Auflösungsfunktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 So 17.06.2012 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Es sei
[mm] $f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, \quad f\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\cos(xy)+x^2-2y-1.$ [/mm]
Zeigen Sie, dass es eine Auflösungsfunktion nach $y$ nahe 0 gibt, d.h., dass es [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ und [mm] $\varphi\colon (-\varepsilon,\varepsilon)\to \mathbb{R}$ [/mm] gibt mit
[mm] $\varphi(0)=0$ [/mm] und [mm] f\begin{pmatrix}x\\\varphi(x)\end{pmatrix}=0$ [/mm] für [mm] $|x|<\varepsilon$. [/mm]
Bestimmen Sie darüber hinaus [mm] $\varphi'(0).$ [/mm] |
Hallo zusammen und schönen Sonntag,
ich habe mich mal an der obigen Aufgabe versucht, aber kann, nachdem ich damit (evtl.) fertig bin, nicht einmal sagen, ob ich die Aufgabe jetzt tatsächlich gelöst habe, oder nicht, da der Satz über implizite Funktionen bei mir, glaube ich, noch nicht ganz angekommen ist, sozusagen. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Es folgt, was ich bis jetzt gemacht habe:
Klären der Voraussetzungen:
$f$ ist stetig differenzierbar als Verknüpfung stetig differenzierbarer Funktionen (Projektion, Produkt, Kosinus, Summe, etc.), es ist also [mm] $f\in C^1(\mathbb{R}\times\mathbb{R},\mathbb{R}).$ [/mm]
Für $y=0$ und $f(x,0)=0$ gilt:
[mm] $f\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}=\cos(x\cdot 0)+x^2-2\cdot [/mm] 0-1=0$
[mm] $\Longrightarrow 1+x^2-1=0 \Leftrightarrow x^2=0 \Rightarrow [/mm] x=0$.
Es gilt also [mm] $f(x_0,y_0)=f(0,0)=0$ [/mm] und [mm] $D_2 f(x,y)=\partial_y f(x,y)=-x\sin(xy)-2 \Longrightarrow \partial_y f(0,0)=-2\neq [/mm] 0$, also ist [mm] $\partial_y f(0,0)\in\mathbb{R}$ [/mm] invertierbar mit [mm] $\left(\partial_y f(0,0)\right)^{-1}=(-2)^{-1}=-\frac{1}{2}.$ [/mm]
Folgerung aus dem Satz über implizite Funktionen:
Also existiert eine offene Umgebung [mm] $U_1\subseteq \mathbb{R}$ [/mm] von [mm] $x_0=0$ [/mm] mit [mm] $U_1=(-\varepsilon,\varepsilon)$ [/mm] für [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und eine Umgebung [mm] $U_2\subseteq\mathbb{R}$ [/mm] um [mm] $y_0=0$ [/mm] und [mm] $\varphi\in C^1(U_1,U_2)$ [/mm] mit [mm] $\varphi(0)=0$, [/mm] so dass [mm] $f(x,\varphi(x))=0$ [/mm] für [mm] $x\in(-\varepsilon,\varepsilon)$, [/mm] also für [mm] $|x|<\varepsilon$ [/mm] nach dem Satz über implizite Funktionen.
Für [mm] $\varphi'(0)$ [/mm] gilt nun:
[mm] $\varphi'(0)=-\frac{D_x f(0,\varphi(0))}{D_y f(0,\varphi(0))}=-\frac{0}{-2}=0$. [/mm]
Könntet ihr das Alles mal kontrollieren und mich aufklären, was ich (wahrscheinlich) falsch gemacht oder bei der Aufgabe falsch verstanden habe? Irgendwie habe ich nicht das Gefühl irgendwas Produktives gemacht zu haben, außer einfach nur Zeugs in den Satz über implizite Funktionen eingesetzt zu haben. Muss ich noch irgendwas mit der Umgebung von $x$, also [mm] $(-\varepsilon,\varepsilon)$ [/mm] anstellen? Offen ist die Umgebung ja offensichtlich. Müsste ich erst mit einer allgemeinen offenen Umgebung [mm] $V_1$ [/mm] arbeiten, und dann [mm] $U_1$, [/mm] also [mm] $\varepsilon$, [/mm] so definieren, dass [mm] $U_1\subseteq V_1$, [/mm] oder kann ich mir das schenken?
