Aufgabe zum Zentralen GW-Satz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:52 So 05.05.2013 | | Autor: | saendra |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Guten Morgen.
Dieselbe Aufgabe muss ich auch mit dem Zentralen Grenzwertsatz lösen:
In einer Umfrage werden stichprobenartig $n$ Personen von allen Wahlberechtigten befragt und davon sind $S_n$ für Stuttgart 21.
Wie groß sollte $n$ mindestens sein, damit der durch die Umfrage prognostizierte Anteil $\frac{S_n}{n}$ der Befürworter und der tatsächliche Anteil $p\in (0,4;0,6)$ der Befürworter (also aller Wahlberechtigter) sich mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 5% um mehr als 0,01 voneinander unterscheiden? |
Die Angben der Befragten sollen unabhängig und binomialverteilt sein. n soll diesmal mit dem Zentralen Grenzwertsatz von Moivre und Laplace $\limes_{n\to \infty}P\left(\frac{S_n-nE(S_n)}{\sqrt{nVar(S_n)}}\leq x\right)=\integral_{-\infty}^x{\frac{e^{-\frac{x^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}} dx$ werden.
Aber es fehlt mir wie bei der anderen Aufgabe die zündende Idee :(
Kann mir jemand weiterhelfen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:47 So 05.05.2013 | | Autor: | luis52 |
>
> Aber es fehlt mir wie bei der anderen Aufgabe die zündende
> Idee :(
Moin, gesucht ist $n$ mit [mm] $P(|S_n/n-p|>0.01)\le0.05$. [/mm] Davon gibt es unendlich viele. Waehle das kleinste.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 So 05.05.2013 | | Autor: | saendra |
Hi Luis,
genau so habe ich es mittlerweile auch hinbekommen und vor mir auf dem Schmierzettel stehen  danke.
Aber entweder ich stehe auf dem Schlauch oder bekomm es einfach so nicht hin $ [mm] P(|S_n/n-p|>0.01) [/mm] $ zu berechnnen :(
Kannst Du mir noch einen kleinen Tipp geben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:04 So 05.05.2013 | | Autor: | luis52 |
> Aber entweder ich stehe auf dem Schlauch oder bekomm es
> einfach so nicht hin [mm]P(|S_n/n-p|>0.01)[/mm] zu berechnnen :(
>
[mm] $P(|S_n/n-p|>0.01)\le [/mm] 0.05 [mm] \iff P(|S_n/n-p|\le0.01)\ge [/mm] 0.95 [mm] \iff P(np-0.01n\le S_n\le np+0.01n)\ge [/mm] 0.95$. Nutze aus, dass [mm] $S_n$ [/mm] approximativ normalverteilt ist.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 So 05.05.2013 | | Autor: | saendra |
Wow vielen Dank Luis!
Damit ich ausnutzen kann, dass $ [mm] S_n [/mm] $ approximativ normalverteilt ist, muss es doch auf die Form
$ [mm] P\left(x\leq\frac{S_n-nE(S_n)}{\sqrt{nVar(S_n)}}\leq y\right) [/mm] $
bringen, oder?
$ [mm] P(np-0.01n\le S_n\le np+0.01n)\ge [/mm] 0.95 [mm] \iff P(-0.01n\le S_n-np\le 0.01n)\ge [/mm] 0.95 $
Aber was ist die Varianz von [mm] $S_n$?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 So 05.05.2013 | | Autor: | luis52 |
> Wow vielen Dank Luis!
Gerne.
>
>
> Aber was ist die Varianz von [mm]S_n[/mm]?
[mm] $S_n$ [/mm] ist binomialverteilt, so dass [mm] $Var[S_n]=np(1-p)$.
[/mm]
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 So 05.05.2013 | | Autor: | saendra |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
nochmals danke :)
hm dann wäre also $P(-0,01\leq S_n\leq 0,01)\ =\ P\left(-\bruch{0,01}{\sqrt{p(1-p)}}\leq \frac{S_n-np}{n\sqrt{p(1-p)}}\leq \frac{0,01}{\sqrt{p(1-p)}}\right)\ =\ \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\integral_0^{\frac{0,01}{\sqrt{p(1-p)}}}{e^{-{frac{x^2}{2}}dx}\leq 0,95$
Aber da kommt ja gar kein $n$ mehr vor? Ohje ich stelle mich echt blöd an :(
Ich brauche nochmal deine Hilfe...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 So 05.05.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin,
*ich* rechne so:
$ [mm] P(-0.01n\le S_n-np\le 0.01n)\ge [/mm] 0.95 [mm] \iff P\left(\dfrac{-0.01n}{\sqrt{np(1-p)}}\le \dfrac{S_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\le \dfrac{0.01n}{\sqrt{np(1-p)}}\right)\ge [/mm] 0.95$
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 So 05.05.2013 | | Autor: | saendra |
Hi. Vielen Dank nochmals.
