Auflösung einer Gleichung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] (\bruch{1}{5})^n \leq [/mm] 0,008 |
Lösungsweg a)
[mm] (\bruch{1}{5})^n \leq [/mm] 0,008
Nutze den logarithmus zur Basis 0,2:
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] log_{0,2} ((\bruch{1}{5})^n) \leq log_{0,2} [/mm] (0,008)
[mm] \gdw
[/mm]
n [mm] \leq log_{0,2} [/mm] (0,008) = 3
Lösungsweg b)
[mm] (\bruch{1}{5})^n \leq [/mm] 0,008
[mm] |*(\bruch{5}{1})^n
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] (\bruch{1}{5})^n [/mm] * [mm] (\bruch{5}{1})^n \leq [/mm] 0,008 [mm] (\bruch{5}{1})^n
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
1 [mm] \leq [/mm] 0,008 [mm] (\bruch{5}{1})^n
[/mm]
|/ 0,008
[mm] \gdw
[/mm]
125 [mm] \leq 5^n
[/mm]
[mm] |log_{5}()
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] log_{5}(125) \leq [/mm] n
3 [mm] \leq [/mm] n
Also liegt im Lösungsweg a wohl ein Fehler (ergibt auch nach Aufgabenstellung keinen Sinn) - aber WO?
danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 Mi 09.03.2011 | | Autor: | barsch |
Hi,
warum denn einfach, wenn es auch kompliziert geht 
1. Möglichkeit:
[mm] (\bruch{1}{5})^n\leq{0,008}\gdw n*ln(\bruch{1}{5})\le{ln(0,008)}
[/mm]
beachte dabei, dass [mm] ln(\bruch{1}{5})<0 [/mm] - was wird dann aus [mm] \le [/mm] ?
2. Möglichkeit:
0,008 als Bruch schreiben [mm] (0,008=\bruch{1}{125}). [/mm] Dann sieht man die Lösung sofort.
Aber versuch dich lieber am 1. Weg. Der 2. geht ja nur, weil die Aufgabenstellung so glücklich gewählt ist.
Gruß
barsch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Mi 09.03.2011 | | Autor: | barsch |
Hi,
deine Antwort ist doch gar nicht so falsch
> [mm](\bruch{1}{5})^n \leq[/mm] 0,008
> Lösungsweg a)
>
> [mm](\bruch{1}{5})^n \leq[/mm] 0,008
> Nutze den logarithmus zur Basis 0,2:
> [mm]\gdw[/mm]
> [mm]log_{0,2} ((\bruch{1}{5})^n) \leq log_{0,2}[/mm] (0,008)
> [mm]\gdw[/mm]
Deine Schreibweise irritierte mich...
> n [mm]\leq log_{0,2}[/mm] (0,008) = 3
[mm] (\bruch{1}{5})^n\leq{0,008}\gdw n\ge{log_{0,2}0,008}=\bruch{log(0,008)}{log(0,2)}=3
[/mm]
[mm] \le{} [/mm] zu [mm] \ge{}, [/mm] weil [mm] \math{log(0,2)<0}.
[/mm]
Bei Lösungsweg b) auch [mm] \le{} [/mm] zu [mm] \ge{}, [/mm] weil [mm] \math{log(0,2)<0} [/mm] beachten.
Gruß
barsch
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Folgere ich da richtig, dass man [mm] \leq [/mm] umdrehen muss, wenn man den logarithmus anwendet genau dann, wenn die Basis < 1 ist? (denn log (1) = 0 und log (x) x<1 ist negativ) ?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 Do 10.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Es gilt für c>0:
Ist c>1, so ist die Funktion [mm] f_c(x):= log_c(x) [/mm] monoton wachsend. Aus a [mm] \le [/mm] b folgt also:
[mm] log_c(a) \le log_c(b).
[/mm]
Ist c<1, so ist die Funktion [mm] f_c(x):= log_c(x) [/mm] monoton fallend . Aus a [mm] \le [/mm] b folgt also:
[mm] log_c(a) \ge log_c(b).
[/mm]
(a,b > 0)
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:17 Fr 11.03.2011 | | Autor: | wwfsdfsdf2 |
Also genau, was ich gesagt habe :) - danke für diese Erkenntnis :)
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