Aufgabe zu komplexen Zahlen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Do 29.05.2008 | | Autor: | TheQ |
| Aufgabe | Berechnen sie:
(1 + i)^22 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Den Betrag konnte ich errechnen, dieser ergibt (sqrt2)^22 bzw. 2^11. Wenn ich nun den Winkel phi berechne komme ich auf folgendes. Da a und b beide positiv sind, berechne ich phi durch arctan 1/1 = 45°.
Die Lösung sagt mir aber, dass das ganze 2^11 * e^(i*3pi/2) geben soll. Woher kommt 3pi/2 ?
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Grüße!
Bei der Multiplikation komplexer Zahlen multiplizieren sich die Längen und die Winkel addieren sich.
Daher muss dieser Winkel von 45° (bzw. [mm] $\frac{\pi}{4}$) [/mm] mit 22 multipliziert werden. Das Ergebnis:
$22 [mm] \cdot \frac{\pi}{4} [/mm] = 5 [mm] \pi [/mm] + [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] = 4 [mm] \pi [/mm] + [mm] \frac{3\pi}{2}$.
[/mm]
Die letzte Darstellung habe ich gewählt, da $2 [mm] \pi$ [/mm] einen Vollkreis bilden und daher Vielfache von $2 [mm] \pi$ [/mm] vernachlässigt werden können.
Das ist einfach vorstellbar: Nach 8 Operationen ist man "einmal rum", das geschieht bei 22 Operationen genau zwei Mal.
Alles klar? 
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Mo 02.06.2008 | | Autor: | TheQ |
Das Resultat gibt gemäss Lösungen vom Dozenten - 2048i. Soweit habe ich Begriffen wie man auf ( 2^11 ) * [mm] e^i*(3pi/2) [/mm] kommt. Was aber steckt hinter dem eigentlichen Resultat?
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> (1 + i)^22
> Das Resultat gibt gemäss Lösungen vom Dozenten - 2048i.
> Soweit habe ich Begriffen wie man auf ( 2^11 ) *
> [mm]e^{i*(3pi/2)}[/mm] kommt. Was aber steckt hinter dem eigentlichen
> Resultat?
Wegen [mm]e^{i*\phi}= cos(\phi)+i*sin(\phi)[/mm]
gilt [mm]e^{i*(\bruch{3\pi}{2})} =cos(\bruch{3\pi}{2})+i*sin(\bruch{3\pi}{2}) = 0+i*(-1)= -i [/mm]
LG al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Mo 02.06.2008 | | Autor: | TheQ |
Warum ist cos (3pi/2) denn 0? Ich komme auf 0.996619.....
gleiches natürlich für sin (3pi/2), da komme ich auch nicht auf dein Resultat.
LG Philip
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> (1 + i)^22
> Warum ist cos (3pi/2) denn 0? Ich komme auf 0.996619.....
> gleiches natürlich für sin (3pi/2), da komme ich auch
> nicht auf dein Resultat.
>
> LG Philip
Die Winkel in diesem Zusammenhang sind im
Bogenmass (RAD) zu interpretieren.
Falls du lieber in Grad (DEG) rechnest: [mm] \bruch{3\pi}{2} [/mm] = 270° !
Al-Ch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Do 29.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Tipp. Berechne zunächst [mm] (1+i)^2
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:15 Do 29.05.2008 | | Autor: | TheQ |
Vielen Dank, das hat sehr geholfen. Ich habe nicht begriffen, dass das man das Bogenmass verwenden muss...
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