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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:32 Do 25.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Entschuldigung, dass ich das Forum hier so zuspame, aber ich habe noch ein paar Aufgaben, bei denen ich mir überhaupt nicht sicher bin:
Eine weitere Aufgabe:
X1:={y element Z, y ist gerade}
X2:={y element Z, y ist durch 6 teilbar}
$X1\X2:=\{y \in Z, y \, gerade\, und\, nicht \, durch \, 6 \, teilbar\}$
Kann man das noch weiter vereinfachen?
$X2:={y \in Z , es\, gibt \,ein \, z\in Z\, mit\, y^2+z^2 \le 2$
$x4:={y \in Z, (y^4 +y^2-2)(y^2-2y)=0}$
Hier habe ich mal wieder Schwierigkeiten bei $X_2 \times X_4$
für X2 habe ich ja schon herausbekommen: {-1,0,1}
für X4 habe ich für y herausbekommen:{-1,1,2}
Folglich ist $X_2 \times X_4=\{(-1,-1),(-1,1),(-1,2),(0,-1),(0,1),(0,2),(1,-1),(1,1),(1,2)\}$
Noch eine Aufgabe:
Für Welche $i,j \in \{1,...,5\}, i\not=j \, gilt \, X_i \subseteq X_j$?
Wenn aber i nicht j sein darf, dann kann $X_i$ doch niemals eine Teilmenge von $X_j$ sein oder habe ich irgendwo einen Denkfehler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:40 Do 25.10.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Um hier nicht unnötig lange Threads aufzubauschen, eröffne für neue Aufgaben auch bitte jeweils einen neuene / eigenständigen Thread, danke.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Do 25.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Entschuldigung, dass ich das Forum hier so zuspame, aber
> ich habe noch ein paar Aufgaben, bei denen ich mir
> überhaupt nicht sicher bin:
Dafür ist dieses Forum da!
> Eine weitere Aufgabe:
> X1:={y element Z, y ist gerade}
> X2:={y element Z, y ist durch 6 teilbar}
>
> [mm]X1\X2:=\{y \in Z, y \, gerade\, und\, nicht \, durch \, 6 \, teilbar\}[/mm]
>
> Kann man das noch weiter vereinfachen?
Siehe meine Antwort hier. Da hattest du die Menge schon korrekt vereinfacht.
> [mm]X2:={y \in Z , es\, gibt \,ein \, z\in Z\, mit\, y^2+z^2 \le 2[/mm]
>
> [mm]x4:={y \in Z, (y^4 +y^2-2)(y^2-2y)=0}[/mm]
>
> Hier habe ich mal wieder Schwierigkeiten bei [mm]X_2 \times X_4[/mm]
>
> für X2 habe ich ja schon herausbekommen: {-1,0,1}
Genau, das hatten wir ja schon.
> für X4 habe ich für y herausbekommen:{-1,1,2}
Die 0 hast du vergessen. Vermutlich hast du beim Lösen der Gleichung durch y geteilt, ohne eine Fallunterscheidung nach [mm] $y\not=0$ [/mm] bzw. $y=0$ zu machen.
> Folglich ist [mm]X_2 \times X_4=\{(-1,-1),(-1,1),(-1,2),(0,-1),(0,1),(0,2),(1,-1),(1,1),(1,2)\}[/mm]
Schön! Das ist folgerichtig. Für die eigentliche Lösung beachte, dass auch 0 Element von [mm] $X_4$ [/mm] ist.
> Noch eine Aufgabe:
> Für Welche [mm]i,j \in \{1,...,5\}, i\not=j \, gilt \, X_i \subseteq X_j[/mm]?
Bitte poste mal [mm] $X_1,X_2,X_3,X_4$ [/mm] und [mm] $X_5$ [/mm] aus der Aufgabenstellung!
> Wenn aber i nicht j sein darf, dann kann [mm]X_i[/mm] doch niemals
> eine Teilmenge von [mm]X_j[/mm] sein
Doch.
Ich gehe jetzt mal von
[mm] $X_2=\{-1,0,1\}$ [/mm] und
[mm] $X_4=\{-1,0,1,2\}$ [/mm] aus.
Dann ist [mm] $X_2$ [/mm] eine Teilmenge von [mm] $X_4$, [/mm] denn alle Elemente von [mm] $X_2$ [/mm] sind auch Elemente von [mm] $X_4$.
