Aufklärung einer Wurzelreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:17 So 16.06.2013 | | Autor: | Triops |
Guten Abend,
ich sitze schon seit einigen Tagen an einer Theorie und bin nun in den letzten Zügen der Berechnung. Beim Zusammenfassen der bisherigen Ergebnisse erhalte ich folgende hochinteressante Wurzelreihe:
[mm] \wurzel{2+\wurzel{3}}
[/mm]
[mm] \wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{3}}}
[/mm]
[mm] \wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{3}}}}
[/mm]
[mm] \wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{3}}}}}
[/mm]
[mm] \wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{3}}}}}}
[/mm]
[mm] \wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{2+\wurzel{3}}}}}}} [/mm] ...
Nach einigem Knobeln ist es mir aber nicht möglich, die Struktur dieser Reihe zu bestimmen.
Aus diesem Grund möchte ich mich an Euch wenden, da ihr mit Sicherheit mehr Erfahrung mit solchen Verfahren habt, als ich.
Vielen Dank jetzt schon für eure Zeit!
Anmerkung: Wie oben divergiert die Reihe natürlich, da [mm] \wurzel{2+\wurzel{3}} [/mm] > [mm] \wurzel{3}, [/mm] aber im Kontext der Anwendung (Bestandteil einer unendlichen Summe) tut sie dies nicht. Es geht hier wirklich nur um die "Strukturaufklärung".
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:34 Mo 17.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
was meinst du mit Struktur, du hast [mm] a_{n+1}=(2+a_n)^{1/2} [/mm] , [mm] a_0=\sqrt{3}
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:50 Mo 17.06.2013 | | Autor: | Triops |
Vielen Dank, Leduart!
Dieser Ausdruck bringt doch schonmal Klarheit in die Sache. Trotzdem stellt sich mir immer noch die Frage: Ist es möglich, diesen Ausdruck in Form einer Zahlenreihe aufzuschreiben (Als Summenfolge)?
In dieser Form macht das natürlich wenig Sinn, weil die Summe mit n [mm] \to \infty [/mm] divergiert, aber ich würde mich sehr darüber freuen, zu sehen, wie dies in diesem Fall umgesetzt wird.
Gruß!
Tenzing
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:11 Mo 17.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich glaube kaum, dass das geht, wieso sollte es, und yu was brauchst du es?
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:27 Mo 17.06.2013 | | Autor: | Triops |
Okay, danke für die Klarstellung.
Ich werde das Problem dann wohl auf andere Weise angehen und meine Funde hier nochmal ansprechen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Mi 19.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank, Leduart!
>
> Dieser Ausdruck bringt doch schonmal Klarheit in die Sache.
> Trotzdem stellt sich mir immer noch die Frage: Ist es
> möglich, diesen Ausdruck in Form einer Zahlenreihe
> aufzuschreiben (Als Summenfolge)?
Du kannst jede Folge auch als Reihe schreiben (und umgekehrt ist jede
Reihe auch eine Folge, nämlich die Folge ihrer Teilsummen). Das lernt man
im ersten Semester:
Ist [mm] ${(a_n)}_{n=1}^\infty$ [/mm] eine Folge, so definiere
[mm] $$b_1:=a_1$$
[/mm]
und
[mm] $$b_n:=a_n-a_{n-1} \text{ für }n \ge 2\,.$$
[/mm]
Dann gilt für jedes $n [mm] \in \IN=\IN_{\ge 1}$
[/mm]
[mm] $$\sum_{k=1}^n b_k=b_1+\sum_{k=2}^n b_k=a_1+\sum_{k=2}^n (a_k-a_{k-1})=a_1+\sum_{k=2}^n a_k\;-\;\sum_{k=1}^{n-1}a_k=a_1+(a_n-a_1)=a_n\,.$$
[/mm]
(Mit [mm] $\sum_{\emptyset}...=0$ [/mm] gilt das obige Ergebnis insbesondere auch so für [mm] $n=1\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo Triops,
diese Folge divergiert keineswegs. Sie konvergiert gegen 2.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:55 Mo 17.06.2013 | | Autor: | Triops |
Hi Reverend,
könntest du mir bitte zeigen, wie man auf dieses Ergebnis kommt?
