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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 Di 01.03.2016 | | Autor: | Piba |
| Aufgabe | Beweisen Sie die folgende Aussagen:
[mm] \vektor{n + 1 \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ k - 1} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] für 1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n |
Guten Tag zusammen, ich habe folgende Aufgabe gerechnet, aber bin dabei stecken geblieben die Fakultäten zusammenzufassen bzw. auseinander zu ziehen. Kann mir evtl. einer eine Hilfestellung dazu geben? Dafür wäre ich sehr dankbar.
[mm] \vektor{n + 1 \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ k - 1} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k} \Rightarrow \bruch{n!}{(k-1)!(n - k - 1)!} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!}
[/mm]
Ich hatte auf jedem Fall vor die Gleichungen auf den gleichen Nenner zu bringen. Ich weiß, dass für (n + 1)! = n!(n + 1) gilt, aber mich verwirrt das ein wenig mit den (n - k - 1)!
Soll ich in der linken Gleichen ein mal mit k erweitern? Damit ich von (k-1)! auf k(k-1)! = k! komme?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 Di 01.03.2016 | | Autor: | Jule2 |
Hallo!
Ja das solltest du auf jeden Fall tun! Bleibt noch die Frage wie du von (n-k-1)!
auf (n-k)! kommst!
Hast du ne Idee?!?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Di 01.03.2016 | | Autor: | Piba |
> Hallo!
>
> Ja das solltest du auf jeden Fall tun!
Vielen dank, dann kann ich mich gleich damit weiter versuchen
> Bleibt noch die
> Frage wie du von (n-k-1)!
> auf (n-k)! kommst!
> Hast du ne Idee?!?
Vielleicht könnte man hier folgendermaßen vorgehen: (n-k-1)! * (n-k) = (n-k)! Kann doch nicht so einfach sein oder?
>
> LG
>
>
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> Vielleicht könnte man hier folgendermaßen vorgehen:
> (n-k-1)! * (n-k) = (n-k)! Kann doch nicht so einfach sein
> oder?
Hallo,
doch, so einfach ist es!
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Di 01.03.2016 | | Autor: | Piba |
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> > Vielleicht könnte man hier folgendermaßen vorgehen:
> > (n-k-1)! * (n-k) = (n-k)! Kann doch nicht so einfach sein
> > oder?
>
> Hallo,
>
> doch, so einfach ist es!
>
> LG Angela
Verrückt, manchmal tut man sich schwerer als es eigentlich ist. Ich habe jetzt weitergerechnet und habe folgendes raus:
[mm] \vektor{n + 1 \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ k - 1} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k} \Rightarrow \bruch{n!}{(k-1)!(n - k - 1)!} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] = [mm] \bruch{n!k}{(k-1)!k(n - k - 1)!} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] = [mm] \bruch{n!k(n-k)}{k!(n - k - 1)!(n-k)} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] = [mm] \bruch{n!k(n-k) + n!}{k!(n - k)!}
[/mm]
hmm, jetzt muss ich insgesamt auf [mm] \bruch{(n+1)!}{k!(n+1-k)!} [/mm] kommen, der Zähler aber gefällt mir aber nicht, wie soll man hier weiter vorgehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Di 01.03.2016 | | Autor: | Jule2 |
Mir ist gerade aufgefallen das du dich weiter vorne schon verrechnet hast!
Es ist [mm] \vektor{n \\ k - 1}=\bruch{n!}{(k-1)!*(n-(k-1))!}=\bruch{n!}{(k-1)!*(n-k+1)!} [/mm] und nicht [mm] \bruch{n!}{(k-1)!*(n-k-1)!}
[/mm]
Damit kommst du dann auch hoffentlich aufs richtige Ergebnis!!
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Di 01.03.2016 | | Autor: | Piba |
> Mir ist gerade aufgefallen das du dich weiter vorne schon
> verrechnet hast!
>
> Es ist [mm]\vektor{n \\ k - 1}=\bruch{n!}{(k-1)!*(n-(k-1))!}=\bruch{n!}{(k-1)!*(n-k+1)!}[/mm]
> und nicht [mm]\bruch{n!}{(k-1)!*(n-k-1)!}[/mm]
> Damit kommst du dann auch hoffentlich aufs richtige
> Ergebnis!!
>
> LG
Tatsache ist da ein Fehler drin, ich habe nun weiter so gerechnet:
[mm] \vektor{n + 1 \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n \\ k - 1} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ k} \Rightarrow \bruch{n!}{(k-1)!(n - k + 1)!} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] = [mm] \bruch{n!k}{k!(n - k + 1)!} [/mm] + [mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] = [mm] \bruch{n!k}{k!(n - k + 1)!} [/mm] + [mm] \bruch{n!(n - k + 1)}{k!(n - k)!(n - k + 1)} [/mm] = [mm] \bruch{n!k}{k!(n - k + 1)!} [/mm] + [mm] \bruch{n!(n - k + 1)}{k!(n - k + 1)!} [/mm] = [mm] \bruch{n!k + n!n - n!k + n!}{k!(n - k + 1)!} [/mm] = [mm] \bruch{n!n + n!}{k!(n - k + 1)!} [/mm] = [mm] \bruch{n!(n + 1)}{k!(n - k + 1)!} [/mm] = [mm] \bruch{(n + 1)!}{k!(n - k + 1)!} [/mm] = [mm] \vektor{n + 1 \\ k}
[/mm]
Ist das richtig so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Di 01.03.2016 | | Autor: | Jule2 |
Ja sieht gut aus!
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:21 Di 01.03.2016 | | Autor: | Piba |
Super vielen dank für die Hilfe!
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