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Hallo,
ich habe die funktion [mm] f(x)=(e^{1/x})/(x^2)
[/mm]
meine Aufleitung ist -e^(1/x)
weil das 1/x ja zu [mm] -1/x^2 [/mm] abgeleitet wird .
Ist das richtig ?
Das versteh ich nicht
drüber steht logaritmische Integratíon
das [mm] \integral_{(-1)}^{1} {(e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x) dx}
[/mm]
was mir aufgefallen ist ist das die eine funktion die ABleitung und zugleich afleitung der anderen ist.
Wie geh ich da ran ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 So 15.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo philipp
> Hallo,
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> ich habe die funktion [mm]f(x)=(e^{1/x})/(x^2)[/mm]
> meine Aufleitung ist -e^(1/x)
>
> weil das 1/x ja zu [mm]-1/x^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
abgeleitet wird .
> Ist das richtig ?
Ja, gut!
> Das versteh ich nicht
> drüber steht logaritmische Integratíon
wenn man die Ableitung von ln(f(x)) bildet bekommt man doch :
(ln(f(x)) )'=\bruch{f'}{f}
wenn man also irgendwie in einem Integral sieht, das der Zähler die Ableitung des Nenners ist, kann man die Stammfunktion direkt als ln(Nenner) hinschreiben.
Den "Trick" solltest du dir unbedingt merken. sonst muss man in solchen Fällen erst substituieren, dann kommt man auch zum Ergebnis, aber auf Umwegen und mit mehr Fehlermöglichkeiten.
ein ähnlicher "Trick" ist zu sehen dass (\wurzel{f{x})'=\bruch{f'}{2*\wurzel{f}} ist . ich benutz den auch öfter. (zusätzliche Zahlenfaktoren in Zähler oder Nenner klammert man vorher aus.)
> das [mm]\integral_{(-1)}^{1} {(e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x) dx}[/mm]
>
> was mir aufgefallen ist ist das die eine funktion die
> ABleitung und zugleich afleitung der anderen ist.
gut, dass du das gesehen hast, mit obiger Anleitung ist das das wichtigste!
Gruss leduart
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Hey danke leduart,
also das war ja ganz einfach.
Ich habs so gemacht :
[mm] ln(e^x+e^{-x}) [/mm] und das ist ja dann das ergebniss.
WIe hätte man es dann kompliziert gemacht ?
ln(x) ist doch abgeleitet 1/x
danke
Philipp
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Hallo philipp-100,
> Ich habs so gemacht :
>
> [mm]ln(e^x+e^{-x})[/mm] und das ist ja dann das ergebniss.
>
> WIe hätte man es dann kompliziert gemacht ?
mit Substitution sieht das so aus:
Wählt man hierzu folgende Substitution
[mm]
\begin{gathered}
z\; = \;e^x \; + \;e^{ - x} \hfill \\
\Rightarrow \;dz\; = \;e^x \; - \;e^{ - x} \;dx \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
so ergibt sich dann:
[mm]
\int {\frac{{e^x \; - \;e^{ - x} }}
{{e^x \; + \;e^{ - x} }}\;dx} \; = \;\int {\frac{{dz}}
{z}} \; = \;\ln \left( z \right)\; = \;\ln \left( {e^x \; + \;e^{ - x} } \right)[/mm]
Also auch nicht komplizierter.
Gruß
MathePower
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verstehe nicht wie du auf dz und z gekommen bist und warum du dann einen ln plötzlich hattest.
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Hallo philipp-100,
> verstehe nicht wie du auf dz und z gekommen bist und warum
Die Ableitung schreibt sich [mm]z'(x)[/mm] auch als [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm].
[mm]
\begin{gathered}
z(x)\; = \;e^x \; + \;e^{ - x} \hfill \\
\ \;z'\; = \;e^x \; - \;e^{ - x} \hfill \\
\Leftrightarrow \;\frac{{dz}}
{{dx}}\; = \;e^x \; - \;e^{ - x} \;|\; \cdot \;dx \hfill \\
\Rightarrow \;dz\; = \;e^x \; - \;e^{ - x} \;dx \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Diese Substitution habe ich dann in das Integral eingesetzt:
[mm]
\int {\frac{{e^x \; - \;e^{ - x} }}
{{e^x \; + \;e^{ - x} }}} \;dx\; = \;\int {\frac{{\left( {e^x \; - \;e^{ - x} } \right)\;dx}}
{{e^x \; + \;e^{ - x} }}} \; = \;\int {\frac{{dz}}
{z}} \; = \;\ln \;z[/mm]
> du dann einen ln plötzlich hattest.
z ist jetzt eine Variable wie x.
Deshalb ist die Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{z}[/mm] ist [mm]\ln\;z[/mm].
Gruß
MathePower
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