Gruß
Tenzing
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:28 Mo 17.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hi Reverend,
>
> könntest du mir bitte zeigen, wie man auf dieses Ergebnis
> kommt?
Ich bin nicht der Reverend, aber ein wenig Mathematik kann ich dennoch.
Wir haben
$ [mm] a_{n+1}=(2+a_n)^{1/2} [/mm] $ , $ [mm] a_0=\sqrt{3} [/mm] $
Zeige: [mm] (a_n) [/mm] ist beschränkt und monoton. Nach dem Monotoniekriterium ist [mm] (a_n) [/mm] konvergent. Sei a der Limes von [mm] (a_n)
[/mm]
Aus $ [mm] a_{n+1}=(2+a_n)^{1/2} [/mm] $ folgt dann
$ [mm] a=(2+a)^{1/2} [/mm] $
FRED
>
> Gruß
>
> Tenzing
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Mo 17.06.2013 | | Autor: | Triops |
Hi Fred,
vielen Dank für deine Antwort!
Ich befürchte jedoch, dass ich dir noch nicht ganz folgen kann:
Wenn wir bei der Folge
[mm] a_{n+1}=(2+a_{n})^{1/2}; a_{0}=\wurzel{3}
[/mm]
mit n [mm] \to \infty [/mm] gehen (nachdem gezeigt wurde, dass das Monotoniekriterium [mm] a_{n} \le a_{n+1} [/mm] gilt) und damit der Grenzfall erfüllt wird, dass
[mm] a_{n+1}=a_{n}=a
[/mm]
[mm] \Rightarrow a=(2+a)^{1/2}
[/mm]
Wie lässt sich daraus nun der reelle Grenzwert dieser Folge herleiten?
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Hallo Tenzing,
> vielen Dank für deine Antwort!
>
> Ich befürchte jedoch, dass ich dir noch nicht ganz folgen
> kann:
>
> Wenn wir bei der Folge
>
> [mm]a_{n+1}=(2+a_{n})^{1/2}; a_{0}=\wurzel{3}[/mm]
>
> mit n [mm]\to \infty[/mm] gehen (nachdem gezeigt wurde, dass das
> Monotoniekriterium [mm]a_{n} \le a_{n+1}[/mm] gilt)
Die Beschränktheit gehört auch unbedingt (!) dazu. Dazu ist hier zu zeigen [mm] a_n<2\Rightarrow a_{n+1}<2.
[/mm]
> und damit der
> Grenzfall erfüllt wird, dass
>
> [mm]a_{n+1}=a_{n}=a[/mm]
Das wird nie der Fall sein. Unter den beiden obigen Voraussetzungen gilt aber
[mm] \lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}a_n=a
[/mm]
> [mm]\Rightarrow a=(2+a)^{1/2}[/mm]
>
> Wie lässt sich daraus nun der reelle Grenzwert dieser
> Folge herleiten?
Na, man löst die Gleichung nach a auf. Dann hat man die beiden Lösungen [mm] a_{I}=-1 [/mm] und [mm] a_{II}=2 [/mm] und muss sich noch begründet entscheiden. 
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:44 Mo 17.06.2013 | | Autor: | Triops |
Vielen Dank für Deine Geduld!
Du hast mir enorm weitergeholfen und ich kann jetzt endlich weiterrechnen.
Gruß!
Tenzing
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:03 Mo 17.06.2013 | | Autor: | Triops |
Dank Deiner Hilfe konnte ich nun mein bisheriges Ergebnis drastisch vereinfachen.
Nun bin ich zu folgendem Ausdruck angelangt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}((2-a_{n+1})*(2-a_{n})^{1/2})
[/mm]
Mit steigendem Laufindex nähert sich jede weitere Partialsumme dem Wert 0 (da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=2).
[/mm]
Nun frage ich mich: Hat diese unendliche Reihe einen direkt bestimmbaren Grenzwert oder muss dieser über einen Algorithmus näherungsweise berechnet werden?
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Hallo nochmal,
das sieht schon deutlich schwieriger aus.
> Dank Deiner Hilfe konnte ich nun mein bisheriges Ergebnis
> drastisch vereinfachen.
