Aufgabe zur Teilbarkeit < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [math]4ab-1[/math] teilt [math]4a^2-1[/math] nur dann, wenn [math]a=b[/math] ist, wobei [math]a,b\in \mathbb{N}[/math] gilt. |
Also ist meine Lösung so in Ordnung?
Es gilt [math]\frac {4a^2-1} {4ab-1}\in \mathbb{N}[/math] zu zeigen. Da ist gleichbedeutend mit [math]\exists j\in \mathbb{N}:4abj-j=4a^2-1[/math]. Weiter ist [math]4bj=4a-\frac{1} {a}+\frac {j} {a}[/math]. Außerdem darf ohne Einschränkungen [math]b\in \{s\mid 14a+l[/math]. Der Induktionsanfang fordert [math]4ab>4a+1[/math]. Weil [math]b\in G[/math] ist folgt [math]4a+1<4a+4a\leq4ab[/math], also wahr. Sei nun die Behauptung bis [math]l[/math] richtig. Nun zeigen wir es für [math]l+1[/math]. Also folgt [math]4abl+4ab>4a+l+1[/math]. Durch umstellen erhält man [math]4ab-1=4a+l-4abl[/math]. Wegen [math]a\in \mathbb{N}[/math] und [math]b\in G[/math], folgt [math]4ab-1\in \mathbb{N}[/math]. Weiter ist nach Induktionsannahme [math]4a+l-4abl<0[/math]. Also gilt tatsächlich [math]4ab-1>4a+l-4abl[/math]. damit folgt [math]4abj+4b\neq 4a+j[/math], mit [math]b\in G[/math] und [math]j\in U[/math]. Mit den Bedingungen [math]b\in G[/math] und [math]j\in U[/math] gilt die Gleichung nicht und damit wird [math][mm] 4a^2-1[/mm] [math] nicht geteilt. Teilbarkeit wird nur bei [math]j=1[/math] und [math]b=a[/math] erreicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:27 Do 14.08.2008 | | Autor: | PeterB |
Das ist richtig allerdings recht umständlich. Hier eine Alternative:
Falls [mm] $(4ab-1)|(4a^2-1)$ [/mm] folgt [mm] $(4ab-1)|[(4a^2-1)-(4ab-1)]$ [/mm] und damit [mm] $(4ab-1)|(4a^2-4ab)$. [/mm] Nun ist aber $4ab-1$ teilerfremd zu $4a$ und daher: $(4ab-1)|(a-b)$ Die rechte Seite ist offensichtlich kleiner als die linke, daher kann die Teilbarkeit nur für rechte Seite $=0$ also $a=b$ erfüllt sein.
Gruß
Peter
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