[/mm]
Also gilt [mm] $X_i\subseteq X_j$ [/mm] z.B. für $i=2$ und $j=4$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Do 25.10.2012 | | Autor: | Duckx |
Kannst du eventuell mal den Lösungsweg für die elemente y von X4 posten? Ich bin jetzt davon ausgegangen dass das produkt 0 wird, wenn der Faktor 0 wird. Dabei habe ich aber wie du schon gesagt hast vergessen die ganze formel zu betrachten.
Ah ok dann habe ich die Aufgabe falsch verstanden mit xi und Xj
[mm] $X_1:=\{y \in Z , y\, ist \, gerade\}$
[/mm]
[mm] $X_2:=\{y \in Z , es \, gibt \, ein \, z \in Z \, mit \, y^2 + z^2 \le 2\}$
[/mm]
[mm] $X_3:=\{y \in Z , y\, ist \, durch \, 6 \, teilbar\}$
[/mm]
[mm] $X_4:=\{y \in Z , (y^4+y^2-2)(y^2-2y)=0\}$
[/mm]
[mm] $X_5:=\{y \in Z , 3y^2 \, ist \, durch \, 4 \, teilbar\}$
[/mm]
Also zusammenfassend kann man sagen, dass [mm] $X_i \subseteq X_j$ [/mm] für:
i=2 und j=4
i=3 und j=1
i=5 und j=1
gilt oder ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Do 25.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Kannst du eventuell mal den Lösungsweg für die elemente y
> von X4 posten? Ich bin jetzt davon ausgegangen dass das
> produkt 0 wird, wenn der Faktor 0 wird. Dabei habe ich aber
> wie du schon gesagt hast vergessen die ganze formel zu
> betrachten.
Es war $ [mm] X_4:=\{y \in Z, (y^4 +y^2-2)(y^2-2y)=0\} [/mm] $.
In der Tat ist das Produkt [mm] (y^4 +y^2-2)(y^2-2y) [/mm] gleich 0 genau dann, wenn mindestens einer der beiden Faktoren 0 ist.
Schauen wir uns zunächst den Faktor [mm] $y^4+y^2-2$ [/mm] an und faktorisieren ihn: [mm] $y^4+y^2-2=(y^2+2)(y^2-1)$. [/mm] Somit ist er genau für dann 0, wenn [mm] $y^2+2=0$ [/mm] oder [mm] $y^2-1=0$.
[/mm]
[mm] $y^2+2=0$ [/mm] wird von keiner ganzen Zahl erfüllt (denn es gilt stets [mm] $y^2+2\ge0+2>0$, [/mm] da das Quadrat jeder reellen Zahl [mm] $\ge0$ [/mm] ist).
[mm] $y^2-1=0$ [/mm] ist gleichbedeutend mit [mm] $y^2=1$, [/mm] also mit [mm] $y=\pm\wurzel1=\pm1$.
[/mm]
Der Faktor [mm] $y^2-2y$ [/mm] lässt sich wie folgt faktorisieren: [mm] $y^2-2y=y(y-2)$. [/mm] Somit ist er 0 genau dann, wenn y=0 oder y=2.
Insgesamt erhalten wir so die Lösungen 1,-1,0 und 2 für die Ausgangsgleichung.
> Ah ok dann habe ich die Aufgabe falsch verstanden mit xi
> und Xj
> [mm]X_1:=\{y \in Z , y\, ist \, gerade\}[/mm]
> [mm]X_2:=\{y \in Z , es \, gibt \, ein \, z \in Z \, mit \, y^2 + z^2 \le 2\}[/mm]
>
> [mm]X_3:=\{y \in Z , y\, ist \, durch \, 6 \, teilbar\}[/mm]
>
> [mm]X_4:=\{y \in Z , (y^4+y^2-2)(y^2-2y)=0\}[/mm]
> [mm]X_5:=\{y \in Z , 3y^2 \, ist \, durch \, 4 \, teilbar\}[/mm]
>
> Also zusammenfassend kann man sagen, dass [mm]X_i \subseteq X_j[/mm]
> für:
> i=2 und j=4
> i=3 und j=1
> i=5 und j=1
> gilt oder ?
Alle diese i und j stimmen, es fehlen allerdings noch zwei solche Paare.
Es gilt [mm] $X_1=X_5$. [/mm] Somit [mm] $X_1\subseteq X_5$ [/mm] und [mm] $X_3\subseteq X_1=X_5$. [/mm] Also sind noch die Paare i=1, j=5 sowie i=3, j=5 zu nennen.
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