> Nun bin ich zu folgendem Ausdruck angelangt:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}((2-a_{n+1})*(2-a_{n})^{1/2})[/mm]
>
> Mit steigendem Laufindex nähert sich jede weitere
> Partialsumme dem Wert 0 (da
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=2).[/mm]
>
> Nun frage ich mich: Hat diese unendliche Reihe einen direkt
> bestimmbaren Grenzwert oder muss dieser über einen
> Algorithmus näherungsweise berechnet werden?
Näherungsweise geht das ganz leicht, einfach ausrechnen. Die Reihe konvergiert sehr schnell. Ich bin nun nicht ganz sicher, womit sie beginnt, also was eigentlich [mm] a_0 [/mm] ist.
Für [mm] a_0=\wurzel{3} [/mm] ist ein Näherungswert für die Reihe etwa 0,040383076872, für [mm] a_0=\wurzel{2+\wurzel{3}} [/mm] ergibt sich etwa 0,00510689646147.
Ich denke aber, dass man den Grenzwert auch genau bestimmen kann, allerdings nur mit sehr viel Mühe.
Als erstes wäre dafür hilfreich, die Reihe darzustellen als eine Folge von Partialsummen. Dazu wäre es schön, wenn man einen "einfacheren" Ausdruck für [mm] 2-a_n [/mm] finden könnte. Das sehe ich im Moment aber nicht.
Ich denk mal drüber nach und lasse die Frage ansonsten halboffen.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 Mo 17.06.2013 | | Autor: | Triops |
Danke Dir!
Ich werde mich in der Zwischenzeit auch mal dransetzen und versuchen, den Ausdruck zu vereinfachen. Mit den Näherungswerten kann ich schon arbeiten und habe jetzt geprüft, ob mein Ansatz überhaupt stimmte, und es kommt das richtige Ergebnis heraus.
Weiterhin aber wäre natürlich der genaue Wert am besten.
Ich bin schon sehr gespannt auf Deine Ideen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mi 19.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:29 Mi 19.06.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Triops,
unser matux, der geht heimlich durch die Foren und hakt ältere Threads sozusagen ab, deren Fälligkeit abgelaufen ist. Du kannst übrigens beim Verfassen einer Frage selbst die Fälligkeit einstellen und somit steuern, wann dies theoretisch passiert.
Du hattest jetzt so reagiert, dass du den Startbeitrag wieder auf unbeantwortet gesetzt hast. Ich hielt es für zielführender, den alten Zustand wieder herzustellen und habe den Startbeitrag wieder auf beantwortet, deine aktuelle Frage aber als teilweise beantwortet eingestellt und die Fälligkeit mal um 1 Woche nach hinten geschoben.
Ist das ok so?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:56 Do 20.06.2013 | | Autor: | Triops |
Hallo Diophant,
danke für deinen Hinweis!
Das geht soweit klar, denn es sieht ganz danach aus, als seien wir schon nah an der Lösung dran. Mehr, als ich mir erhofft hatte, weil es mir anfänglich tatsächlich nur um die Natur der Reihe ging.
Die weiterführenden Erkenntnisse haben wirklich nichts mehr mit der Ausgangsfrage zu tun und sind wirklich viel besser im Status der Unterfrage aufgehoben.
Gruß und schönen Abend!
Tenzing
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Mi 19.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Dank Deiner Hilfe konnte ich nun mein bisheriges Ergebnis
> drastisch vereinfachen.
> Nun bin ich zu folgendem Ausdruck angelangt:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}((2-a_{n+1})*(2-a_{n})^{1/2})[/mm]
>
> Mit steigendem Laufindex nähert sich jede weitere
> Partialsumme dem Wert 0 (da
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=2).[/mm]
Du benutzt den Begriff der Partialsumme falsch. Und das, was Du meinst,
ist trivial und auch unter dem Namen "Trivialkriterium" bekannt:
Falls eine Reihe [mm] $\sum b_k$ [/mm] (als Folge ihrer Partialsummen!) konvergiert, so muss
in notwendiger Weise [mm] $\lim_{n \to \infty}b_n=0$ [/mm] gelten.
