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| Aufgabe | Sei X ein Hilbertraum, K [mm] \subseteq [/mm] X nicht leer konvex und abgeschlossen. Zeigen Sie:
1) Es existiert genau 1 Element y [mm] \in [/mm] X mit minimaler Norm
2) Jede minimierende Folge [mm] (x_{k}) \subset [/mm] K mit [mm] ||x_{k}|| \to inf_{x \in K}||x|| [/mm] (k [mm] \to\infty) [/mm] konvergiert gegen y. |
Hallo!
Alsoich vermute hinter der Aufgabe grundsätzlich den Projektionssatz, allerdings hänge ich schon an der Aufgabenstellung:
Was versteht man denn unter minimaler Norm? So wie ich mir das gerade vorstelle wär das genau [mm] inf_{x \in K}||x|| [/mm] womit die 2) ja sinnlos wäre?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:45 Mo 12.07.2010 | | Autor: | dazivo |
Hallo
Zu 1) : Sollte da nicht $y [mm] \in [/mm] K$ stehen? Denn sonst nehme $y=0$, welche ja sicher die kleinste Norm hat.
Nehmen wir mal an es steht $y [mm] \in [/mm] K$. "Minimierende Norm" habe ich ehrlich gesagt auch noch nie gehört, aber ich vertraue mal meiner Intuition und gehe mal davon aus, dass 1) nichts anderes sagt als:
[mm] $\exists [/mm] ! y [mm] \in [/mm] K$ sodass [mm] $\parallel [/mm] y [mm] \parallel \leq \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] , [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] K$.
Ich glaube man könnte hier mit dem Projektionssatz argumentieren, aber es geht auch ohne!
Eindeutigkeit: Wie gewöhnlich, nehme an es gibt zwei von der Sorte, [mm] $y_1$ [/mm] und [mm] $y_2$ [/mm] beide in $K$ enthalten. Wären diese verschieden, so hätte man (aufgrund der Definition einer Norm) [mm] $\parallel y_1 -y_2 \parallel [/mm] > 0$.
Die Konvexität von $K$ impliziert, dass $z:= [mm] \frac{1}{2}(y_1 [/mm] + [mm] y_2) \in [/mm] K$.
Die Annahme, dass [mm] $y_1$ [/mm] und [mm] $y_2$ [/mm] die kleinste Norm haben, impliziert, dass [mm] $\parallel y_1 \parallel [/mm] = [mm] \parallel y_2 \parallel$. [/mm] Die Parallelogrammidentität sagt uns zusammen mit der obigen Diskussion, dass [mm] $\parallel [/mm] z [mm] \parallel [/mm] < [mm] \parallel y_1 \parallel$. [/mm] Und das ist der gewünschte Widerspruch!
Existenz: Nimm eine Folge [mm] $(x_n)_n \subseteq [/mm] K$, sodass [mm] $\parallel x_n \parallel \to \inf_{y \in K} \parallel [/mm] y [mm] \parallel$ [/mm] für $n [mm] \to \infty$. [/mm] (Solch eine Folge kann man immer finden: nutze einfach die Definition des Infimums). Zeige dann mittels der Parallelogramm Gleichung, dass [mm] $(x_n)_n$ [/mm] eine Cauchyfolge ist. Die Abgeschlossenheit impliziert, dass der Grenzwert $x$ (, der sicher existiert weil $H$ ein Hilbertraum ist) in $K$ enthalten ist. Identifiziere nun diesen Grenzwert.
Du hast dann 1) und 2) gleichzeitig bewiesen!
Ich hoffe, ich konnte helfen
Gruss dazivo
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Hallo!
Vielen Dank erstmal!
Leider steht in der Aufgabe bei 2) wirklich ein inf x und kein inf y (d.h. der Aufgabentext ist so wie er oben steht richtig)!
Aber rundsätzlich müsste das doch so ähnlich funktionieren... oder ändert das die ganze Aufgabe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:47 Mo 12.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Vielen Dank erstmal!
> Leider steht in der Aufgabe bei 2) wirklich ein inf x und
> kein inf y (d.h. der Aufgabentext ist so wie er oben steht
> richtig)!
>
> Aber rundsätzlich müsste das doch so ähnlich
> funktionieren... oder ändert das die ganze Aufgabe?
Nein. Die Aufgabe lautet:
1) Es existiert genau 1 Element y $ [mm] \in [/mm] $ K mit minimaler Norm
2) Jede minimierende Folge $ [mm] (x_{k}) \subset [/mm] $ K mit $ [mm] ||x_{k}|| \to inf_{x \in K}||x|| [/mm] $ (k $ [mm] \to\infty) [/mm] $ konvergiert gegen y.
Dazivo hats vorgemacht
FRED
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Dankeschön :)
Bei der Eindeutigkeit von y reicht es doch schon zu sagen dass [mm]0<||y_{1}-y_{2}||<=||y_{1}||-||y_{2}||=0[/mm], oder?
Und die Idee hinter der Existenz habe ich denke ich verstanden, aber wieso kann ich den Grenzwert denn mit y identifizieren?
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Keine Ahnung zur zweiten Frage, aber:
> Bei der Eindeutigkeit von y reicht es doch schon zu sagen
> dass [mm]0<||y_{1}-y_{2}||<=||y_{1}||-||y_{2}||=0[/mm], oder?