Aber muss nicht $n$ im Nenner stehen anstatt [mm] $\sqrt{n}$, [/mm] damit ich das Integral anwenden kann?
GLG Sandra
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 So 05.05.2013 | | Autor: | luis52 |
[mm] $Var[S_n]=np(1-p)$. [/mm] Bei der Standardisierung erscheint [mm] $\sqrt{Var[S_n]}$ [/mm] im Nenner.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 So 05.05.2013 | | Autor: | saendra |
Danke.
Ja stimmt. Aber im Nenner sollte doch [mm] $\sqrt{nVar(S_n)}$ [/mm] stehen oder? Also mit zusätzlichem $n$ unter der Wurzel?
Tut mir leid. Ich hoffe ich gehe dir nicht auf die Nerven...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 So 05.05.2013 | | Autor: | luis52 |
>
> Ja stimmt. Aber im Nenner sollte doch [mm]\sqrt{nVar(S_n)}[/mm]
> stehen oder? Also mit zusätzlichem [mm]n[/mm] unter der Wurzel?
>
>
Nein, ![[]](/images/popup.gif) da schau her.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 So 05.05.2013 | | Autor: | saendra |
Ich hoffe du bist es nicht müde "Danke" von mir zu hören
Endlich bin ich wieder am PC und muss nicht vom Handy aus tippen.
Denn das ist ja aber wirklich seltsam: Bei uns im Skript steht nämlich $ [mm] \dots P\left(a\leq \frac{S_n-nE(S_n)}{{\sqrt{n}}\cdot \sqrt{Var(S_n)}}\leq b\right)=\dots [/mm] $ und bei Wiki $ [mm] \dots P\left(a\leq \frac{S_n-nE(S_n)}{\sqrt{Var(S_n)}}\leq b\right)=\dots [/mm] $ ohne Wurzel $n$ im Nenner.
Ich habe es jetzt als mit der von Dir gemacht:
$ [mm] P\left(-\dfrac{0.01\sqrt{n}}{\sqrt{p(1-p)}}\le \dfrac{S_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\le \dfrac{0.01\sqrt{n}}{\sqrt{p(1-p)}}\right) \mbox{ Was kommt hier für ein Zeichen dazwischen? Ein '='?}\qquad 2\! \integral_0^{\frac{0,01\sqrt{n}}{\sqrt{p(1-p)}}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp{\left(-\frac{x^2}{2}\right)} dx\, \ge \, [/mm] 0.95 $
Mit der oberen Grenze 1,65 hätte dann laut unsere Tabelle mit 0,9505 die kleinste Zahl, die größer-gleich 0,95 ist.
Also [mm] $\frac{0,01\sqrt{n}}{\sqrt{p(1-p)}}=1,6\iff \dots [/mm] ... [mm] \iff [/mm] n=27225p(1-p)$ ?
Stimmt das dann?
GLG Sandra
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 So 05.05.2013 | | Autor: | luis52 |
>
> Also [mm]\frac{0,01\sqrt{n}}{\sqrt{p(1-p)}}=1,6\iff \dots ... \iff n=27225p(1-p)[/mm]
> ?
>
> Stimmt das dann?
>
>
Leider nicht. 1.65 ist der 95%-Punkt der Standardnormalverteilung. Du musst aber mit dem 97.5%-Punkt 1.96 rechnen.
Weil ich gleich meinen Schoenheitsschlaf benoetige, geben ich noch einen Tipp zu deiner naechsten Frage. Das $p$ geht in die Formel ein. Es ist $ [mm] p\in [/mm] (0,4;0,6) $. Suche dort das $p$, welches $p(1-p)$ maximiert.
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:37 Mo 06.05.2013 | | Autor: | saendra |
Lieber Luis,
mit deiner letzten verbesserung hattst du wieder recht ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
Ich habe es jetzt geschafft dieses n zu bestimmen. Vielen lieben Dank für deine Hilfe und alles!
GLG Sandra
|
|
|
|