Aber nochmal kurz:
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}((2-a_{n+1})*\sqrt{2-a_{n}})$
[/mm]
ist Deine Reihe mit den [mm] $a_n\,,$ [/mm] die Leduart angegeben hatte?
[mm] $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ [/mm] , [mm] $a_0=\sqrt{3} [/mm] $
Na, ich rechne dann mal
[mm] $2-a_{n+1}=2-\sqrt{2+a_n}=\frac{2+\sqrt{2+a_n}}{2+\sqrt{2+a_n}}(2-\sqrt{2+a_n})=\frac{4-2-a_n}{2+\sqrt{2+a_n}}=\frac{2-a_n}{2+\sqrt{2+a_n}}=\frac{2-a_n}{2+a_{n+1}}$
[/mm]
Guck' mal, ob ich mich nicht verrechnet habe und ob Dir das Ergebnis
[mm] $4-{a_{n+1}}^2=(2-a_{n+1})*(2+a_{n+1})=2-a_n$
[/mm]
hilft!
Gruß,
Marcel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:25 Mi 19.06.2013 | | Autor: | Triops |
Hi Marcel,
vielen Dank für deine Antwort und den Hinweis auf meinen Irrtum bzgl. des Partialsummenbegriffs!
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}((2-a_{n+1})*\sqrt{2-a_{n}})$
[/mm]
ist die Reihe, die ich nach der Aufklärung von [mm] a_{n} [/mm] bestimmen konnte. Deine Annahme ist richtig.
Dein Ergebnis hat mir sehr weitergeholfen! Den oberen Ausdruck konnte ich nun wie folgt umformen:
= [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{2-a_{n}}{2+a_{n+1}}*\sqrt{2-a_{n}})$
[/mm]
= [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{(2-a_{n})^\bruch{3}{2}}{2+a_{n+1}})$
[/mm]
= [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{(4-(a_{n+1})^2)^\bruch{3}{2}}{2+a_{n+1}})$
[/mm]
= [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}(\sqrt{(2-a_{n+1})^3}*\sqrt{a_{n+1}+2})$
[/mm]
= [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}(\sqrt{(2-a_{n+1})^3*(2+a_{n+1})})
[/mm]
Der Vollständigkeit wegen: [mm] a_{n+1}=\sqrt{2-a_{n}}; a_{0}=\sqrt{3}
[/mm]
Ich habe dieses Ergebnis überprüft und mit Werten aus der Ausgangsreihe verglichen. Für $n<5$ kommen die gleichen Werte heraus (Für [mm] n\ge5 [/mm] mit Sicherheit auch, weil der Ausdruck formal äquivalent ist).
Weiter bin ich leider nicht gekommen, weil ich die Konvergenzkriterien nicht kenne. Lässt sich der letzte Ausdruck vereinfachen oder sogar ein reeller Grenzwert der Summe bestimmen? Über Hilfe würde ich mich sehr freuen!
Besten Gruß!
Tenzing
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:34 Do 20.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Triops,
> Hi Marcel,
>
> vielen Dank für deine Antwort und den Hinweis auf meinen
> Irrtum bzgl. des Partialsummenbegriffs!
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}((2-a_{n+1})*\sqrt{2-a_{n}})[/mm]
> ist die Reihe, die ich nach der Aufklärung von [mm]a_{n}[/mm]
> bestimmen konnte. Deine Annahme ist richtig.
>
> Dein Ergebnis hat mir sehr weitergeholfen! Den oberen
> Ausdruck konnte ich nun wie folgt umformen:
>
> =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{2-a_{n}}{2+a_{n+1}}*\sqrt{2-a_{n}})[/mm]
>
> =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{(2-a_{n})^\bruch{3}{2}}{2+a_{n+1}})[/mm]
>
> =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{(4-(a_{n+1})^2)^\bruch{3}{2}}{2+a_{n+1}})[/mm]
>
> =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\sqrt{(2-a_{n+1})^3}*\sqrt{a_{n+1}+2})[/mm]
>
> = [mm]$\summe_{n=0}^{\infty}(\sqrt{(2-a_{n+1})^3*(2+a_{n+1})})[/mm]
>
> Der Vollständigkeit wegen: [mm]a_{n+1}=\sqrt{2-a_{n}}; a_{0}=\sqrt{3}[/mm]
am Grenzwert ändern wir auch nichts, wenn wir
[mm] $$\summe_{n=\red{1}}^{\infty}(\sqrt{(2-a_{\red{n}})^3*(2+a_{\red{n}})})$$
[/mm]
schreiben. Ob das viel bringt, um den Reihenwert zu berechnen, weiß ich,
ehrlich gesagt, nicht. Aber es ist sicherlich schonmal übersichtlicher, als wenn
wir sowohl [mm] $a_n$ [/mm] als auch [mm] $a_{n+1}$ [/mm] in der Reihe stehen haben.
