Aufgabe zur Exponentialverteil < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:12 Do 29.05.2008 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Hallo!
Es geht um folgende Aufgabe:
Bei einer Ampelanlage sind für jedes Rotlichtsignal zwei Glühbirnen eingebaut. Fällt die erste Birne wegen Defekts aus, wird automatisch auf die zweite Glühbirne umgeschaltet. Die Lebensdauern X und Y der beiden Glühbirnen sind unabhängig und exponentialverteilt mit der Ausfallrate λ=0,02.
a) Geben sie die gemeinsame Verteilung der Lebensdauern der beiden Glühbirnen in einem Rotlichtsignal an.
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat jede der beiden Glühbirnen eines Rotlichtsignals mindestens eine Lebensdauer von 1 Jahr?
c) Bestimmen Sie die Verteilung der Lebensdauer eines Rotlichtsignals.
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Zu Lösung hab ich bisher folgende Ansätze:
Zur Lösung hab ich zunächst mal die Wahrscheinlichkeitsdichte und die Verteilungsfunktion dargestellt:
W'dichte:
[mm] f(x)=\begin{cases} \lambda*e^{-\lambda x}, & \mbox{für } x \le 0\mbox \\ 0, & \mbox{für } x < 0\end{cases}
[/mm]
Als Wahrscheinlichkeitsdichte ergibt sich dann (durch entsprechende Integration der W'dichtefunktion):
[mm] F(x)=\begin{cases} 1-e^{-\lambda x}, & \mbox{für } x \ge 0 \\ 0, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}
[/mm]
zu a)
Zunächst hab ich einmal 2 Zufallsvariabeln definiert:
X1: Lebensdauer erste Birne
X2: Lebensdauer zweite Birne
Weil die beiden Zufallsvariablen stetig und unabhängig sind, ergibt sich die gemeinsame Verteilung aus der Multiplikation der Einzelverteilungen, also:
[mm] F(x1,x2)=F(x1)*F(x2)=(1-e^{-\lambda x1})*(1-e^{-\lambda x2})
[/mm]
Ich bin mir aber nicht sicher, ob das so stimmt, denn ich habe zu dieser Aufgabe auch schon eine Lösung gesehen, bei der hier, statt der beiden Verteilungsfunktionen, die beiden Wahrscheinlichkeitsdichten eingesetzt wurden. Also folgendermaßen:
[mm] f(x1,x2)=f(x1)*f(x2)=(\lambda [/mm] * [mm] e^{-\lambda x})*\lambda [/mm] * [mm] (e^{-\lambda x})
[/mm]
Allerdings denke ich, dass man mit diesem 2. Lösungsversuch lediglich den Beweis der Unabhängigkeit der beiden Zufallsvariablen erbracht hat und nicht eine gemeinsame Verteilung wie gefordert berechnet hat.
zu b) Auch hier habe ich wieder die Unabhängigkeit der Zufallsvariablen ausgenutzt.
P(X1>=1,X2>=1)=P(X1>=1)*P(X2>=1)
->(Komplementbildung)
=(1-P(X1<1))*(1-P(X2<1)
->(Ergebnis aus a) verwendet
[mm] =(1-(1-e^{-\lambda})*(1-(1-e^{-\lambda})
[/mm]
[mm] =(e^{-lambda})^{2}
[/mm]
[mm] =(e^{-lambda}*2)
[/mm]
[mm] =(e^{-0,004}
[/mm]
[mm] \approx [/mm] 0,96
-> Jede Glühbirne hält mit 96% iger Wahrscheinlichkeit länger als ein Jahr.
c)Hier ist wohl die Verteilung der Summe der beiden Zufallsvariablen von Bedeutung. (->Faltungsintegral=Dichte der Summe der Zufallsvariablen)
Also:
[mm] F(x1+x2)=\integral_{\infinity}^{-\infinity}{f(x1)*f(x) dx1}
[/mm]
Festlegung: X=X1+X2 : Lebensdauer des Rotlíchtsignals (neue Zufallsvariable)
Forderung: Das Argument der Dichte von X1 muss positiv sein.
X muss größer x1 sein.
Nur dann wird die gemeinsame Dichte positiv.
Also nochmal:
[mm] F(X)=\integral_{\infinity}^{-\infinity}{f(x1)*f(x-x1) dx1}
[/mm]
-> (es gilt: x2=x-x1) -> zur vereinfachten Berechnung
[mm] =F(X)=\integral_{0}^{x}{\lambda*e^{-lambda x1}*\lambda e ^{x-x1} dx1}
[/mm]
...
[mm] =\lambda^{2}*e^{-lambda x} [/mm] * X (nach Integration und einsetzen der Grenzen)
Ist dies nun mein Ergebnis zu c)? Wenn ja, was sagt das denn aus? Wenn nein...wer hat einen Tipp für mich?
Gruß, Ralf
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 31.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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