Aufzughalteproblem < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 11:14 Do 05.05.2005 | | Autor: | rand |
hallo,
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
keine !
Ich versuche momentan eine Formel herzuleiten, mit welcher man den Erwartungswert der Halte eines Aufzugs berechnen kann.
Parameter sind n Personen und m Stockwerke.
mein Ansatz:
irgendwie hat das ja etwas mit dem Problem zu tun, wie man m Kugeln auf n Urnen verteilt, wobei jede Urne mindestens eine Kugeln beinhalten muss (Der Aufzug hält ja nicht für niemanden *g*).
vllt so:
$ [mm] n\cdot{}m\cdot{}(n-m)^m [/mm] $ , wobei hier jedoch m [mm] \le [/mm] n sein sollte
also konkret bei 3 personen und 2 Aufzughalte also [mm] 3\cdot{}2\cdot{}(3-2)^2 [/mm] =6
vllt geht die Formel in die Richtung:
[mm] E(X)=(1/m)^n* \summe_{i=1}^{m} [/mm] i* [mm] \vektor{m \\ i}*n*i*(n-i)^i
[/mm]
wobei ich nicht glaube dass die formel so korrekt ist, schon alleine weil m [mm] \le [/mm] n sein muss...
leider bin ich kein fachmann für Kombinatorik, da wir es nur kurz in der Schule angesprochen haben..
danke für Hilfe!
rand
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 Do 05.05.2005 | | Autor: | Brigitte |
Hallo rand!
Ich bin nicht ganz sicher, ob ich die Aufgabe richtig verstanden habe. Ist es so, dass sich n Personen zufällig auf m Stockwerke verteilen?
> Parameter sind n Personen und m Stockwerke.
> mein Ansatz:
>
> irgendwie hat das ja etwas mit dem Problem zu tun, wie man
> m Kugeln auf n Urnen verteilt, wobei jede Urne mindestens
> eine Kugeln beinhalten muss
Ich würde dann eher n Kugeln auf m Urnen verteilen. Dafür gibt es insgesamt [mm] $m^n$ [/mm] Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit für einen Halt würde dann der Wkt. des Ereignisses entsprechen, dass sich alle n Personen für denselben Stock entscheiden, also
[mm] $P(X=1)=\frac{m}{m^n}$,
[/mm]
denn es gibt m Möglichkeiten für den Stock, in dem alle Personen stehen. Dabei gehe ich mal davon aus, dass der Aufzug aus einem Stock kommt, der nicht bei den m Stockwerken dabei ist (sonst wären es halt nur m-1).
Bei zwei Halten entscheiden sich alle für eines von zwei Stockwerken. Für die Auswahl der Stockwerke gibt es [mm] ${m\choose 2}$ [/mm] Möglichkeiten, und für die Möglichkeiten der Aufteilung der n Personen [mm] $2^n-2$ [/mm] (da die Möglichkeiten ausgeschlossen werden müssen, dass sich alle für denselben Stock entscheiden, denn das wäre ja wieder der erste Fall). Also
[mm] $P(X=2)=\frac{{m\choose 2}\cdot (2^n-2)}{m^n}$.
[/mm]
Na ja, und so weiter eben. Die Wahrscheinlichkeiten sind aufsummierte Wahrscheinlichkeiten der Multinomialverteilung. Aber das sagt Dir wahrscheinlich nicht so viel. Deine Formel kann ich ohne weitere Erläuterungen leider nicht nachvollziehen. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Viele Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Sa 07.05.2005 | | Autor: | rand |
hallo Brigitte,
erstmal danke für deine Antwort!
es gibt n Personen die im EG einsteigen. Der Auzug fährt nun vom EG bis in den m. Stock des Gebäudes, also hat das Gebäude m Stockwerke.
Die wahrscheinlichkeit dass also eine Person in einem stockwerk aussteigt ist [mm] \bruch{1}{m}.
[/mm]
Außerdem dachte ich, die Wahrscheinlichkeit für eine mögliche Ausstiegskombination von n leuten bei m stockwerken dann [mm] {(\bruch{1}{m})}^n [/mm] sei.
Da die wahrscheinlichkeit für eine Kombination ja immer gleich ist, habe ich diese wahrscheinlichkeit vor die summe gezogen. In der Summe verbleiben jetzt eben die verschiedenen Kombinationen bei 1,2,...,m Aufzughalte.
Das war mal die Idee zur Formel, aber leider scheint sie inkorrekt zu sein.
vielleicht kann ja jemand anderes eine solche Formel herleiten und ensprechende Erklärungen abgeben.
Gruß
rand
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