Um die Reihe überhaupt mal auf Konvergenz zu prüfen: Ich denke, dass
man das hier am geschicktesten erstmal mit dem Quotientenkriterium
versucht.
Generell ist aber die Berechnung konkreter Reihenwerte "eine Kunst für sich"!
Es kann sein, dass uns hier ein Kunststück gelingt, aber das kann ich bis
jetzt nicht sagen; dafür habe ich mir auch zu wenig Gedanken über die
Aufgabe gemacht!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 Do 20.06.2013 | | Autor: | Triops |
Ich mag hier vielleicht etwas übersehen, aber haben wir die Konvergenz dieser Reihe nicht schon anhand des Trivialkriteriums gezeigt? Für den umgeformten Term gilt schließlich auch, dass der [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=2$ [/mm] ist.
Ich werde mich dransetzen und knobeln und bin schon sehr auf deine Ideen gespannt!
Zur Schreibweise: Der Vorteil der Nutzung von [mm] "$a_{n+1}$" [/mm] und einem Startwert von $0$ ist die Tatsache, dass es die "allgemeine" Summenschreibweise ist und man ganz einfach
[mm] \summe_{}^{}(\sqrt{ (2-a_{n+1})^3 * (2+a_{n+1}) }) [/mm]
notieren kann.
Natürlich ist das Geschmackssache! Mir gefallen beide Schreibweisen, weil deine Version andererseits übersichtlicher ist.
Gruß!
Tenzing
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:27 Do 20.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich mag hier vielleicht etwas übersehen, aber haben wir
> die Konvergenz dieser Reihe nicht schon anhand des
> Trivialkriteriums gezeigt?
nein, das ist nur ein NOTWENDIGES, aber kein HINREICHENDES Konvergenzkriterium.
Es gilt also:
[mm] $$\sum a_n \text{ konvergent } \Longrightarrow a_n \to 0\,,$$
[/mm]
aber
[mm] $$\sum a_n \text{ konvergent } \Longleftarrow a_n \to 0\,,$$
[/mm]
ist i.a. falsch:
Beispiel: [mm] $\sum a_n=\sum 1/n\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:32 Fr 21.06.2013 | | Autor: | Triops |
Vielen Dank, Marcel!
Dein Beispiel der harmonischen Reihe [mm] $\sum a_n=\sum{1/n}$ [/mm] hat mich auf die Idee gebracht, dass wir unsere Reihe mit einer vergleichen sollten, die in jedem Glied kleiner oder gleich ist.
Wenn diese Reihe divergiert, so hätten wir gezeigt, dass dies auch bei unserer der Fall ist. Natürlich ist dies keine hinreichende Bedingung für Konvergenz, aber wir könnten damit schon eine Möglichkeit ausschließen, sofern die "kleinere" Reihe divergiert.
Wenn du nicht schneller als ich bist, so werde ich morgen daran knobeln ;).
Gruß!
Tenzing
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:36 Fr 21.06.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Tenzing,
> Dein Beispiel der harmonischen Reihe [mm]\sum a_n=\sum{1/n}[/mm] hat
> mich auf die Idee gebracht, dass wir unsere Reihe mit einer
> vergleichen sollten, die in jedem Glied kleiner oder gleich
> ist.
> Wenn diese Reihe divergiert, so hätten wir gezeigt, dass
> dies auch bei unserer der Fall ist. Natürlich ist dies
> keine hinreichende Bedingung für Konvergenz, aber wir
> könnten damit schon eine Möglichkeit ausschließen,
> sofern die "kleinere" Reihe divergiert.
