Aufgabe zu Überabzählbarkeit < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 Di 12.11.2013 | | Autor: | kai1992 |
| Aufgabe | | Eine Zahl [mm] x\in\ [0; 1)\sub [/mm] heiße gut, falls ihre Dezimaldarstellung [mm] x = 0,a_1a_2a_3.... = \summe_{k=1}^{\infty} a_k10^{-k}, a_k\in\{{0,1,...,9}}} [/mm] jede der Ziff ern 0, 1, ..., 9 unendlich oft enthält. Zeigen Sie, dass die Menge der guten Zahlen überabzählbar ist. |
Ich hoffe, das ist überhaupt zulässig so viele Fragen auf einmal zu stellen. Sorry! Aber ist dringend, wir müssen das Blatt bald abgeben.
Also hier haben wir die Vermutung, dass man das ähnlich wie beim Beweis der Überabzählbarkeit von IR machen muss. Wir haben auch probiert, wie dort eine neue Zahl zu konstruieren, die nicht in der Liste liegt. Aber das Problem ist, dass jede der Ziffern unendlich oft vorkommen muss und das Konstruieren so mit der Diagonale nicht geht, weil man ja so nicht unbedingt wieder eine "gute" Zahl bekommt. Auch hier wären wir sehr dankbar über jede Hilfe! Danke!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.gute-mathe-fragen.de/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 Di 12.11.2013 | | Autor: | abakus |
> Eine Zahl [mm]x\in\ [0; 1)\sub[/mm] heiße gut, falls ihre
> Dezimaldarstellung [mm]x = 0,a_1a_2a_3.... = \summe_{k=1}^{\infty} a_k10^{-k}, a_k\in\{{0,1,...,9}}}[/mm]
> jede der Ziff ern 0, 1, ..., 9 unendlich oft enthält.
> Zeigen Sie, dass die Menge der guten Zahlen überabzählbar
> ist.
> Ich hoffe, das ist überhaupt zulässig so viele Fragen
> auf einmal zu stellen. Sorry! Aber ist dringend, wir
> müssen das Blatt bald abgeben.
> Also hier haben wir die Vermutung, dass man das ähnlich
> wie beim Beweis der Überabzählbarkeit von IR machen muss.
> Wir haben auch probiert, wie dort eine neue Zahl zu
> konstruieren, die nicht in der Liste liegt. Aber das
> Problem ist, dass jede der Ziffern unendlich oft vorkommen
> muss und das Konstruieren so mit der Diagonale nicht geht,
> weil man ja so nicht unbedingt wieder eine "gute" Zahl
> bekommt. Auch hier wären wir sehr dankbar über jede
> Hilfe! Danke!
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt: http://www.gute-mathe-fragen.de/
Hallo,
es gibt eine gute Zahl, die an der ersten Nachkommastelle eine 1 hat.
Es gibt eine gute Zahl, die an der zweiten Nachkommastelle eine 2 hat.
Es gibt eine gute Zahl, die an der dritten Nachkommastelle eine 3 hat.
...
Es gibt eine gute Zahl, die an der neunten Nachkommastelle eine 9 hat.
Es gibt eine gute Zahl, die an der zehnten Nachkommastelle eine 0 hat.
Es gibt eine gute Zahl, die an der elften Nachkommastelle eine 1 hat.
...
Man kann die guten Zahlen beim Auflisten von Beginn an so sortieren, dass in der Diagonalen alle Ziffern unendlich oft vorkommen.
Damit lässt sich auch aus der Diagonalen eine gute Zahl bilden.
Ist das ein verwendbarer Ansatz?
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 Mi 13.11.2013 | | Autor: | kai1992 |
Ich denke, das ist ein sehr (!) verwendbarer Ansatz, ist ja quasi schon die Lösung. Ich liste die Zahlen einfach so auf, behaupte, sie sei vollständig (also abzählbar) und konstruiere dann über die Diagonale eine neue gute Zahl, die noch nicht vorkam. Vielen Dank!
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