durch alle Z-Werte.
>
> Ein Ansatz wäre es den Mittelwert aller 3Punkt-Vektoren zu
> errechnen.
> Oder über die gesamte Matrix in verschiedenen Abständen
> lokale Steigungen zu ermitteln.
> Koeffizientenbildung dz(x,y) Waagrecht, Senkrecht und
> Diagonal wobei c der Offsetwert der Matrix wäre.
Hallo Flummy,
ich verstehe die Fragestellung noch nicht so recht.
Du hast offenbar eine "Punktwolke" von sagen wir
n Punkten [mm] (x_i,y_i,z_i) [/mm] mit [mm] i\in\{1,2,\,.....\,n\} [/mm] im [mm] \IR^3 [/mm] .
Du möchtest eine Ebene bestimmen, die möglichst
passend durch diese Punktwolke gelegt wird.
Frage: habe ich das richtig interpretiert ?
Wenn nein, wie anders ?
Die Standardmethode dafür wäre die Ausgleichung
nach Gauß, bei der die Summe der quadrierten
Abweichungen von der Ebene minimiert wird.
Jetzt hättest du noch zwei Möglichkeiten:
1.) du nimmst als Abweichungen die Abweichungen
in z-Richtung
2.) du nimmst als Abweichungen die normal zur Ebene
gemessenen Abstände
Rechnerisch ist die erste Möglichkeit einfacher.
Inhaltlich muss man sich aber klar machen,
welche Möglichkeit für das zugrunde liegende
Problem sinnvoller ist.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Do 13.08.2009 | | Autor: | Flummy40 |
Deine Vermutung war richtig.
Hatte sie etwas unglücklich formuliert.
Endschuldige noch mal.
Wie berechne ich eine Gausebene durch eine Punktwolke?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Wie berechne ich eine Gaußebene durch eine Punktwolke?
Ansatz für die Ebenengleichung:
$\ E:\quad z\ =\ a\,x+b\,y+c$
Der Punkt P_i(x_i,y_i,z_i) ist in z-Richtung um
$\ d_i\ =\,\left{|}\,a\,x_i+b\,y_i+c-z_i\right{|}$
von E entfernt. Nun sollen die Parameter a, b und c
derart bestimmt werden, dass die Summe der
quadrierten Abweichungen minimal wird, also
$\ S\ =\ \summe_{i=1}^{n} \left(\,a\,x_i+b\,y_i+c-z_i\,\right)^2\quad\rightarrow\ minimal$
Zur Lösung dieser Extremalaufgabe berechnet
man die partiellen Ableitungen
$\ \frac{\partial S}{\partial a}\qquad\frac{\partial S}{\partial b}\qquad\frac{\partial S}{\partial c}$
und setzt sie alle gleich Null. Dies führt auf drei
lineare Gleichungen in a, b und c. Das Gleichungs-
system hat (falls nicht z.B. alle n Datenpunkte
auf einer Geraden liegen) eine eindeutige Lösung
(a,b,c), welche zu einem Minimum von S führt
(das kann man leicht nachweisen). Damit hat man
die Parameter für die optimale Ausgleichsebene
eindeutig bestimmt.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Fr 26.10.2018 | | Autor: | notinX |
Hallo Al-Chwarizmi,
das LGS müsste doch so aussehen:
[mm] $\begin{pmatrix}\sum_{i}x_{i}^{2} & \sum_{i}x_{i}y_{i} & \sum_{i}x_{i}\\
\sum_{i}x_{i}y_{i} & \sum_{i}y_{i}^{2} & \sum_{i}y_{i}\\
\sum_{i}x_{i} & \sum_{i}y_{i} & \sum_{i}1
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a\\
b\\
c
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sum_{i}x_{i}z_{i}\\
\sum_{i}y_{i}z_{i}\\
\sum_{i}z_{i}
\end{pmatrix}$
[/mm]
oder habe ich mich irgendwo verrechnet?
Gruß,
notinX
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O Wunder !
Nach gut neun Jahren kommt nochmal eine Rückfrage auf eine meiner damaligen Antworten. Und anderthalb Stunden später komme ich zufällig mal wieder hier vorbei (bin eher nur noch seltener Gast) und sehe diese Rückfrage.
Gib mir bitte einen oder zwei Tage für meine Antwort (das angekündigte Regenwetter kommt mir dabei ganz gelegen).
LG , Al-Chwarizmi
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> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> das LGS müsste doch so aussehen:
> [mm]$\begin{pmatrix}\sum_{i}x_{i}^{2} & \sum_{i}x_{i}y_{i} & \sum_{i}x_{i}\\
\sum_{i}x_{i}y_{i} & \sum_{i}y_{i}^{2} & \sum_{i}y_{i}\\
\sum_{i}x_{i} & \sum_{i}y_{i} & \sum_{i}1
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a\\
b\\
c
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sum_{i}x_{i}z_{i}\\
\sum_{i}y_{i}z_{i}\\
\sum_{i}z_{i}
\end{pmatrix}$[/mm]
Ja, jetzt habe ich mir das angeschaut. Es ist richtig !
LG , Al-Chwarizmi
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