Aufgabe zum Körper(isomorphismus) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Do 13.11.2003 | | Autor: | Laura20 |
Hallo liebe Wissende!
Folgende Aufgabe bereitet mir echt Schwierigkeiten, obwohl sie angeblich ganz einfach sein soll:
Es sei f: R (pfeil) R die bijektive Abbildung mit f(x)=3x+2. Geben Sie eine "Addition" (+) : RxR (pfeil) R und eine
Multiplikation (*) : RxR (pfeil) R an, so dass (R,(+),(*)) ein Körper ist und die Abbildung f ein Körperisomorphismus f: (R, +, *) (pfeil) (R,(+),(*)) ist.
Annmerkung : R steht für die Menge der reellen Zahlen, (pfeil) heißt, das hier ein Abbildungs(Funktions-)pfeil steht.
Wäre wirklich sehr nett, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte, ich bin kurz vorm verrückt werden wegen dieser Aufgabe.
Vielen lieben Dank schon mal im voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:26 Fr 14.11.2003 | | Autor: | Stefan |
Hallo Laura!
Also:
Gesucht ist eine Addition
[mm]\oplus \, : \ \begin{array}{ccc}\mathbb{R}\times\mathbb{R} & \to & \mathbb{R}\\[5pt](x,y) & \mapsto & x \oplus y
\end{array}[/mm]
und eine Multiplikation
[mm]\odot \, : \ \begin{array}{ccc}\mathbb{R}\times\mathbb{R} & \to & \mathbb{R}\\[5pt](x,y) & \mapsto & x \odot y\ ,
\end{array}[/mm]
so dass [mm](\mathbb{R},\oplus,\odot)[/mm] ein Körper und
[mm]f \, : \ \begin{array}{ccc} (\mathbb{R},+,\cdot) & \to & (\mathbb{R},\oplus,\odot)\\[5pt]
x & \mapsto & 3\cdot x +2\end{array}[/mm]
ein Körperisomorphismus wird.
Bezeichnet man mit [mm]0_{\mbox{\scriptsize neu}}[/mm] das neutrale Element bezüglich [mm]\oplus[/mm] und mit
[mm]1_{\mbox{\scriptsize neu}}[/mm] das neutrale Element bezüglich [mm]\odot[/mm], dann ist zunächst klar, dass
[mm]0_{\mbox{\scriptsize neu}} = f(0) = 2[/mm]
und
[mm]1_{\mbox{\scriptsize neu}} = f(1)=5[/mm]
gelten muss. Aus den Homomorphismuseigenschaften
[mm]f(x+y) = f(x) \oplus f(y)[/mm]
und
[mm]f(x\cdot y) = f(x) \odot f(y)[/mm]
folgt notwendigerweise:
[mm]3\cdot(x+y)+2 = 3x + 3y + 2 = (3\cdot x + 2) \oplus (3\cdot y + 2)[/mm]
und
[mm]3\cdot (x\cdot y)+2 = (3\cdot x+2) \odot (3\cdot y+2).[/mm]
Substituiert man nun [mm]a=3\cdot x+2[/mm] und [mm]b=2\cdot y+2[/mm], so folgt:
[mm]a \oplus b = a+b-2[/mm]
und
[mm]a \odot b = \frac{(a-2)\cdot(b-2)}{3} + 2.[/mm]
Dadurch sind jetzt eine Addition [mm]\oplus[/mm] und eine Multiplikation [mm]\odot[/mm] definiert. Der Rest ist nur noch Formsache und nahezu trivial.
Ich überlasse es dir zur Übung zu zeigen, dass jetzt [mm](\mathbb{R},\oplus,\odot)[/mm] tatsächlich ein Körper und [mm]f:(\mathbb{R},+,\cdot) \to (\mathbb{R},\oplus,\odot)[/mm] ein Körperisomorphismus (Injektivität und Surjektivität sind trivial) ist.
Melde dich bitte wieder bei Fragen. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mi 19.11.2003 | | Autor: | Laura20 |
Vielen Dank für die schnelle Hilfe Stefan, der Matheraum ist echt spitze. Hab euch schon fleissig weiterempfohlen, kann also sein das ihr bald ne Menge zu tun bekommt ;)
Gruß Laura
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