Aufgabe zur vollst. Induktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Sa 02.10.2004 | | Autor: | Meli |
Ich habe diese Frage in keinem weiterem Forum gestellt.
Hallo Matheraum-Team,
Ich benötige bei folgender Aufgabe eure Hilfe.
Zeigen sie durch vollständige Induktion für n größer-gleich 1 und x ungleich 1, dass gilt:
[mm] (x^{n+1} [/mm] - 1) : (x 1) = 1 + x + [mm] x^{2} [/mm] + ... + [mm] x^{n} [/mm] .
Ich habe bisher:
Ind.anfang:
n = 1 x + 1 = x + 1 (somit bewiesen)
Ind.annahme:
Behauptung gilt für n = k
[mm] x_{k} [/mm] = 1 + x+ ... + [mm] x^{k} [/mm] + [mm] x^{k+1} [/mm] = [mm] (x^{k+1} [/mm] 1) : (x 1)
Ind.schritt:
z.z. Behauptung gilt für k + 1
[mm] x_{k+1} [/mm] = .... Jetzt komm ich einfach nicht weiter.
???Stimmt das soweit überhaupt???
Fände es echt toll, wenn ihr mir helfen könntet. Vielen Dank schon mal im Voraus!
Mit freundlichen Grüßen
Meli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Sa 02.10.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo meli!
> Ich habe bisher:
>
> Ind.anfang:
> n = 1 x + 1 = x + 1 (somit
> bewiesen)
Das muss man noch ein bisschen ausführlicher hinschreiben. Für n = 1 gilt die Aussage:
[mm] \bruch{x^{1+1} - 1}{x - 1} [/mm] = [mm] x^{1} [/mm] + 1
denn:
(x + 1)(x - 1) = [mm] x^{2} [/mm] - 1
> Ind.annahme:
> Behauptung gilt für n = k
> [mm]x_{k}[/mm] = 1 + x+ ... + [mm]x^{k}[/mm] + [mm]x^{k+1}[/mm] = [mm](x^{k+1}[/mm] – 1) :
> (x –1)
>
> Ind.schritt:
> z.z. Behauptung gilt für k + 1
> [mm]x_{k+1}[/mm] = .... Jetzt komm ich einfach nicht
> weiter.
Was meinst du, wenn du x indizierst: [mm] x_{k}, x_{k+1} [/mm] ???
Ich würde das Ganze folgendermaßen lösen:
Stimme die Aussage für n = k, also
[mm] \bruch{x^{k+1} - 1}{x - 1} [/mm] = [mm] x^{k} [/mm] + ... + 1
Dann gilt für n = k + 1:
[mm] \bruch{x^{k+2} - 1}{x - 1}
[/mm]
[mm] =\bruch{x^{k+2} - x^{k+1} + x^{k+1} - 1}{x - 1}
[/mm]
[mm] =\bruch{x^{k+2} - x^{k+1}}{x - 1} [/mm] + [mm] \bruch{x^{k+1} - 1}{x - 1}
[/mm]
[mm] =x^{k+1} [/mm] + [mm] x^{k} [/mm] + ... + 1
Bei dem letzten Schritt mache ich Gebrauch von der Induktionsannahme.
Gruß Clemens
P.S. Für diesen Beitrag gilt x [mm] \not= [/mm] 1
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