Aufgabe zum Automorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:42 Do 24.01.2013 | | Autor: | Aguero |
| Aufgabe | Für t [mm] \in \IR [/mm] definiere [mm] f_{t} \in End(\IR^{3}) [/mm] durch f (x,y,z) = (x+z, x+2y+z, tx+y-z).
a) Für welche t [mm] \in \IR [/mm] ist [mm] f_{t} [/mm] ein Automorphismus?
b) Berechnen siie in diesen Fällen [mm] f_{t}^{-1} [/mm] . |
a) Automorphismus hat ja die selbe Eigenschaft wie ein Endomorphismus, mit dem Zusatz, dass Aut noch bijektiv ist.
Muss ich jetzt schauen für welche elemente aus [mm] \IR [/mm] eine bijektion vorhanden ist?
wenn ich f Anwende, lande ich doch von jedem [mm] \IR [/mm] wieder in [mm] \IR [/mm] oder nicht?
und noch zur Aufgabenstellung:
f (x,y,z) = (x+z, x+2y+z, t x+y-z)
wie soll ich mir das vorstellen? wenn ich für x,y,z zahlen wähle und es unter "f" anwende, welches "t" soll ich da benutzen? Ein bestimmtes oder soll es eine Unbekannte bleiben?
b)
hier muss ich doch eine Umkehrfunktion finden, die f(X) zurück abbildet, müsste es so aussehen?
f(x,y,z) = (x-z, -x+y/2-z, -tx-y+z)
??
darauf bin ich gekommen, indem ich mir eine Umkehrabbildung überlegt habe, die das f(x) auf x zurück, bzw f(y) abbildet.
oder muss es irgendwie anders berechnet werden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 Do 24.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Für t [mm]\in \IR[/mm] definiere [mm]f_{t} \in End(\IR^{3})[/mm] durch f
> (x,y,z) = (x+z, x+2y+z, tx+y-z).
>
> a) Für welche t [mm]\in \IR[/mm] ist [mm]f_{t}[/mm] ein Automorphismus?
> b) Berechnen siie in diesen Fällen [mm]f_{t}^{-1}[/mm] .
> a) Automorphismus hat ja die selbe Eigenschaft wie ein
> Endomorphismus, mit dem Zusatz, dass Aut noch bijektiv
> ist.
> Muss ich jetzt schauen für welche elemente aus [mm]\IR[/mm] eine
> bijektion vorhanden ist?
Ja
> wenn ich f Anwende, lande ich doch von jedem [mm]\IR[/mm] wieder in
> [mm]\IR[/mm] oder nicht?
Was meinst Du mit diesem "Satz" ?
> und noch zur Aufgabenstellung:
> f (x,y,z) = (x+z, x+2y+z, t x+y-z)
> wie soll ich mir das vorstellen? wenn ich für x,y,z
> zahlen wähle und es unter "f" anwende, welches "t" soll
> ich da benutzen? Ein bestimmtes oder soll es eine
> Unbekannte bleiben?
t ist ein Parameter. Zu jedem t ist ein Endomorphismus [mm] f_t [/mm] gegeben
>
>
> b)
> hier muss ich doch eine Umkehrfunktion finden, die f(X)
> zurück abbildet, müsste es so aussehen?
> f(x,y,z) = (x-z, -x+y/2-z, -tx-y+z)
> ??
> darauf bin ich gekommen, indem ich mir eine Umkehrabbildung
> überlegt habe, die das f(x) auf x zurück, bzw f(y)
> abbildet.
Mit Verlaub, aber das ist kompletter Unsinn.
Vorschlag:
1. Bestimme die Abbildungsmatrix [mm] A_t [/mm] von [mm] f_t [/mm] bezügl. der Standardbasis des [mm] \IR^3. [/mm] (diese Matrix kannst Du ohne viel Aufwand ablesen)
2. Berechne [mm] det(A_t)
[/mm]
3. [mm] f_t [/mm] ist ein Automorphismus [mm] \gdw det(A_t) \ne [/mm] 0.
4. Ist t so, dass [mm] det(A_t) \ne [/mm] 0 ist, so gehört zu [mm] f_t^{-1} [/mm] die Matrix [mm] A_t^{-1}
[/mm]
FRED
> oder muss es irgendwie anders berechnet werden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:35 Do 24.01.2013 | | Autor: | Stueckchen |
Das schwierigste dabei dürfte lediglich die Berechnung der inversen Abbildung sein.^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Do 24.01.2013 | | Autor: | Aguero |
> 1. Bestimme die Abbildungsmatrix [mm]A_t[/mm] von [mm]f_t[/mm] bezügl. der
> Standardbasis des [mm]\IR^3.[/mm] (diese Matrix kannst Du ohne viel
> Aufwand ablesen )
Sei die Matrix A mit den standartbasisvektoren
A [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
=> [mm] A_{t} \pmat{ 1 & 1 & t \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 }
[/mm]
>
> 2. Berechne [mm]det(A_t)[/mm]
[mm] det(A_{t}) [/mm] = -2(1+t)
>
> 3. [mm]f_t[/mm] ist ein Automorphismus [mm]\gdw det(A_t) \ne[/mm] 0.
deshalb darf t nicht -1 sein. also herrscht ein Automorphismus
für t [mm] \IR [/mm] \ {-1}
> 4. Ist t so, dass [mm]det(A_t) \ne[/mm] 0 ist, so gehört zu
> [mm]f_t^{-1}[/mm] die Matrix [mm]A_t^{-1}[/mm]
>
[mm] A_{t}^{-1} \pmat{ -3/2(-1-t) & -1/2 & 1+[3/2(-1-t)] \\ 1/2(-1-t) & 1/2 & -1/2(-1-t) \\ -1/(-1-t) & 0 & 1/(-1-t) } [/mm]
das wäre die inverse, jedoch sieht mir diese komisch aus...
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>
> > oder muss es irgendwie anders berechnet werden?
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Wenn du deine Matrizen (ALLE!) noch transponierst, dann kommen wir auf das gleiche Ergebnis.
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