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Hallo Lustique,
> Es sei
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> [mm]f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, \quad f\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\cos(xy)+x^2-2y-1.[/mm]
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> Zeigen Sie, dass es eine Auflösungsfunktion nach [mm]y[/mm] nahe 0
> gibt, d.h., dass es [mm]\varepsilon >0[/mm] und [mm]\varphi\colon (-\varepsilon,\varepsilon)\to \mathbb{R}[/mm] gibt mit
>
> [mm]$\varphi(0)=0$[/mm] und
> [mm]f\begin{pmatrix}x\\\varphi(x)\end{pmatrix}=0$[/mm] für
> [mm]$|x|<\varepsilon$.[/mm]
>
> Bestimmen Sie darüber hinaus [mm]\varphi'(0).[/mm]
> Hallo zusammen und schönen Sonntag,
>
> ich habe mich mal an der obigen Aufgabe versucht, aber
> kann, nachdem ich damit (evtl.) fertig bin, nicht einmal
> sagen, ob ich die Aufgabe jetzt tatsächlich gelöst habe,
> oder nicht, da der Satz über implizite Funktionen bei mir,
> glaube ich, noch nicht ganz angekommen ist, sozusagen.
>
> Es folgt, was ich bis jetzt gemacht habe:
>
> Klären der Voraussetzungen:
>
> [mm]f[/mm] ist stetig differenzierbar als Verknüpfung stetig
> differenzierbarer Funktionen (Projektion, Produkt, Kosinus,
> Summe, etc.), es ist also [mm]f\in C^1(\mathbb{R}\times\mathbb{R},\mathbb{R}).[/mm]
>
> Für [mm]y=0[/mm] und [mm]f(x,0)=0[/mm] gilt:
>
> [mm]f\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}=\cos(x\cdot 0)+x^2-2\cdot 0-1=0[/mm]
>
> [mm]\Longrightarrow 1+x^2-1=0 \Leftrightarrow x^2=0 \Rightarrow x=0[/mm].
>
> Es gilt also [mm]f(x_0,y_0)=f(0,0)=0[/mm] und [mm]D_2 f(x,y)=\partial_y f(x,y)=-x\sin(xy)-2 \Longrightarrow \partial_y f(0,0)=-2\neq 0[/mm],
> also ist [mm]\partial_y f(0,0)\in\mathbb{R}[/mm] invertierbar mit
> [mm]\left(\partial_y f(0,0)\right)^{-1}=(-2)^{-1}=-\frac{1}{2}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Folgerung aus dem Satz über implizite Funktionen:
>
> Also existiert eine offene Umgebung [mm]U_1\subseteq \mathbb{R}[/mm]
> von [mm]x_0=0[/mm] mit [mm]U_1=(-\varepsilon,\varepsilon)[/mm] für
> [mm]\varepsilon>0[/mm] und eine Umgebung [mm]U_2\subseteq\mathbb{R}[/mm] um
> [mm]y_0=0[/mm] und [mm]\varphi\in C^1(U_1,U_2)[/mm] mit [mm]\varphi(0)=0[/mm], so dass
> [mm]f(x,\varphi(x))=0[/mm] für [mm]x\in(-\varepsilon,\varepsilon)[/mm], also
> für [mm]|x|<\varepsilon[/mm] nach dem Satz über implizite Funktionen.
>
> Für [mm]\varphi'(0)[/mm] gilt nun:
>
> [mm]\varphi'(0)=-\frac{D_x f(0,\varphi(0))}{D_y f(0,\varphi(0))}=-\frac{0}{-2}=0[/mm].
>
> Könntet ihr das Alles mal kontrollieren und mich
> aufklären, was ich (wahrscheinlich) falsch gemacht oder
> bei der Aufgabe falsch verstanden habe? Irgendwie habe ich
> nicht das Gefühl irgendwas Produktives gemacht zu haben,
> außer einfach nur Zeugs in den Satz über implizite
> Funktionen eingesetzt zu haben.
Mehr war hier ja auch nicht gefordert. 
> Muss ich noch irgendwas mit
> der Umgebung von [mm]x[/mm], also [mm](-\varepsilon,\varepsilon)[/mm]
> anstellen? Offen ist die Umgebung ja offensichtlich.
> Müsste ich erst mit einer allgemeinen offenen Umgebung [mm]V_1[/mm]
> arbeiten, und dann [mm]U_1[/mm], also [mm]\varepsilon[/mm], so definieren,
> dass [mm]U_1\subseteq V_1[/mm], oder kann ich mir das schenken?
Es ist nach Definition klar, dass jede offene Umgebung eine offene Kugel, in diesem Fall das Intervall [mm] (-\varpesilon,\varepsilon) [/mm] enthält.
Da brauchst Du meiner Meinung nach nichts dazu zu schreiben.
LG
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![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]"){kind=small}