>
>
Nein, das geht nicht weil
[mm] ||y_{1}-y_{2}|| [/mm] = [mm] ||y_{1}+(-1)y_{2}|| [/mm] <= [mm] ||y_{1}|| [/mm] + [mm] ||(-1)y_{2}|| [/mm] = [mm] ||y_{1}|| [/mm] + |(-1)| * [mm] ||y_{2}|| [/mm] = [mm] |y_{1}|| [/mm] + [mm] ||y_{2}|| [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Mo 12.07.2010 | | Autor: | dazivo |
Hallo
Ich wollte nicht die ganze Lösung hinschreiben, denn du sollst ja auch was daraus lernen! Aber wenn es nicht anders geht...
Also nochmals: Du nimmst an es gebe zwei [mm] $y_1$ [/mm] und [mm] $y_2$ [/mm] in $K$, die beide minimierende Norm haben: also [mm] $\parallel y_i \parallel \leq \parallel [/mm] x [mm] \parallel$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] K$ $i = 1,2$. Da beide [mm] $y_i$'s [/mm] in $K$ enthalten sind, folgt nach Annahme: [mm] $\parallel y_1 \parallel \leq \parallel y_2 \parallel$ [/mm] und umgekehrt! D.h [mm] $\parallel y_1 \parallel [/mm] = [mm] \parallel y_2 \parallel$. [/mm] Wir nehmen desweiteren an, dass [mm] $y_1 \neq y_2$, [/mm] denn sonst wäre die ganze Eindeutigkeitsgeschichte sinnlos! Die Definition der Norm (Zur Erinnerung: ein Hilbertraum ist insbesondere ein Banachraum) sagt uns, dass [mm] $\parallel y_1 [/mm] - [mm] y_2 \parallel [/mm] > 0$. Die Konvexität von $K$ impliziert, dass $z := [mm] \frac{1}{2}(y_1 [/mm] + [mm] y_2) \in [/mm] K$, denn $z$ ist eine Konvexkombination der [mm] $y_i$'s! [/mm] Wir wollen jetzt zeigen, dass [mm] $\parallel [/mm] z [mm] \parallel [/mm] < [mm] \parallel y_i \parallel$. [/mm] Diese Ungleichung stünde aber im Widerspruch zur Annahme, dass die [mm] $y_i$'s [/mm] minimierende Norm haben!
Hier benutzen wir die Parallelogrammgleichung, die in jedem Hilbertraum bzw. sogar in jedem Innenproduktraum (oder manchmal auch Prähilbertraum genannt) gilt:
[mm] $\forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] H$ [mm] 2(\parallel [/mm] a [mm] \parallel^2 [/mm] + [mm] \parallel [/mm] b [mm] \parallel^2) [/mm] = [mm] \parallel [/mm] a+b [mm] \parallel^2 [/mm] + [mm] \parallel [/mm] a-b [mm] \parallel^2.
[/mm]
Jetzt setzt du $a = [mm] \frac{1}{2}y_1$ [/mm] und $b = [mm] \frac{1}{2}y_2$. [/mm] Dann sieht die obige (Parallelogramm-) Gleichung wie folgt aus:
Zur Erinnerung: [mm] $\parallel y_1 \parallel [/mm] = [mm] \parallel y_2 \parallel$.
[/mm]
[mm] $\parallel y_1 \parallel^2 [/mm] = [mm] \frac{1}{2}(\parallel y_1 \parallel^2 [/mm] + [mm] \parallel y_2 \parallel^2) [/mm] = [mm] 2(\parallel \frac{1}{2}y_1 \parallel^2 [/mm] + [mm] \parallel \frac{1}{2}y_2 \parallel^2) \underbrace{=}_{Parallelogr.GL} \parallel \underbrace{\frac{1}{2}(y_1 + y_2)}_{=z} \parallel^2 [/mm] + [mm] \underbrace{\parallel \frac{1}{2}(y_1 - y_2)\parallel^2}_{>0, Nach Annahme} [/mm] > [mm] \parallel [/mm] z [mm] \parallel^2 [/mm] .
Zur Existenz:
Nimm eine minimierende Folge [mm] $(x_n)_n \subseteq [/mm] K$ deren Norm gegen das Infimum [mm] $\inf_{a \in K} \parallel [/mm] a [mm] \parallel [/mm] $ konvergiert. Zeige mittels der Parallelogrammgleichung, dass [mm] $x_n$ [/mm] eine Cauchyfolge ist. Die Vollständigkeit von $H$ impliziert die Existenz eines Grenzwertes $x$ und die Abgeschlossenheit von $K$ widerrum, dass [mm] $x\in [/mm] K$ ist. Da die Norm bezüglich der von ihr induzierten Topologie eine stetige Abbildung definiert, folgt, dass
[mm] $\inf_{a \in K} \parallel [/mm] a [mm] \parallel [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} \parallel x_n \parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel$, [/mm] d.h insbesondere [mm] $\parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] = [mm] \inf_{a \in K } \parallel [/mm] a [mm] \parallel \leq \parallel [/mm] b [mm] \parallel [/mm] $ für alle $b [mm] \in [/mm] K$.
Die Eindeutigkeit von oben impliziert jedoch, dass $x$ das eindeutige Element ist mit minimierender Norm.
Ich hoffe, ich konnte dir helfen
gruss dazivo
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