Die Mühe musst Du Dir gar nicht machen. Ich schrieb doch schon, dass Deine Reihe schnell konvergiert.
> Wenn du nicht schneller als ich bist, so werde ich morgen
> daran knobeln ;).
Such lieber eine konvergente Majorante, z.B. [mm] \bruch{1}{n^2}. [/mm]
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:26 Fr 21.06.2013 | | Autor: | Triops |
Hi reverend,
ich sehe im Moment keine Möglichkeit, eine Majorante der Reihe zu finden, die selbst nicht divergiert oder aus der sich [mm] $1/n^2$ [/mm] ziehen lässt.
Hast du eine Idee?
Gruß!
Tenzing
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:59 Fr 21.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo triops,
> Hi reverend,
>
> ich sehe im Moment keine Möglichkeit, eine Majorante der
> Reihe zu finden, die selbst nicht divergiert oder aus der
> sich [mm]1/n^2[/mm] ziehen lässt.
> Hast du eine Idee?
ich mach' das mit dem QK, wie angekündigt:
Du hast [mm] $a_0=\sqrt{3}$ [/mm] und [mm] $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\,,$ [/mm] und wir hatten bereits
erkannt:
[mm] $$(2-a_{n+1})*(2+a_{n+1})=2-a_n\,.$$
[/mm]
Ihr habt schon einiges über [mm] $(a_n)$ [/mm] gesagt, insbesondere, soweit ich mich erinnere,
dass stets $2 > [mm] a_n \to [/mm] 2$ gilt. Dann folgt
[mm] $$\frac{2-a_{n+1}}{2-a_n}=\frac{1}{2+a_{n+1}} \to \frac{1}{4}\,.$$
[/mm]
Wendet man das QK auf
[mm] $$\summe_{n=\red{1}}^{\infty}(\sqrt{(2-a_{\red{n}})^3\cdot{}(2+a_{\red{n}})})$$
[/mm]
an:
[mm] $$\left|\frac{\sqrt{(2-a_{n+1})^3*(2+a_{n+1})}}{\sqrt{(2-a_{n})^3*(2+a_{n})}}\right|=\sqrt{\left(\frac{2-a_{n+1}}{2-a_n}\right)^3}*\sqrt{\frac{2+a_{n+1}}{2+a_n}} \to \sqrt{\frac{1}{4^3}}*\sqrt{\frac{4}{4}}=\sqrt{\frac{1}{2^6}}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8} [/mm] < [mm] 1\,.$$
[/mm]
Also
[mm] $$\limsup_{n \to \infty} \left|\frac{\sqrt{(2-a_{n+1})^3*(2+a_{n+1})}}{\sqrt{(2-a_{n})^3*(2+a_{n})}}\right|=1/8 [/mm] < [mm] 1\,.$$
[/mm]
Daher konvergiert die Reihe!
P.S. ![[]](/images/popup.gif) Link zum QK
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:27 Sa 22.06.2013 | | Autor: | Triops |
Hey Marcel,
vielen Dank für diese excellente Arbeit und deine Zeit!
Wir sind in der Aufklärung dieser Reihe schon sehr weit gekommen, mit der letzten großen Herausforderung der Eigenwertberechnung, die du passend als "Kunst für sich" bezeichnet hast ^^.
Ich werde mich an die Sache setzen, knobeln und dann meine Erkenntnise hier teilen.
Gruß!
Tenzing
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:40 Sa 22.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Triops,
> Hey Marcel,
>
> vielen Dank für diese excellente Arbeit und deine Zeit!
> Wir sind in der Aufklärung dieser Reihe schon sehr weit
> gekommen, mit der letzten großen Herausforderung der
> Eigenwertberechnung, die du passend als "Kunst für sich"
> bezeichnet hast ^^.
Du meinst die Reihenwertberechnung. Es gibt auch Eigenwerte, aber in
einem anderen Zusammenhang (siehe Lineare Algebra).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:42 Sa 22.06.2013 | | Autor: | Triops |
Danke Marcel, war mein Fehler :).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Fr 21.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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